Análisis armónico
El análisis armónico es una rama de las matemáticas que se ocupa de la representación de funciones o señales como la superposición de ondas básicas , y el estudio y la generalización de las nociones de series de Fourier y transformadas de Fourier (es decir, una forma extendida del análisis de Fourier ). En los últimos dos siglos, se ha convertido en un vasto tema con aplicaciones en áreas tan diversas como la teoría de números, la teoría de representaciones , el procesamiento de señales , la mecánica cuántica , el análisis de mareas y la neurociencia .
El término " armónicos " se originó como la palabra griega antigua harmonikos , que significa "experto en música". [1] En problemas de valores propios físicos , comenzó a significar ondas cuyas frecuencias son múltiplos enteros entre sí, como lo son las frecuencias de los armónicos de las notas musicales , pero el término se ha generalizado más allá de su significado original.
La transformada clásica de Fourier en R n sigue siendo un área de investigación en curso, particularmente en lo que respecta a la transformación de Fourier en objetos más generales, como las distribuciones temperadas . Por ejemplo, si imponemos algunos requisitos a una distribución f , podemos intentar traducir estos requisitos en términos de la transformada de Fourier de f . El teorema de Paley-Wiener es un ejemplo de esto. El teorema de Paley-Wiener implica inmediatamente que si f es una distribución distinta de cero de soporte compacto(estos incluyen funciones de soporte compacto), entonces su transformada de Fourier nunca se admite de forma compacta (es decir, si una señal está limitada en un dominio, es ilimitada en el otro). Esta es una forma muy elemental de un principio de incertidumbre en un entorno de análisis armónico.
Las series de Fourier se pueden estudiar convenientemente en el contexto de los espacios de Hilbert , lo que proporciona una conexión entre el análisis armónico y el análisis funcional . Hay cuatro versiones de la transformada de Fourier, dependiendo de los espacios mapeados por la transformación (discreta/periódica–discreta/periódica: transformada de Fourier discreta , continua/periódica–discreta/aperiódica: serie de Fourier , discreta/aperiódica–continua/periódica : transformada de Fourier en tiempo discreto , continua/aperiódica–continua/aperiódica: transformada de Fourier ).
Una de las ramas más modernas del análisis armónico, que tiene sus raíces a mediados del siglo XX, es el análisis de grupos topológicos . Las ideas motivadoras centrales son las diversas transformadas de Fourier , que pueden generalizarse a una transformada de funciones definidas en grupos topológicos localmente compactos de Hausdorff .
El análisis armónico estudia las propiedades de esa dualidad y la transformada de Fourier e intenta extender esas características a diferentes escenarios, por ejemplo, al caso de los grupos de Lie no abelianos .
.png)
