En geometría , un endecágono (también undecágono [1] [2] o endecágono [3] ) o 11-gon es un polígono de once lados . (El nombre endecágono , del griego hendeka "once" y –gon "esquina", se prefiere a menudo al híbrido undecágono , cuya primera parte se forma a partir del latín undecim "once". [4] )
Endecágono regular | |
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Tipo | Polígono regular |
Aristas y vértices | 11 |
Símbolo de Schläfli | {11} |
Diagrama de Coxeter | |
Grupo de simetría | Diedro (D 11 ), orden 2 × 11 |
Ángulo interno ( grados ) | ≈147.273 ° |
Polígono dual | Uno mismo |
Propiedades | Convexo , cíclico , equilátero , isogonal , isotoxal |
Endecágono regular
Un endecágono regular está representado por el símbolo de Schläfli {11}.
Un endecágono regular tiene ángulos internos de 147. 27 grados (= 147grados). [5] El área de un endecágono regular con una longitud de lado a está dada por [2]
Como 11 no es un número primo de Fermat , el endecágono regular no se puede construir con compás y regla . [6] Debido a que 11 no es un primo de Pierpont , la construcción de un endecágono regular sigue siendo imposible incluso con el uso de un trisector de ángulo .
Se pueden construir aproximaciones cercanas al endecágono regular. Por ejemplo, los antiguos matemáticos griegos aproximaron la longitud del lado de un endecágono inscrito en un círculo unitario en 14/25 unidades de largo. [7]
El endecágono se puede construir exactamente mediante la construcción neusis [8] y también mediante el origami doble. [9]
Construcción aproximada
La siguiente descripción de la construcción es dada por T. Drummond de 1800: [10]
- " Dibujar el radio AB , bisecar en C -con una abertura de las brújulas igual a la mitad del radio, en A y C como centros describen los arcos CDI y AD -con la distancia ID sobre I describir el arco DO y trazar la línea CO , que será la extensión de un lado de un endecágono suficientemente exacto para la práctica " .
En un círculo unitario:
- Longitud lateral del endecágono construido
- Longitud lateral del endecágono teórico
- Error absoluto - si AB es de 10 m, este error es de aproximadamente 2,3 mm.
Simetría
El endecágono normal tiene Dih 11 simetría , orden 22. Desde 11 es un número primo hay un subgrupo con simetría diedro: Dih 1 , y 2 grupo cíclico simetrías: Z 11 , y Z 1 .
Estas 4 simetrías se pueden ver en 4 simetrías distintas en el endecágono. John Conway los etiqueta por carta y orden de grupo. [11] La simetría completa de la forma regular es r22 y ninguna simetría se etiqueta a1 . Las simetrías diedras se dividen dependiendo de si pasan a través de vértices ( d para diagonales) o bordes ( p para perpendiculares), yi cuando las líneas de reflexión atraviesan ambos bordes y vértices. Las simetrías cíclicas en la columna central se etiquetan como g para sus órdenes de giro central.
La simetría de cada subgrupo permite uno o más grados de libertad para las formas irregulares. Solo el subgrupo g11 no tiene grados de libertad, pero puede verse como bordes dirigidos .
Uso en acuñación
La moneda del dólar canadiense , el loonie , es similar, pero no exactamente, a un prisma endecagonal regular , [12] al igual que la moneda india de 2 rupias [13] y varias otras monedas menos utilizadas de otras naciones. [14] La sección transversal de un lunático es en realidad un endecágono de Reuleaux . El dólar estadounidense Susan B. Anthony tiene un contorno endecagonal a lo largo del interior de sus bordes. [15]
Figuras relacionadas
El endecágono comparte el mismo conjunto de 11 vértices con cuatro endecagramas regulares :
{2/11} | {11/3} | {11/4} | {11/5} |
Ver también
- 10-simplex : se puede ver como un gráfico completo en una proyección ortogonal endecagonal regular
Referencias
- ^ Haldeman, Cyrus B. (1922), "Construcción del undecágono regular por una curva séxtica", Discusiones, American Mathematical Monthly , 29 (10), doi : 10.2307 / 2299029 , JSTOR 2299029.
- ^ a b Loomis, Elias (1859), Elementos de trigonometría plana y esférica: con sus aplicaciones a la medición, la topografía y la navegación , Harper, p. sesenta y cinco.
- ^ Brewer, Ebenezer Cobham (1877), Errores de habla y ortografía , Londres: W. Tegg y compañía, p. iv.
- ^ Hendecagon - de Wolfram MathWorld
- ^ McClain, Kay (1998), Matemáticas de Glencoe: aplicaciones y conexiones , Glencoe / McGraw-Hill, p. 357 , ISBN 9780028330549.
- ^ Comodemostró Gauss ,se puede construirun polígono con un número primo p de lados si y solo si p - 1 es una potencia de dos , lo cual no es cierto para 11. Ver Kline, Morris (1990), Pensamiento matemático desde tiempos antiguos a tiempos modernos , 2 , Oxford University Press, págs. 753–754, ISBN 9780199840427.
- ^ Heath, Sir Thomas Little (1921), Historia de las matemáticas griegas, vol. II: De Aristarco a Diofanto , The Clarendon Press, pág. 329.
- ^ Benjamín, Elliot; Snyder, C. Procedimientos matemáticos de la Sociedad Filosófica de Cambridge 156.3 (mayo de 2014): 409-424 .; https://dx.doi.org/10.1017/S0305004113000753
- ^ Lucero, JC (2018). "Construcción de un endecágono regular mediante doble origami" . Crux Mathematicorum . 44 : 207–213.
- ↑ T. Drummond, (1800) The Young Ladies and Gentlemen's AUXILIARY, in Taking Heights and Distances ..., Construction description pp.15-16 Fig. 40: Desplácese desde la página 69 ... a la página 76 Parte I. Segunda edición , consultado el 26 de marzo de 2016
- ^ John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss , (2008) Las simetrías de las cosas, ISBN 978-1-56881-220-5 (Capítulo 20, Símbolos de Schaefli generalizados, Tipos de simetría de un polígono págs. 275-278)
- ^ Mossinghoff, Michael J. (2006), "Un problema de $ 1" (PDF) , American Mathematical Monthly , 113 (5): 385–402, doi : 10.2307 / 27641947 , JSTOR 27641947
- ^ Cuhaj, George S .; Michael, Thomas (2012), Catálogo estándar de 2013 de monedas mundiales de 2001 a la fecha , Publicaciones de Krause, p. 402, ISBN 9781440229657.
- ^ Cuhaj, George S .; Michael, Thomas (2011), Monedas del mundo inusuales (6.a ed.), Publicaciones de Krause, págs.23, 222, 233, 526, ISBN 9781440217128.
- ^ Cámara de Representantes de Estados Unidos, 1978 , p. 7.
enlaces externos
- Propiedades de un undecágono (endecágono) con animación interactiva
- Weisstein, Eric W. "Hendecagon" . MathWorld .
- Endecágonos regulares
- Endecágono regular, una construcción aproximada