En el análisis funcional , uno está interesado en extensiones de operadores simétricos que actúan sobre un espacio de Hilbert . De particular importancia es la existencia, y a veces construcciones explícitas, de extensiones autoadjuntas . Este problema surge, por ejemplo, cuando se necesita especificar dominios de autoadjunción para expresiones formales de observables en mecánica cuántica . Otras aplicaciones de soluciones a este problema se pueden ver en varios problemas de momento .
Este artículo analiza algunos problemas relacionados de este tipo. El tema unificador es que cada problema tiene una caracterización teórica del operador que da una parametrización correspondiente de las soluciones. Más específicamente, encontrar extensiones autoadjuntas, con varios requisitos, de operadores simétricos es equivalente a encontrar extensiones unitarias de isometrías parciales adecuadas .
Operadores simétricos
Sea H un espacio de Hilbert. Un operador lineal A que actúa sobre H con dominio denso Dom ( A ) es simétrico si
- para todo x , y en Dom ( A ).
Si Dom ( A ) = H , el teorema de Hellinger-Toeplitz dice que A es un operador acotado , en cuyo caso A es autoadjunto y el problema de extensión es trivial. En general, un operador simétrico es autoadjunto si el dominio de su adjunto, Dom ( A * ), se encuentra en Dom ( A ).
Cuando se trata de operadores ilimitados , a menudo es deseable poder asumir que el operador en cuestión está cerrado . En el presente contexto, es un hecho conveniente que todo operador simétrico A se puede cerrar . Es decir, una tiene una extensión cerrado más pequeño, llamado el cierre de una . Esto se puede demostrar invocando el supuesto simétrico y el teorema de representación de Riesz . Dado que A y su cierre tienen las mismas extensiones cerradas, siempre se puede suponer que el operador simétrico de interés es cerrado.
En la secuela, se supondrá que un operador simétrico está densamente definido y cerrado.
Problema Dado un operador A simétrico cerrado densamente definido, encuentre sus extensiones autoadjuntas.
Esta pregunta se puede traducir a una teoría del operador. Como motivación heurística, observe que la transformación de Cayley en el plano complejo, definido por
asigna la línea real al círculo unitario. Esto sugiere que se defina, para un operador simétrico A ,
en Ran ( A + i ), el rango de A + i . El operador U A es de hecho una isometría entre subespacios cerrados que toma ( A + i ) x a ( A - i ) x para x en Dom ( A ). El mapa
También se llama la Cayley transformar del operador simétrico A . Dado U A , A puede recuperarse mediante
definido en Dom ( A ) = Ran ( U - 1). Ahora si
es una extensión isométrica de U A , el operador
actuando
es una extensión simétrica de A .
Teorema Las extensiones simétricas de un operador cerrado simétrica A es en correspondencia uno-a-uno con las extensiones isométricas de su Cayley transformar U A .
De mayor interés es la existencia de extensiones autoadjuntas . Lo siguiente es cierto.
Teorema Un operador simétrico cerrado A es autoadjunta si y sólo si Ran ( A ± i ) = H , es decir, cuando su Cayley transformar U A es un operador unitario en H .
Corolario extensiones El autoadjuntos de un operador cerrado simétrica A está en correspondencia uno-a-uno con las extensiones unitarias de su Cayley transformar T A .
Defina los subespacios de deficiencia de A mediante
y
En este lenguaje, la descripción del problema de extensión autoadjunta dada por el corolario se puede reformular de la siguiente manera: un operador simétrico A tiene extensiones autoadjuntas si y solo si su transformada de Cayley U A tiene extensiones unitarias de H , es decir, la deficiencia los subespacios K + y K - tienen la misma dimensión.
Un ejemplo
Considere el espacio de Hilbert L 2 [0,1]. En el subespacio de función absolutamente continua que desaparece en el límite, defina el operador A por
La integración por partes muestra que A es simétrica. Su adjunto A * es el mismo operador con Dom ( A * ) siendo las funciones absolutamente continuas sin condición de límite. Veremos que extender A equivale a modificar las condiciones de contorno, agrandando así Dom ( A ) y reduciendo Dom ( A * ), hasta que los dos coinciden.
El cálculo directo muestra que K + y K - son subespacios unidimensionales dados por
y
donde a es una constante de normalización. Entonces, las extensiones autoadjuntas de A están parametrizadas por el círculo unitario en el plano complejo, {| α | = 1}. Para cada unitario U α : K - → K + , definido por U α ( φ - ) = αφ + , corresponde una extensión A α con dominio
Si f ∈ Dom ( A α ), entonces f es absolutamente continua y
Por el contrario, si f es absolutamente continua y f (0) = γf (1) para algún γ complejo con | γ | = 1, entonces f se encuentra en el dominio anterior.
Los operadores autoadjuntos { A α } son instancias del operador de momento en la mecánica cuántica.
Extensión autoadjunta en un espacio más grande
Cada isometría parcial puede extenderse, en un espacio posiblemente mayor, a un operador unitario. En consecuencia, todo operador simétrico tiene una extensión autoadjunta, en un espacio posiblemente mayor.
Operadores simétricos positivos
Un operador simétrico A se llama positivo sipara todo x en Dom ( A ). Se sabe que para cada A , uno tiene dim ( K + ) = dim ( K - ). Por lo tanto, todo operador simétrico positivo tiene extensiones autoadjuntas. La pregunta más interesante en esta dirección es si A tiene extensiones autoadjuntos positivas.
Para dos operadores positivos A y B , ponemos A ≤ B si
en el sentido de operadores acotados.
Estructura de las contracciones matriciales 2 × 2
Mientras que el problema de extensión para los operadores simétricos generales es esencialmente el de extender isometrías parciales a unitarios, para los operadores simétricos positivos la cuestión se convierte en una extensión de contracciones : al "completar" ciertas entradas desconocidas de una contracción autoadjunta 2 × 2, obtenemos las extensiones autoadjuntas positivas de un operador simétrico positivo.
Antes de indicar el resultado relevante, primero arreglamos algo de terminología. Para una contracción Γ, que actúa sobre H , definimos sus operadores de defecto por
Los espacios de defecto de Γ son
Los operadores de defectos indican la no unitaridad de Γ, mientras que los espacios de defectos aseguran la unicidad en algunas parametrizaciones. Usando esta maquinaria, se puede describir explícitamente la estructura de las contracciones matriciales generales. Solo necesitaremos el estuche 2 × 2. Cada contracción 2 × 2 Γ se puede expresar de forma única como
donde cada Γ i es una contracción.
Extensiones de operadores simétricos positivos
La transformada de Cayley para operadores simétricos generales se puede adaptar a este caso especial. Para cada número no negativo a ,
Esto sugiere que asignamos a cada operador simétrico positivo A una contracción
definido por
que tienen representación matricial
Se verifica fácilmente que la entrada Γ 1 , C A proyectada en Ran ( A + 1) = Dom ( C A ), es autoadjunta. El operador A se puede escribir como
con Dom ( A ) = Ran ( C A - 1). Si
es una contracción que extiende C A y su proyección en su dominio es autoadjunta, entonces está claro que su transformada de Cayley inversa
definido en
es una extensión simétrica positiva de A . La propiedad simétrica se sigue de su proyección en su propio dominio siendo autoadjunto y la positividad se sigue de la contractividad. Lo contrario también es cierto: dada una extensión simétrica positiva de A , su transformada de Cayley es una contracción que satisface la propiedad autoadjunta "parcial" declarada.
Teorema Las extensiones simétricas positivas de A están en correspondencia biunívoca con las extensiones de su transformada de Cayley, donde si C es tal extensión, requerimos que C proyectada sobre Dom ( C ) sea autoadjunta.
El criterio de unitaridad de la transformada de Cayley se reemplaza por la autoadincidencia para los operadores positivos.
Teorema A simétrica operador positivo A es autoadjunta si y sólo si su Cayley transformada es una contracción autoadjunta definida sobre todo de H , es decir, cuando Ran ( A + 1) = H .
Por lo tanto, encontrar la extensión autoadjunta para un operador simétrico positivo se convierte en un " problema de compleción de matriz ". Específicamente, necesitamos incrustar la contracción de la columna C A en una contracción autoadjunta de 2 × 2. Esto siempre se puede hacer y la estructura de tales contracciones da una parametrización de todas las posibles extensiones.
Por la subsección anterior, todas las extensiones autoadjuntas de C A toman la forma
Entonces, las extensiones positivas autoadjuntas de A están en correspondencia biyectiva con las contracciones autoadjuntas Γ 4 en el espacio del defecto
de Γ 3 . Las contracciones
dar lugar a extensiones positivas
respectivamente. Estas son las extensiones positivas más pequeñas y más grandes de A en el sentido de que
para cualquier positivo autoadjunta extensión B de A . El operador A ∞ es la extensión Friedrichs de A y A 0 es la extensión von Neumann-Kerin de A .
Se pueden obtener resultados similares para los operadores de acreción .
Referencias
- A. Alonso y B. Simon, La teoría Birman-Kerin-Vishik de extensiones autoadjuntas de operadores semibundidos. J. Operator Theory 4 (1980), 251-270.
- Gramo. Arsene y A. Gheondea, Completing matrix contractions, J. Operator Theory 7 (1982), 179-189.
- N. Dunford y JT Schwartz, Operadores lineales , Parte II, Interscience, 1958.
- BC Hall, Teoría cuántica para matemáticos , Capítulo 9, Springer, 2013.
- M. Reed y B. Simon, Métodos de física matemática moderna , vol. I y II, Academic Press, 1975.