En matemáticas , el estudio del intercambio de operaciones limitantes es una de las principales preocupaciones del análisis matemático , ya que no se puede suponer que dos operaciones limitantes dadas, digamos L y M , den el mismo resultado cuando se aplican en cualquier orden. Una de las fuentes históricas de esta teoría es el estudio de series trigonométricas . [1]
Formulación
En símbolos, la suposición
- LM = ML ,
donde el lado izquierdo significa que M se aplica primero, luego L , y viceversa, en el lado derecho , no es una ecuación válida entre operadores matemáticos , bajo todas las circunstancias y para todos los operandos. Un algebrista diría que las operaciones no se conmutan . El enfoque adoptado en el análisis es algo diferente. Las conclusiones que asumen que las operaciones de limitación sí 'conmutan' se denominan formales . El analista intenta delinear las condiciones bajo las cuales tales conclusiones son válidas; en otras palabras, el rigor matemático se establece mediante la especificación de algún conjunto de condiciones suficientes para que el análisis formal sea válido. Este enfoque justifica, por ejemplo, la noción de convergencia uniforme . [2] Es relativamente raro que tales condiciones suficientes sean también necesarias, de modo que un análisis más preciso puede extender el dominio de validez de los resultados formales.
Por lo tanto, profesionalmente hablando, los analistas van más allá de las técnicas y amplían el significado de buen comportamiento para un contexto dado. GH Hardy escribió que "El problema de decidir si dos operaciones límite dadas son conmutativas es uno de los más importantes en matemáticas". [3] Una opinión aparentemente no a favor del enfoque por partes, sino de dejar el análisis al nivel de la heurística , fue la de Richard Courant .
Ejemplos de
Abundan los ejemplos, uno de los más simples es que para una secuencia doble a m , n : no es necesariamente el caso de que las operaciones de tomar los límites como m → ∞ y como n → ∞ puedan intercambiarse libremente. [4] Por ejemplo, tome
- una m , n = 2 m - n
en el que tomando el límite primero con respecto a n da 0, y con respecto a m da ∞.
Muchos de los resultados fundamentales del cálculo infinitesimal también caen en esta categoría: la simetría de derivadas parciales , la diferenciación bajo el signo integral y el teorema de Fubini se ocupan del intercambio de operadores de diferenciación e integración .
Una de las principales razones por las que se utiliza la integral de Lebesgue es que existen teoremas, como el teorema de la convergencia dominada , que dan condiciones suficientes en las que la integración y la operación límite pueden intercambiarse. Federico Cafiero descubrió las condiciones necesarias y suficientes para este intercambio . [5]
- Intercambio de límites:
- Intercambio de límite y suma infinita:
- Intercambio de derivadas parciales:
- Intercambio de integrales:
- Intercambio de límite e integral:
- Teorema de convergencia dominado
- Teorema de convergencia vitali
- Teorema de convergencia de Fichera
- Teorema de convergencia de Cafiero
- Lema de Fatou
- Intercambio de derivada e integral:
Ver también
Notas
- ^ "Serie trigonométrica" , Enciclopedia de matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
- ^ Carothers, NL (2000). Análisis real . Nueva York: Cambridge University Press. pag. 150 . ISBN 0-521-49749-3.
- ^ En una nota del Apéndice A sobre operaciones de doble límite de A Course of Pure Mathematics .
- ^ Knapp, Anthony W. (2005). Análisis real básico . Boston: Birkhäuser. pag. 13. ISBN 0-8176-3250-6.
- ^ Cafiero, Federico (1953). "Sul passaggio al limite sotto il segno d'integrale per sucesioni d'integrali di Stieltjes-Lebesgue negli spazi astratti, con masse variabili con gli integrandi" . Rendiconti del Seminario Matematico della Università di Padova . 22 : 223–245. Señor 0057951 . Zbl 0052.05003 .