En matemáticas , el cuarto problema de Hilbert en los problemas de Hilbert de 1900 es una cuestión fundamental en geometría . En un enunciado derivado del original, se trataba de encontrar - hasta un isomorfismo - todas las geometrías que tienen un sistema axiomático de la geometría clásica ( euclidiana , hiperbólica y elíptica ), con aquellos axiomas de congruencia que involucran el concepto de ángulo eliminado , y " desigualdad triangular ", considerada como un axioma, agregó.
Si se asume además el axioma de continuidad, entonces, en el caso del plano euclidiano, llegamos al problema planteado por Darboux: "Determinar todos los problemas de cálculo de variación en el plano cuyas soluciones son todas las rectas planas". [1]
Hay varias interpretaciones de la declaración original de Hilbert. Sin embargo, se buscó una solución siendo el matemático alemán Georg Hamel el primero que contribuyó a la solución del cuarto problema de Hilbert. [2]
El matemático ucraniano Aleksei Pogorelov dio una solución reconocida en 1973. [3] [4] En 1976, el matemático armenio Rouben V. Ambartzumian propuso otra prueba del cuarto problema de Hilbert. [5]
Declaración original
Hilbert analiza la existencia de geometría no euclidiana y geometría no arquimediana
... una geometría en la que se cumplen todos los axiomas de la geometría euclidiana ordinaria, y en particular todos los axiomas de congruencia excepto el de congruencia de triángulos (o todos excepto el teorema de la igualdad de los ángulos base en el triángulo isósceles), y en el que, además, se asume como axioma particular la proposición de que en todo triángulo la suma de dos lados es mayor que el tercero. [6]
Debido a la idea de que una 'línea recta' se define como el camino más corto entre dos puntos, menciona cómo la congruencia de triángulos es necesaria para la prueba de Euclides de que una línea recta en el plano es la distancia más corta entre dos puntos. Él resume lo siguiente:
El teorema de la línea recta como la distancia más corta entre dos puntos y el teorema esencialmente equivalente de Euclides sobre los lados de un triángulo, juegan un papel importante no solo en la teoría de números sino también en la teoría de superficies y en el cálculo de variaciones. Por esta razón, y porque creo que la investigación a fondo de las condiciones para la validez de este teorema arrojará una nueva luz sobre la idea de distancia, así como sobre otras ideas elementales, por ejemplo, sobre la idea del plano, y me parece deseable la posibilidad de su definición mediante la idea de la línea recta, la construcción y el tratamiento sistemático de las geometrías aquí posibles. [6]
Métricas planas
Si dos triángulos se encuentran en un plano tal que las líneas que conectan los vértices correspondientes de los triángulos se encuentran en un punto, entonces los tres puntos, en los que se cruzan las prolongaciones de tres pares de lados correspondientes de los triángulos, se encuentran en una línea.
La condición necesaria para resolver el cuarto problema de Hilbert es el requisito de que un espacio métrico que satisfaga los axiomas de este problema sea desarguesiano, es decir:
- si el espacio es de dimensión 2, entonces el teorema de Desargues y su inverso deberían ser válidos;
- si el espacio tiene una dimensión mayor que 2, entonces cualesquiera tres puntos deben estar en un plano.
Para los espacios desarguesianos, Georg Hamel demostró que cada solución del cuarto problema de Hilbert se puede representar en un espacio proyectivo real. o en un dominio convexo de si se determina la congruencia de los segmentos por la igualdad de sus longitudes en una métrica especial para la cual las líneas del espacio proyectivo son geodésicas.
Las métricas de este tipo se denominan planas o proyectivas .
Por tanto, la solución del cuarto problema de Hilbert se redujo a la solución del problema de la determinación constructiva de todas las métricas planas completas.
Hamel resolvió este problema bajo el supuesto de una alta regularidad de la métrica. [2] Sin embargo, como muestran ejemplos simples, la clase de métricas planas regulares es más pequeña que la clase de todas las métricas planas. Los axiomas de las geometrías bajo consideración implican solo una continuidad de las métricas. Por lo tanto, para resolver completamente el cuarto problema de Hilbert es necesario determinar constructivamente todas las métricas planas continuas.
Prehistoria del cuarto problema de Hilbert
Antes de 1900, se conocía el modelo Cayley-Klein de la geometría de Lobachevsky en el disco unitario, según el cual las líneas geodésicas son cuerdas del disco y la distancia entre puntos se define como un logaritmo de la relación cruzada de un cuádruple. Para las métricas bidimensionales de Riemann, Eugenio Beltrami (1835-1900) demostró que las métricas planas son las métricas de la curvatura constante. [7]
Para las métricas multidimensionales de Riemann, E. Cartan demostró esta afirmación en 1930.
En 1890, para resolver problemas sobre la teoría de los números, Hermann Minkowski introdujo una noción del espacio que hoy en día se denomina espacio de Banach de dimensión finita . [8]
Espacio Minkowski
Dejar ser una hipersuperficie convexa compacta en un espacio euclidiano definido por
donde la funcion cumple las siguientes condiciones:
- y la forma es positivamente definido.
La longitud del vector OA está definida por:
Un espacio con esta métrica se llama espacio de Minkowski .
La hipersuperficie es convexo y puede ser irregular. La métrica definida es plana.
Espacios más finos
Deje que M yser una variedad lisa de dimensión finita y su haz tangente, respectivamente. La funciónse llama métrica de Finsler si
- ;
- Por cualquier punto la restricción de en es la norma de Minkowski.
es el espacio Finsler .
Geometría de Hilbert
Dejar ser un conjunto convexo abierto acotado con el límite de clase C 2 y curvaturas normales positivas. De manera similar al espacio de Lobachevsky, la hipersuperficiese llama el absoluto de la geometría de Hilbert. [9]
La distancia de Hilbert (ver fig.) Está definida por
La distancia induce la métrica de Hilbert-Finsler en U . Para cualquier y (ver fig.), tenemos
La métrica es simétrica y plana. En 1895, Hilbert introdujo esta métrica como una generalización de la geometría de Lobachevsky. Si la hipersuperficie es un elipsoide, entonces tenemos la geometría de Lobachevsky.
Métrica funk
En 1930, Funk introdujo una métrica no simétrica. Se define en un dominio delimitado por una hipersuperficie convexa cerrada y también es plano.
σ -metrics
Condición suficiente para métricas planas
Georg Hamel fue el primero en contribuir a la solución del cuarto problema de Hilbert. [2] Probó la siguiente afirmación.
Teorema . Una métrica de Finsler regular es plano si y solo si cumple las condiciones:
Fórmula de Crofton
Considere un conjunto de todas las líneas orientadas en un plano. Cada línea está definida por los parámetros y dónde es una distancia desde el origen a la línea, y es un ángulo entre la línea y el eje x . Entonces el conjunto de todas las líneas orientadas es homeomorfo a un cilindro circular de radio 1 con el elemento de área. Dejarser una curva rectificable en un plano. Entonces la longitud de es
dónde es un conjunto de líneas que se cruzan con la curva , y es el número de intersecciones de la línea con . Crofton probó esta afirmación en 1870. [10]
Una declaración similar es válida para un espacio proyectivo.
Medida de Blaschke-Busemann
En 1966, en su charla en el Congreso Internacional de Matemáticas en Moscú, Herbert Busemann presentó una nueva clase de métricas planas. En un conjunto de líneas en el plano proyectivo introdujo una medida no negativa completamente aditiva , que cumple las siguientes condiciones:
- , dónde es un conjunto de líneas rectas que pasan por un punto P ;
- , dónde es un conjunto de líneas rectas que pasan por algún conjunto X que contiene un segmento de línea recta;
- es finito.
Si consideramos un -métrico en un dominio convexo arbitrario de un espacio proyectivo , entonces la condición 3) debe ser reemplazada por la siguiente: para cualquier conjunto H tal que H esté contenido eny el cierre de H no se cruza con el límite de, la desigualdad
- sostiene. [11]
Usando esta medida, el -métrico en es definido por
dónde es el conjunto de líneas rectas que se cruzan con el segmento .
La desigualdad del triángulo para esta métrica se deriva del teorema de Pasch .
Teorema .-métrico en es plano, es decir, las geodésicas son las líneas rectas del espacio proyectivo.
Pero Busemann estaba lejos de la idea de que -Las métricas agotan todas las métricas planas. Escribió: "La libertad en la elección de una métrica con geodésicas dadas es tan grande para las métricas no riemannianas que se puede dudar de si realmente existe una caracterización convincente de todos los espacios desarguesianos" . [11]
Caso bidimensional
Teorema de pogorelov
El siguiente teorema maravilloso fue probado por Pogorelov en 1973 [3] [4]
Teorema . Cualquier métrica plana completa continua bidimensional es una-métrico.
Por tanto, el cuarto problema de Hilbert para el caso bidimensional quedó completamente resuelto.
Pruebas de Ambartsumian
En 1976, Ambartsumian propuso otra prueba del cuarto problema de Hilbert. [5]
Su demostración utiliza el hecho de que en el caso bidimensional la medida completa puede ser restaurada por sus valores en biangulos, y por lo tanto ser definida en triángulos de la misma manera que el área de un triángulo se define en una esfera. Dado que la desigualdad del triángulo se cumple, se deduce que esta medida es positiva en triángulos no degenerados y se determina en todos los conjuntos de Borel . Sin embargo, esta estructura no se puede generalizar a dimensiones superiores debido al tercer problema de Hilbert resuelto por Max Dehn .
En el caso bidimensional, los polígonos con el mismo volumen son congruentes en forma de tijera. Como demostró Dehn, esto no es cierto para una dimensión superior.
Caso tridimensional
Para el caso tridimensional, Pogorelov demostró el siguiente teorema.
Teorema. Cualquier métrica plana completa regular tridimensional es una-métrico.
Sin embargo, en el caso tridimensional -Las medidas pueden tomar valores positivos o negativos. Las condiciones necesarias y suficientes para la métrica regular definida por la función del conjunto para ser plano son las siguientes tres condiciones:
- el valor en cualquier plano es igual a cero,
- el valor en cualquier cono no es negativo,
- el valor es positivo si el cono contiene puntos interiores.
Además, Pogorelov demostró que cualquier métrica plana continua completa en el caso tridimensional es el límite de -métricas con la convergencia uniforme en cualquier subdominio compacto del dominio de la métrica. Los llamó generalizados-métrica.
Así, Pogorelov pudo probar la siguiente afirmación.
Teorema. En el caso tridimensional, cualquier métrica plana continua completa es una-métrico en significado generalizado.
Busemann, en su reseña del libro de Pogorelov "El cuarto problema de Hilbert" escribió: "En el espíritu de la época, Hilbert se restringió a n = 2, 3 y también lo hace Pogorelov. de lectores. La diferencia real está entre n = 2 y n> 2. El método de Pogorelov funciona para n> 3 , pero requiere mayores tecnicismos ". [12]
Caso multidimensional
Szabo estudió el caso multidimensional del cuarto problema de Hilbert. [13] En 1986, demostró, como escribió, el teorema de Pogorelov generalizado.
Teorema. Cada espacio desarguesiano n- dimensional de la clase, es generado por la construcción Blaschke-Buzeman.
A -medida que genera una medida plana tiene las siguientes propiedades:
- la -medida de hiperplanos que pasan por un punto fijo es igual a cero;
- la -medida del conjunto de hiperplanos que intersecan dos segmentos [ x , y ], [ y , z ], donde x , y та z no son colineales, es positiva.
Se dio el ejemplo de una métrica plana no generada por la construcción de Blaschke-Busemann. Szabo describió todas las métricas planas continuas en términos de funciones generalizadas.
Cuarto problema de Hilbert y cuerpos convexos
El cuarto problema de Hilbert también está estrechamente relacionado con las propiedades de los cuerpos convexos . Un poliedro convexo se llama zonótopo si es la suma de segmentos de Minkowski . Un cuerpo convexo que es un límite de zonótopos en la métrica de Blaschke-Hausdorff se llama zonoide . Para los zonoides, la función de soporte está representada por
dónde es una medida de Borel incluso positiva en una esfera.
El espacio de Minkowski es generado por la construcción de Blaschke-Busemann si y solo si la función de soporte de la indicatriz tiene la forma de (1), donde es par y no necesariamente de medida de Borel positiva. [14] Los cuerpos delimitados por tales hipersuperficies se denominan zonoides generalizados .
El octaedro en el espacio euclidiano no es un zonoide generalizado. De la declaración anterior se deduce que la métrica plana del espacio de Minkowski con la norma no es generado por la construcción de Blaschke-Busemann.
Generalizaciones del cuarto problema de Hilbert
Se encontró la correspondencia entre las métricas planas n- dimensionales de Finsler y formas simplécticas especiales en la variedad de Grassmann в . [15]
Se consideraron soluciones periódicas del cuarto problema de Hilbert:
1) Sea ( M , g ) una variedad de riemanniana euclidiana localmente compacta. Suponer queSe da la métrica de Finsler en M con las mismas geodésicas que en la métrica g . Entonces, la métrica de Finsler es la suma de una métrica local de Minkovski y una forma 1 cerrada. [dieciséis]
2) Sea (M, g) un espacio de Riemanniano simétrico compacto de rango mayor que uno. Si F es simétricoMétrica de Finsler cuyas geodésicas coinciden con geodésicas de la métrica de Riemann g , entonces (M, g) es un espacio de Finsler simétrico. [16] El análogo de este teorema para espacios simétricos de rango uno no ha sido probado todavía.
Otra exposición del cuarto problema de Hilbetrt se puede encontrar en la obra de Paiva. [17]
Problemas no resueltos
- El cuarto problema de Hilbert para la métrica de Finsler no simétrica aún no se ha resuelto.
- La descripción de la métrica en para los cuales k -planes minimizan el k -área no se ha dado (Busemann). [18]
Referencias
- ↑ G. Darboux, Lecons sur la theorie generale des surface, V.III, París, 1894.
- ^ a b c G. Hamel, Uber die Geometrien in denen die Geraden die Kurzesten sind , Math. Ana. 57 (1903), 221-264.
- ^ a b А. В. Погорелов, Полное решение IV проблемы Гильберта , ДАН СССР № 208, т.1 (1973), 46–49. Traducción al inglés: AV Pogorelov, A complete solution of "El cuarto problema de Hilbert , Dokl. Acad. Nauk SSR, Vol. 208, № 1 (1973), 48–52.
- ^ a b А. В. Погорелов, Четвертая Проблема Гильберта . Наука, 1974. Traducción al inglés: AV Pogorelov, El cuarto problema de Hilbert , Scripta Series in Mathematics, Winston and Sons, 1979.
- ^ a b R. V. Ambartzumian, Una nota sobre pseudo-métricas en el avión, Zeitschrift für Wahrscheinlichkeitstheorie und Verwandte Gebiete 1976, Volumen 37, Número 2, págs. 145-155
- ↑ a b Hilbert, David, "Mathematische Probleme" Göttinger Nachrichten , (1900), págs. 253-297, y en Archiv der Mathematik und Physik , (3) 1 (1901), 44-63 y 213-237. Publicado en traducción al inglés por la Dra. Maby Winton Newson, Bulletin of the American Mathematical Society 8 (1902), 437–479 [1] [2] doi : 10.1090 / S0002-9904-1902-00923-3 . [Un título más completo de la revista Göttinger Nachrichten es Nachrichten von der Königl. Gesellschaft der Wiss. zu Göttingen.]
- ↑ E. Beltrami, Risoluzione del Problema: Riportare i punti di una superficie sobra un piano in modo che le linee geodetiche Vengano rappresentate da linee rette , Annali di Matematica Pura ed Applicata, № 7 (1865), 185-204.
- ↑ H. Minkowski, Geometrie der Zahlen , Lpz.-B., 1953.
- ^ D. Hilbert, Uber die gerade Linie als kurzeste Verbindung zweier Punkte , Math. Ann., 46 (1895), 91-96.
- ^ LA Santalo, "Geometría integral". En: Estudios en Geometría y Análisis Global (SS Chern, ed.), Washington, DC: Matemáticas. Asoc. Amer, 147-195.
- ^ a b H. Busemann, La geometría de la geodésica, Nueva York, Academic Press, 1955.
- ^ H. Busemann, Revisión de: AV Pogorelov, Cuarto problema de Hilbert , Bull. Amer. Matemáticas. Soc. (NS) Vol. 4, № 1 (1981), 87-90.
- ^ ZI Szabo, cuarto problema de Hilbert I , Adv. Matemáticas. 59 (1986), 185-301.
- ^ R. Alexander, teoría de Zonoid y cuarto problema de Hilbert , Geom. Dedicata 28, § 2 (1988), 199-211.
- ^ JC Alvarez Paiva, Geometría simplética y cuarto problema de Hilbert , J. Differ. Geom. 69, § 2 (2005), 353-378.
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- ^ Paiva, JC Álvarez. "El cuarto problema de Hilbert en dos dimensiones". MASS selecta (2003): 165–183.
- ↑ A. Papadopoulos, Sobre el cuarto problema de Hilbert , 1-43. Manual de geometría de Hilbert (A. Papadopoulos y M. Troyanov, ed.), European Mathematical Society, IRMA Lectures in Mathematics and Theoretical Physics, № 22 (2014), p. 460.
Otras lecturas
- Busemann, Herbert (1976). "Problema IV. Espacios desarguesianos". En Browder, Felix E. (ed.). Desarrollos matemáticos que surgen de los problemas de Hilbert . Actas de simposios en matemáticas puras . XXVIII . Sociedad Matemática Estadounidense . págs. 131-141. ISBN 0-8218-1428-1. Zbl 0352.50010 .
- Papadopoulos, Athanase (2014). "Cuarto problema de Hilbert". Manual de geometría de Hilbert (A. Papadopoulos y M. Troyanov, ed.) . Conferencias IRMA de Matemáticas y Física Teórica . 22 . Sociedad Matemática Europea . págs. 391–432. ISBN 978-3-03719-147-7.