En el campo matemático de la teoría de conjuntos , un ideal es una colección parcialmente ordenada de conjuntos que se consideran "pequeños" o "insignificantes". Cada subconjunto de un elemento del ideal debe estar también en el ideal (esto codifica la idea de que un ideal es una noción de pequeñez), y la unión de dos elementos cualesquiera del ideal también debe estar en el ideal.
Más formalmente, dado un conjunto X , un I ideal en X es un subconjunto no vacío del conjunto de potencias de X , tal que:
- ,
- Si y , luego , y
- Si , luego .
Algunos autores añaden una cuarta condición de que X no está en I ; los ideales con esta propiedad adicional se denominan ideales propios .
Los ideales en el sentido de la teoría de conjuntos son exactamente ideales en el sentido de la teoría del orden , donde el orden relevante es la inclusión de conjuntos. Además, son exactamente ideales en el sentido teórico del anillo en el anillo booleano formado por el conjunto de potencias del conjunto subyacente.
Terminología
Se dice que un elemento de un yo ideal es I-nulo o I-insignificante , o simplemente nulo o insignificante si el yo ideal se entiende a partir del contexto. Si yo es un ideal en X , entonces un subconjunto de X se dice que es la I-positivos (o simplemente positivo ) si es no un elemento de Me . La colección de todos los subconjuntos positivos para I de X se denota I + .
Si es un ideal adecuado en y por cada ya sea o , entonces yo es un ideal primordial .
Ejemplos de ideales
Ejemplos generales
- Para cualquier conjunto X y cualquier subconjunto elegido arbitrariamente B ⊆ X , los subconjuntos de B forman un ideal en X . Para X finito , todos los ideales tienen esta forma.
- Los subconjuntos finitos de cualquier conjunto X forman un ideal en X .
- Para cualquier espacio de medida , conjuntos de medida cero.
- Para cualquier espacio de medida , conjuntos de medida finita. Esto abarca subconjuntos finitos (utilizando medidas de conteo ) y pequeños conjuntos a continuación.
Ideales sobre los números naturales
- El ideal de todos los conjuntos finitos de números naturales se denomina Fin.
- El ideal sumable en los números naturales, denotado, es la colección de todos los conjuntos A de números naturales tales que la sumaes finito. Ver conjunto pequeño .
- El ideal de conjuntos de densidad asintóticamente cero en los números naturales, denotado, es la colección de todos los conjuntos A de números naturales tales que la fracción de números naturales menores que n que pertenecen a A , tiende a cero cuando n tiende a infinito. (Es decir, la densidad asintótica de A es cero).
Ideales sobre los números reales
- La medida ideal es la colección de todos los conjuntos A de números reales de manera que la medida de Lebesgue de A sea cero.
- El magro ideal es la recopilación de todos los magros conjuntos de números reales.
Ideales en otros conjuntos
- Si λ es un número ordinal de cofinalidad incontable , el ideal no estacionario en λ es la colección de todos los subconjuntos de λ que no son conjuntos estacionarios . Este ideal ha sido estudiado extensamente por W. Hugh Woodin .
Operaciones sobre ideales
Dados los ideales I y J en los conjuntos subyacentes X e Y respectivamente, se forma el producto I × J en el producto cartesiano X × Y , como sigue: Para cualquier subconjunto A ⊆ X × Y ,
Es decir, un conjunto es insignificante en el producto ideal si solo una colección insignificante de coordenadas x corresponde a una porción no despreciable de A en la dirección y . (Quizás más claro: un conjunto es positivo en el producto ideal si positivamente muchas coordenadas x corresponden a cortes positivos).
Un I ideal en un conjunto X induce una relación de equivalencia en P ( X ), el conjunto de potencias de X , considerando que A y B son equivalentes (para A , B subconjuntos de X ) si y solo si la diferencia simétrica de A y B es un elemento de me . El cociente de P ( X ) por esta relación de equivalencia es un álgebra de Boole , denotado P ( X ) / I (léase "P de X mod I ").
A cada ideal hay un filtro correspondiente , llamado filtro dual . Si yo es un ideal en X , entonces el doble filtro de I es el conjunto de todos los conjuntos X \ A , donde A es un elemento del yo . (Aquí X \ A denota el complemento relativo de A en X ; es decir, la colección de todos los elementos de X que no están en A ).
Relaciones entre ideales
Si I y J son ideales en X e Y respectivamente, I y J son isomórficos de Rudin-Keisler si son el mismo ideal, excepto por el cambio de nombre de los elementos de sus conjuntos subyacentes (ignorando los conjuntos insignificantes). Más formalmente, el requisito es que haya conjuntos A y B , elementos de I y J respectivamente, y una biyección φ : X \ A → Y \ B , tal que para cualquier subconjunto C de X , C ∈ I si y solo si la imagen de C bajo varphi ∈ J .
Si I y J son isomorfos de Rudin-Keisler, entonces P ( X ) / I y P ( Y ) / J son isomorfos como álgebras booleanas. Los isomorfismos de álgebras cocientes de Boole inducidos por isomorfismos de ideales de Rudin-Keisler se denominan isomorfismos triviales .
Ver también
- Filtro (matemáticas) : en matemáticas, un subconjunto especial de un conjunto parcialmente ordenado
- π -system - Familia de conjuntos no vacíos donde la intersección de dos miembros cualesquiera es nuevamente un miembro
- σ-ideal
Referencias
- Farah, Ilijas (noviembre de 2000). Cocientes analíticos: Teoría de elevaciones de cocientes sobre ideales analíticos sobre enteros . Memorias de la AMS. Sociedad Matemática Estadounidense. ISBN 9780821821176.