Grupos de puntos en cuatro dimensiones

En geometría , un grupo de puntos en cuatro dimensiones es un grupo de isometría en cuatro dimensiones que deja fijo el origen, o correspondientemente, un grupo de isometría de 3 esferas .

Hay cuatro isometrías básicas de simetría de punto de 4 dimensiones : simetría de reflexión, simetría de rotación , reflexión de rotor y rotación doble .

Los grupos de puntos en este artículo se dan en notación de Coxeter , que se basan en grupos de Coxeter , con marcas para grupos y subgrupos extendidos. ^{[6] La} notación de Coxeter tiene una correspondencia directa con el diagrama de Coxeter como [3,3,3], [4,3,3], [3 ^1,1,1 ], [3,4,3], [5,3 ,3] y [p,2,q]. Estos grupos unen las 3 esferas en dominios tetraédricos hiperesféricos idénticos. El número de dominios es el orden del grupo. El número de espejos para un grupo irreducible es nh/2 , donde h es el número de Coxeter del grupo de Coxeter , n es la dimensión (4). ^[7]

Para referencias cruzadas, también se dan aquí notaciones basadas en cuaterniones de Patrick du Val (1964) ^[8] y John Conway (2003). ^[9] La notación de Conway permite calcular el orden del grupo como un producto de elementos con órdenes de grupos poliédricos quirales: (T=12, O=24, I=60). En la notación de Conway, un prefijo (±) implica inversión central y un sufijo (.2) implica simetría especular. De manera similar, la notación de Du Val tiene un superíndice de asterisco (*) para simetría especular.

Hay cinco grupos involutivos : sin simetría [ ] ⁺ , simetría de reflexión [ ], simetría rotacional de 2 veces [2] ^{+ , reflexión de} rotor de 2 veces [2 ⁺ ,2 ⁺ ] y simetría de punto central [2 ⁺ ,2 ⁺ , 2 ⁺ ] como una doble rotación doble .

Un grupo policórico es uno de los cinco grupos de simetría de los politopos regulares de 4 dimensiones . También hay tres grupos prismáticos poliédricos y un conjunto infinito de grupos duoprismáticos. Cada grupo definido por un dominio fundamental del tetraedro de Goursat delimitado por planos especulares. Los ángulos diédricos entre los espejos determinan el orden de simetría diédrica . El diagrama de Coxeter-Dynkin es un gráfico en el que los nodos representan planos de espejo y los bordes se denominan ramas y están etiquetados por su orden de ángulo diedro entre los espejos.

Una jerarquía de grupos de puntos policóricos 4D y algunos subgrupos. El posicionamiento vertical se agrupa por orden. Los colores azul, verde y rosa muestran grupos reflexivos, híbridos y rotacionales.

Algunos grupos de puntos 4D en notación de Conway

Los bordes de 16 celdas proyectados sobre una esfera de 3 representan 6 grandes círculos de simetría B4. 3 círculos se encuentran en cada vértice. Cada círculo representa ejes de simetría cuádruple.

Los bordes de 24 celdas proyectados sobre una esfera de 3 representan los 16 grandes círculos de simetría F4. Cuatro círculos se encuentran en cada vértice. Cada círculo representa ejes de simetría triple.

Los bordes de 600 celdas proyectados sobre una esfera de 3 representan 72 grandes círculos de simetría H4. Seis círculos se encuentran en cada vértice. Cada círculo representa ejes de simetría quíntuple.

[4,3], , el grupo piramidal octaédrico es isomorfo a la simetría octaédrica 3d

[3,3], , el grupo piramidal tetraédrico es isomorfo a la simetría tetraédrica 3d