Métrica de Hilbert

En matemáticas , la métrica de Hilbert , también conocida como métrica proyectiva de Hilbert , es una función de distancia definida explícitamente en un subconjunto convexo acotado del espacio euclidiano n- dimensional R ⁿ . Fue introducido por David Hilbert ( 1895 ) como una generalización de la fórmula de Cayley para la distancia en el modelo Cayley-Klein de geometría hiperbólica , donde el conjunto convexo es la bola unitaria abierta n- dimensional . La métrica de Hilbert se ha aplicado a La teoría de Perron-Frobenius y la construcción de espacios hiperbólicos de Gromov .

Definición

Sea Ω un dominio abierto convexo en un espacio euclidiano que no contiene una línea. Dados dos puntos distintos A y B de Ω, permiten X y Y sean los puntos en los que la línea recta AB se cruza el límite de Ω, donde el orden de los puntos es X , A , B , Y . Entonces la distancia de Hilbert d ( A , B ) es el logaritmo de la razón cruzada de este cuádruple de puntos:

{\ Displaystyle d (A, B) = \ log \ left ({\ frac {| YA |} {| YB |}} {\ frac {| XB |} {| XA |}} \ right).}

La función d se extiende a todos los pares de puntos haciendo que d ( A , A ) = 0 y define una métrica en Ω. Si uno de los puntos A y B se encuentra en el límite de Ω, entonces d puede definirse formalmente como + ∞, correspondiente a un caso límite de la fórmula anterior cuando uno de los denominadores es cero.

Una variante de esta construcción surge para un cono convexo cerrado K en un espacio de Banach V (posiblemente, de dimensión infinita). Además, el cono K se supone que es en punta , es decir, K ∩ (- K ) = {0} y por lo tanto K determina un orden parcial en V . Dados los vectores v y w en K \ {0}, primero se define ${\ Displaystyle \ leq _ {K}}$

{\ Displaystyle M (v / w) = \ inf \ {\ lambda: v \ leq _ {K} \ lambda w \}, \ quad m (v / w) = \ sup \ {\ mu: \ mu w \ leq _ {K} v \}.}

La pseudométrica de Hilbert en K \ {0} se define entonces mediante la fórmula

{\ Displaystyle d (v, w) = \ log {\ frac {M (v / w)} {m (v / w)}}.}

Es invariante bajo el reescalado de v y w por constantes positivas y así desciende a una métrica en el espacio de los rayos de K , que se interpreta como la projectivization de K (en orden para d ser finito, uno tiene que restringir a la interior de K ). Además, si K ⊂ R × V es el cono sobre un conjunto convexo Ω,

{\ Displaystyle K = \ {(t, tx): t \ in \ mathbb {R}, x \ in \ Omega \},}

entonces el espacio de rayos de K es canónicamente isomorfo a Ω. Si v y w son vectores en rayos en K correspondientes a los puntos A , B ∈ Ω entonces estas dos fórmulas para d producen el mismo valor de la distancia.

Ejemplos de

En el caso donde el dominio Ω es una bola unitaria en R ⁿ , la fórmula para d coincide con la expresión para la distancia entre puntos en el modelo Cayley-Klein de geometría hiperbólica , hasta una constante multiplicativa.
Si el cono K es el ortante positivo en R ^n, entonces la métrica inducida en la proyectivización de K a menudo se llama simplemente métrica proyectiva de Hilbert . Este cono corresponde a un dominio Ω que es un simplex regular de dimensión n - 1.

Motivación y aplicaciones

Hilbert introdujo su métrica para construir una geometría métrica axiomática en la que existen triángulos ABC cuyos vértices A , B , C no son colineales , sin embargo, uno de los lados es igual a la suma de los otros dos - se sigue que el camino más corto conectar dos puntos no es único en esta geometría. En particular, esto sucede cuando el conjunto convexo Ω es un triángulo euclidiano y las extensiones en línea recta de los segmentos AB , BC , AC no se encuentran con el interior de uno de los lados de Ω.
Garrett Birkhoff utilizó la métrica de Hilbert y el principio de contracción de Banach para derivar el teorema de Perron-Frobenius en álgebra lineal de dimensión finita y sus análogos para operadores integrales con núcleos positivos. Las ideas de Birkhoff se han desarrollado y utilizado para establecer varias generalizaciones no lineales del teorema de Perron-Frobenius, que han encontrado usos significativos en informática, biología matemática, teoría de juegos, teoría de sistemas dinámicos y teoría ergódica.
Generalizando los resultados anteriores de Anders Karlsson y Guennadi Noskov, Yves Benoist determinó un sistema de condiciones necesarias y suficientes para que un dominio convexo acotado en R ⁿ , dotado de su métrica de Hilbert, fuera un espacio hiperbólico de Gromov .

Referencias

Yves Benoist, Convexes hyperboliques et fonctions quasisymétriques , Publ. Matemáticas. Inst. Hautes Études Sci. No. 97 (2003), 181–237
Garrett Birkhoff , Extensiones del teorema de Jentzsch , Trans. Amer. Matemáticas. Soc. 85 (1957), 219–227
Nielsen, Frank; Sun, Ke (2017), "Agrupación en geometría simplex de Hilbert", arXiv : 1704.00454 [ cs.LG ]
Nielsen, Frank; Shao, Laëtitia (2017), On Balls in a Hilbert Polygonal Geometry , 77 , Actas internacionales de informática de LIPIcs-Leibniz (SoCG)
PJ Bushell, Mapeos de contracción positiva y métrica de Hilbert en un espacio de Banach , Arch. Mech racional. Anal. 52 (1973), 330–338
Hilbert, David (1895), "Ueber die gerade Linie als kürzeste Verbindung zweier Punkte" , Mathematische Annalen , Springer Berlin / Heidelberg, 46 : 91–96, doi : 10.1007 / BF02096204 , ISSN 0025-5831 , JFM 26.0540.02
Papadopoulos, Athanase; Troyanov, Marc (2014), Manual de geometría de Hilbert , Sociedad Matemática Europea
Bas Lemmens y Roger Nussbaum, Teoría no lineal de Perron-Frobenius , Cambridge Tracts in Mathematics 189, Cambridge Univ. Prensa, 2012.