En matemáticas , y en particular en la teoría de gauge y la geometría compleja , una conexión Hermitian Yang-Mills (o conexión Hermite-Einstein ) es una conexión Chern asociada a un producto interno en un paquete de vectores holomórficos sobre una variedad de Kähler que satisface un análogo de las ecuaciones de Einstein : es decir, se requiere que la contracción de la forma de curvatura 2 de la conexión con la forma de Kähler sea una constante multiplicada por la transformación de identidad. Las conexiones Hermitian Yang-Mills son ejemplos especiales de conexiones Yang-Mills y, a menudo, se denominan instantones .
La correspondencia Kobayashi-Hitchin probada por Donaldson , Uhlenbeck y Yau afirma que un paquete vectorial holomórfico sobre una variedad Kähler compacta admite una conexión Hermitian Yang-Mills si y solo si es poliestable en pendiente .
Ecuaciones de Hermitian Yang-Mills
Las conexiones Hermite-Einstein surgen como soluciones de las ecuaciones de Hermitian Yang-Mills. Se trata de un sistema de ecuaciones diferenciales parciales en un paquete de vectores sobre una variedad de Kähler, lo que implica las ecuaciones de Yang-Mills . Dejarser una conexión hermitiana en un paquete de vectores hermitianos sobre un colector Kähler de dimensión . Entonces las ecuaciones de Hermitian Yang-Mills son
por alguna constante . Aquí tenemos
Note que desde se supone que es una conexión hermitiana, la curvatura es sesgado-hermitiano , por lo que implica . Cuando el colector Kähler subyacente es compacto, puede calcularse utilizando la teoría de Chern-Weil . Es decir, tenemos
Desde y el endomorfismo de identidad tiene traza dada por el rango de , obtenemos
dónde es la pendiente del paquete de vectores, dada por
y el volumen de se toma con respecto a la forma de volumen .
Debido a la similitud de la segunda condición en las ecuaciones de Hermitian Yang-Mills con las ecuaciones para una métrica de Einstein , las soluciones de las ecuaciones de Hermitian Yang-Mills a menudo se denominan conexiones Hermite-Einstein , así como conexiones Hermitian Yang-Mills .
Ejemplos de
La conexión Levi-Civita de una métrica de Kähler-Einstein es Hermite-Einstein con respecto a la métrica de Kähler-Einstein. (Sin embargo, estos ejemplos son peligrosamente engañosos, porque hay variedades compactas de Einstein , como la métrica de Page en, que son hermitianos, pero para los que la conexión Levi-Civita no es Hermite-Einstein).
Cuando el paquete de vectores hermitianos tiene una estructura holomorfa , hay una elección natural de conexión hermitiana, la conexión Chern . Para la conexión Chern, la condición de quese satisface automáticamente. La correspondencia Hitchin-Kobayashi afirma que un paquete de vectores holomórficos admite una métrica hermitiana tal que la conexión de Chern asociada satisfaga las ecuaciones de Hermitian Yang-Mills si y solo si el conjunto de vectores es poliestable . Desde esta perspectiva, las ecuaciones de Hermitian Yang-Mills pueden verse como un sistema de ecuaciones para la métricaen lugar de la conexión de Chern asociada, y esas métricas que resuelven las ecuaciones se denominan métricas de Hermite-Einstein .
La condición de Hermite-Einstein en las conexiones de Chern fue introducida por primera vez por Kobayashi ( 1980 , sección 6). Estas ecuaciones implican las ecuaciones de Yang-Mills en cualquier dimensión, y en la dimensión real cuatro están estrechamente relacionadas con las ecuaciones auto-duales de Yang-Mills que definen instantones . En particular, cuando la dimensión compleja de la variedad Kähler es , hay una división de las formas en formas auto-dual y anti-auto-dual. La estructura compleja interactúa con esto de la siguiente manera:
Cuando el grado del paquete de vectores desaparece, entonces las ecuaciones de Hermitian Yang-Mills se convierten en . Según la representación anterior, esta es precisamente la condición de que. Es decir,es un instante de ASD . Observe que cuando el grado no desaparece, las soluciones de las ecuaciones de Hermitian Yang-Mills no pueden ser anti-auto-duales y, de hecho, no hay soluciones para las ecuaciones de ASD en este caso. [1]
Ver también
Referencias
- Kobayashi, Shoshichi (1980), "Primera clase Chern y campos de tensores holomórficos" , Nagoya Mathematical Journal , 77 : 5–11, ISSN 0027-7630 , MR 0556302
- Kobayashi, Shoshichi (1987), Geometría diferencial de paquetes de vectores complejos , Publicaciones de la Sociedad Matemática de Japón, 15 , Princeton University Press , ISBN 978-0-691-08467-1, MR 0909698
- ^ Donaldson, SK, Donaldson, SK y Kronheimer, PB (1990). La geometría de cuatro variedades. Prensa de la Universidad de Oxford.