En Einstein teoría de la 's relatividad general , la Schwarzschild interior métrica (también solución interior Schwarzschild o solución de fluido Schwarzschild ) es una solución exacta para el campo gravitatorio en el interior de un cuerpo no giratorio esférica que consiste en un fluido incompresible (lo que implica que la densidad es constante en todo el cuerpo) y tiene una presión cero en la superficie. Esta es una solución estática, lo que significa que no cambia con el tiempo. Fue descubierto por Karl Schwarzschild en 1916, quien antes había encontrado elmétrica exterior de Schwarzschild . [1]
Matemáticas
La métrica interior de Schwarzschild se enmarca en un sistema de coordenadas esféricas con el centro del cuerpo ubicado en el origen, más la coordenada de tiempo. Su elemento de línea es [2] [3]
dónde
- es el tiempo adecuado (tiempo medido por un reloj que se mueve a lo largo de la misma línea del mundo con la partícula de prueba ).
- es la velocidad de la luz .
- es la coordenada de tiempo (medida por un reloj estacionario ubicado infinitamente lejos del cuerpo esférico).
- es la coordenada radial de Schwarzschild. Cada superficie de constante y tiene la geometría de una esfera con circunferencia medible (adecuada) y area (como en las fórmulas habituales), pero la deformación del espacio significa que la distancia adecuada desde cada caparazón al centro del cuerpo es mayor que .
- es la colatitude (ángulo desde el norte, en unidades de radianes ).
- es la longitud (también en radianes).
- es el radio de Schwarzschild del cuerpo, que está relacionado con su masa por , dónde es la constante gravitacional . (Para estrellas y planetas ordinarios, esto es mucho menor que su radio apropiado).
- es el valor de la -coordinar en la superficie del cuerpo. (Esto es menor que su radio apropiado (interior medible), aunque para la Tierra la diferencia es de solo 1,4 milímetros).
Esta solución es válida para . Para obtener una métrica completa del campo gravitacional de la esfera, la métrica interior de Schwarzschild debe coincidir con la exterior,
en la superficie. Se puede ver fácilmente que los dos tienen el mismo valor en la superficie, es decir, en.
Otras formulaciones
Definiendo un parámetro , obtenemos
También podemos definir una coordenada radial alternativa y un parámetro correspondiente , dando [4]
Propiedades
Volumen
Con y el area
la integral para el volumen adecuado es
que es más grande que el volumen de una concha de referencia euclidiana.
Densidad
El fluido tiene una densidad constante por definición. Es dado por
fueron es la constante gravitacional de Einstein . [3] [5] Puede ser contradictorio que la densidad sea la masa dividida por el volumen de una esfera con radio, que parece ignorar que esto es menor que el radio adecuado, y que el espacio dentro del cuerpo está curvado para que la fórmula de volumen para una esfera "plana" no se mantenga en absoluto. Sin embargo,es la masa medida desde el exterior, por ejemplo, al observar una partícula de prueba que orbita alrededor del cuerpo gravitante (la " masa de Kepler "), que en la relatividad general no es necesariamente igual a la masa propiamente dicha. Esta diferencia de masa anula exactamente la diferencia de volúmenes.
Presión y estabilidad
La presión del fluido incompresible se puede encontrar calculando el tensor de Einstein de la métrica. El tensor de Einstein es diagonal (es decir, todos los elementos fuera de la diagonal son cero), lo que significa que no hay esfuerzos cortantes y tiene valores iguales para los tres componentes diagonales espaciales, lo que significa que la presión es isotrópica . Su valor es
Como era de esperar, la presión es cero en la superficie de la esfera y aumenta hacia el centro. Se vuelve infinito en el centro si, que corresponde a o , que es cierto para un cuerpo que es extremadamente denso o grande. Un cuerpo así sufre un colapso gravitacional en un agujero negro . Como se trata de un proceso que depende del tiempo, la solución de Schwarzschild ya no se mantiene. [2] [3]
Redshift
El desplazamiento al rojo gravitacional de la radiación de la superficie de la esfera (por ejemplo, la luz de una estrella) es
De la condición de estabilidad sigue . [3]
Visualización
La curvatura espacial de la métrica interior de Schwarzschild se puede visualizar tomando un corte (1) con tiempo constante y (2) a través del ecuador de la esfera, es decir. Esta rebanada bidimensional se puede incrustar en un espacio euclidiano tridimensional y luego toma la forma de un casquete esférico con radio y medio ángulo de apertura . Su curvatura gaussiana es proporcional a la densidad del fluido y es igual a . Como la métrica exterior se puede incrustar de la misma manera (produciendo el paraboloide de Flamm ), se puede dibujar una porción de la solución completa así: [5] [6]
En este gráfico, el arco circular azul representa la métrica interior y los arcos parabólicos negros con la ecuaciónrepresentan la métrica exterior, o el paraboloide de Flamm. La-coordinado es el ángulo medido desde el centro de la tapa, es decir, desde "arriba" del corte. El radio adecuado de la esfera, intuitivamente, la longitud de una varilla de medición que se extiende desde su centro hasta un punto en su superficie, es la mitad de la longitud del arco circular, o.
Esta es una visualización puramente geométrica y no implica una "cuarta dimensión espacial" física en la que el espacio se curvaría. (La curvatura intrínseca no implica una curvatura extrínseca ).
Ejemplos de
Estos son los parámetros relevantes para algunos objetos astronómicos, sin tener en cuenta la rotación y las inhomogeneidades, como la desviación de la forma esférica y la variación en la densidad.
Objeto | ( corrimiento al rojo ) | ||||
---|---|---|---|---|---|
tierra | 6.370 kilometros | 8,87 milímetros | 170.000.000 km 9,5 minutos luz | 7.7 ″ | 7 × 10 −10 |
sol | 696.000 kilometros | 2.95 kilometros | 338.000.000 km 19 minutos luz | 7.0 ′ | 2 × 10 −6 |
Enana blanca con 1 masa solar | 5000 kilometros | 2.95 kilometros | 200.000 kilometros | 1,4 ° | 3 × 10 −4 |
Estrella de neutrones con 2 masas solares | 20 kilometros | 6 kilometros | 37 kilometros | 30 ° | 0,15 |
Historia
La solución interior de Schwarzschild fue la primera solución fluida perfecta esféricamente simétrica estática que se encontró. Se publicó el 24 de febrero de 1916, solo tres meses después de las ecuaciones de campo de Einstein y un mes después de la solución exterior de Schwarzschild. [1] [2]
Referencias
- ↑ a b Karl Schwarzschild (1916). "Über das Gravitationsfeld eines Massenpunktes nach der Einsteinschen Theorie" [Sobre el campo gravitacional de una masa puntual según la teoría de Einstein]. Sitzungsberichte der Königlich-Preussischen Akademie der Wissenschaften (en alemán). Berlín: 189-196.
- ^ a b c Karl Schwarzschild (1916). "Über das Gravitationsfeld einer Kugel aus inkompressibler Flüssigkeit nach der Einsteinschen Theorie" [Sobre el campo gravitacional de una bola de fluido incompresible según la teoría de Einstein]. Sitzungsberichte der Königlich-Preussischen Akademie der Wissenschaften (en alemán). Berlín: 424–434.
- ^ a b c d Torsten Fließbach (2003). Allgemeine Relativitätstheorie [ Teoría general de la relatividad ] (en alemán) (4ª ed.). Spektrum Akademischer Verlag. págs. 231–241. ISBN 3-8274-1356-7.
- ^ R. Burghardt (2009). "Solución interior Schwarzschild y caída libre" (PDF) . Informes austriacos sobre gravitación .
- ^ a b PS Florides (1974). "Una nueva solución interior Schwarzschild". Actas de la Royal Society of London. Serie A, Ciencias Físicas y Matemáticas . 337 (1611): 529–535. Código bibliográfico : 1974RSPSA.337..529F . doi : 10.1098 / rspa.1974.0065 . JSTOR 78530 .
- ^ R. Burghardt (2009). "Nueva incrustación de geometría de Schwarzschild. II. Solución interior" (PDF) . Informes austriacos sobre gravitación .