En geometría diferencial , geometría algebraica y teoría de calibre , la correspondencia de Kobayashi-Hitchin (o teorema de Donaldson-Uhlenbeck-Yau ) relaciona haces vectoriales estables sobre una variedad compleja con haces vectoriales de Einstein-Hermitian . La correspondencia lleva el nombre de Shoshichi Kobayashi y Nigel Hitchin , quienes de forma independiente conjeturaron en la década de 1980 que los espacios de módulos de paquetes vectoriales estables y paquetes vectoriales de Einstein-Hermitian sobre una variedad compleja eran esencialmente los mismos. [1] [2]
Esto fue probado por Simon Donaldson para superficies algebraicas proyectivas y luego para variedades algebraicas proyectivas , [3] [4] por Karen Uhlenbeck y Shing-Tung Yau para variedades compactas de Kähler , [5] e independientemente por Buchdahl para superficies compactas que no son de Kahler, y por Jun Li y Yau para variedades complejas compactas arbitrarias. [6] [7]
El teorema puede considerarse una gran generalización del teorema de Narasimhan-Seshadri relacionado con el caso de las superficies compactas de Riemann y ha influido en el desarrollo de la geometría diferencial, la geometría algebraica y la teoría de gauge desde la década de 1980. En particular, la correspondencia de Hitchin-Kobayashi inspiró conjeturas que llevaron a la correspondencia no abeliana de Hodge para los paquetes de Higgs , así como la conjetura de Yau-Tian-Donaldson sobre la existencia de métricas de Kähler-Einstein en las variedades de Fano , y la conjetura de Thomas-Yau sobre la existencia de Lagrangianos especiales dentro de clases de isotopía de subvariedades lagrangianas de unaVariedad de Calabi-Yau . [8]
En 1965, MS Narasimhan y CS Seshadri demostraron el teorema de Narasimhan-Seshadri , que relaciona paquetes de vectores holomorfos (o algebraicos) estables sobre superficies compactas de Riemann (o curvas algebraicas proyectivas no singulares), con representaciones unitarias proyectivas del grupo fundamental de Riemann . superficie. [9] En la década de 1970, Michael Atiyah , Raoul Bott , Hitchin y otros se dieron cuenta de que tal teoría de representación del grupo fundamental podría entenderse en términos de conexiones Yang-Mills., nociones que surgen de la física matemática contemporánea de entonces. Inspirado por el teorema de Narasimhan-Seshadri , en esta época se formó una conjetura popular de que los paquetes de vectores poliestables de pendiente admiten conexiones hermitianas de Yang-Mills . Esto se debe en parte al argumento de Fedor Bogomolov y al éxito del trabajo de Yau sobre la construcción de estructuras geométricas globales en la geometría de Kähler . Esta conjetura fue compartida explícitamente por primera vez por Kobayashi y Hitchin de forma independiente a principios de la década de 1980. [1] [2]
La relación explícita entre las conexiones Yang-Mills y los haces de vectores estables se concretó a principios de la década de 1980. Una correspondencia directa cuando la dimensión de la variedad compleja base es uno se explicó en el trabajo de Atiyah y Bott en 1982 sobre las ecuaciones de Yang-Mills sobre superficies compactas de Riemann, y en la nueva demostración de Donaldson del teorema de Narasimhan-Seshadri desde la perspectiva de Teoría de calibre en 1983. [10] [11]En ese escenario, una conexión Hermitian Yang-Mills podría entenderse simplemente como una conexión plana (proyectivamente) sobre la superficie de Riemann. La noción de una conexión Hermitian-Einstein para un paquete vectorial sobre una variedad compleja de mayor dimensión fue destilada por Kobayashi en 1980, y en 1982 demostró en general que un paquete vectorial que admitía tal conexión tenía pendiente estable en el sentido de Mumford . [12] [13]