En matemáticas financieras , el modelo de Hull-White es un modelo de tasas de interés futuras . En su formulación más genérica, pertenece a la clase de modelos sin arbitraje que pueden ajustarse a la estructura temporal actual de las tasas de interés. Es relativamente sencillo traducir la descripción matemática de la evolución de las tasas de interés futuras en un árbol o celosía, por lo que los derivados de las tasas de interés , como los swaptions de bermudas, pueden valorarse en el modelo.
El primer modelo Hull-White fue descrito por John C. Hull y Alan White en 1990. El modelo sigue siendo popular en el mercado actual.
El modelo
Modelo de un factor
El modelo es un modelo de tasa corta . En general, tiene la siguiente dinámica:
Existe un grado de ambigüedad entre los profesionales sobre exactamente qué parámetros del modelo dependen del tiempo o qué nombre aplicar al modelo en cada caso. La convención de nomenclatura más comúnmente aceptada es la siguiente:
- tiene dependencia t (tiempo) - el modelo de Hull-White .
- y ambos dependen del tiempo: el modelo extendido de Vasicek .
Modelo de dos factores
El modelo de dos factores de Hull-White ( Hull 2006 : 657-658) contiene un término de perturbación adicional cuya media vuelve a cero y tiene la forma:
dónde tiene un valor inicial de 0 y sigue el proceso:
Análisis del modelo de un factor
Para el resto de este artículo asumimos solo tiene t -dependencia. Descuidando el término estocástico por un momento, observe que parael cambio en r es negativo si r es actualmente "grande" (mayor quey positivo si el valor actual es pequeño. Es decir, el proceso estocástico es un proceso de Ornstein-Uhlenbeck de reversión a la media .
θ se calcula a partir de la curva de rendimiento inicial que describe la estructura temporal actual de las tasas de interés. Normalmente, α se deja como entrada del usuario (por ejemplo, puede estimarse a partir de datos históricos). σ se determina mediante calibración a un conjunto de cápsulas e intercambios fácilmente negociables en el mercado.
Cuándo , , y son constantes, el lema de Itô puede usarse para demostrar que
que tiene distribucion
dónde es la distribución normal con media y varianza .
Cuándo depende del tiempo,
que tiene distribucion
Fijación de precios de bonos utilizando el modelo Hull-White
Resulta que el valor de tiempo S del bono de descuento al vencimiento T tiene distribución (¡observe la estructura de términos afines aquí!)
dónde
Tenga en cuenta que su distribución terminal para se distribuye logarítmicamente normalmente .
Precios de derivados
Al seleccionar como numerario el tiempo- S enlace (que corresponde a la conmutación a la S medida -Forward), tenemos desde el teorema fundamental de la fijación de precios libre de arbitraje , el valor en el tiempo t de un derivado que tiene ganancia en el tiempo de S .
Aquí, es la expectativa tomada con respecto a la medida a futuro . Además, los argumentos de arbitraje estándar muestran que el precio a plazo de tiempo Tpara un pago en el tiempo T dado por V (T) debe satisfacer, por lo tanto
Por tanto, es posible valorar muchas derivadas V dependientes únicamente de un enlace sencilloanalíticamente cuando se trabaja en el modelo Hull-White. Por ejemplo, en el caso de un bono puesto
Porque tiene una distribución logarítmica normal, el cálculo general utilizado para el modelo de Black-Scholes muestra que
dónde
y
Por lo tanto, el valor de hoy (con P (0, S ) multiplicado de nuevo yt establecido en 0) es:
Aquí es la desviación estándar (volatilidad relativa) de la distribución log-normal para . Una cantidad bastante sustancial de álgebra muestra que está relacionada con los parámetros originales a través de
Tenga en cuenta que esta expectativa se realizó en la medida de bonos S , mientras que no especificamos una medida en absoluto para el proceso original de Hull-White. Esto no importa: la volatilidad es todo lo que importa y es independiente de la medición.
Debido a que los topes / pisos de las tasas de interés son equivalentes a las opciones de compra y venta de bonos, respectivamente, el análisis anterior muestra que los topes y pisos se pueden valorar analíticamente en el modelo de Hull-White. El truco de Jamshidian se aplica a Hull-White (ya que el valor actual de un intercambio en el modelo Hull-White es una función monótona de la tasa corta de hoy). Por lo tanto, saber cómo fijar los precios máximos también es suficiente para los intercambios de precios. Incluso en el caso de que el subyacente sea una tasa retrospectiva compuesta en lugar de una tasa LIBOR a plazo (prospectiva), Turfus (2020) muestra cómo esta fórmula puede modificarse directamente para tener en cuenta la convexidad adicional .
Las permutas también se pueden fijar directamente como se describe en Henrard (2003). Las implementaciones directas suelen ser más eficientes.
Simulación de Montecarlo, árboles y celosías
Sin embargo, la valoración de instrumentos básicos como los límites máximos y las permutas es útil principalmente para la calibración. El uso real del modelo es valorar derivados algo más exóticos , como los swaptions de bermudas en celosía , u otros derivados en un contexto multidivisa como Quanto Constant Maturity Swaps, como se explica por ejemplo en Brigo y Mercurio (2001). La simulación Monte-Carlo eficiente y exacta del modelo Hull-White con parámetros dependientes del tiempo se puede realizar fácilmente, ver Ostrovski (2013) y (2016).
Ver también
Referencias
- Referencias primarias
- John Hull y Alan White, "Uso de árboles de tipos de interés de Hull-White", Journal of Derivatives , vol. 3, núm. 3 (primavera de 1996), págs. 26–36
- John Hull y Alan White, "Procedimientos numéricos para implementar modelos de estructura de términos I", Journal of Derivatives , otoño de 1994, págs. 7-16.
- John Hull y Alan White, "Procedimientos numéricos para implementar modelos de estructura de términos II", Journal of Derivatives , invierno de 1994, págs. 37-48.
- John Hull y Alan White, "La fijación de precios de opciones sobre topes y pisos de tasas de interés utilizando el modelo Hull-White" en Advanced Strategies in Financial Risk Management , Capítulo 4, págs. 59–67.
- John Hull y Alan White, "Modelos de tipos de interés de un factor y valoración de valores derivados de tipos de interés", Journal of Financial and Quantitative Analysis , Vol 28, No 2, (junio de 1993) págs. 235–254.
- John Hull y Alan White, "Fijación de precios de valores derivados de tipos de interés", The Review of Financial Studies , Vol 3, No. 4 (1990) págs. 573–592.
- otras referencias
- Hull, John C. (2006). "Derivados de tasa de interés: modelos de la tasa corta". Opciones, futuros y otros derivados (6ª ed.). Upper Saddle River, Nueva Jersey : Prentice Hall . págs. 657 –658. ISBN 0-13-149908-4. LCCN 2005047692 . OCLC 60321487 .
- Damiano Brigo , Fabio Mercurio (2001). Modelos de tasas de interés: teoría y práctica con sonrisa, inflación y crédito (2ª ed. 2006 ed.). Springer Verlag. ISBN 978-3-540-22149-4.
- Henrard, Marc (2003). "Opción explícita de bonos y fórmula de canje en el modelo de un factor de Heath-Jarrow-Morton", Revista Internacional de Finanzas Teóricas y Aplicadas , 6 (1), 57-72. SSRN preimpreso .
- Henrard, Marc (2009). Precio de intercambio eficiente en el modelo de un factor de Hull-White, arXiv, 0901.1776v1. Preimpresión arXiv .
- Ostrovski, Vladimir (2013). Simulación eficiente y exacta del modelo Hull-White, SSRN preimpreso.
- Ostrovski, Vladimir (2016). Simulación eficiente y exacta de los modelos de tipos de interés afines de Gauss., International Journal of Financial Engineering, vol. 3, N ° 02. , SSRN preimpreso.
- Puschkarski, Eugen. Implementación del modelo de estructura temporal sin arbitraje de Hull-White , tesis de diploma, Centro de Mercados Financieros de Europa Central
- Turfus, Colin (2020). Precios de Caplet con tarifas retrospectivas ., SSRN preimpreso.
- Letian Wang, modelo de Hull-White , grupo cuantitativo de renta fija, DTCC (ejemplo numérico detallado y derivación)