En matemáticas , especialmente en la teoría del potencial , la medida armónica es un concepto relacionado con la teoría de funciones armónicas que surge de la solución del problema clásico de Dirichlet .
En la teoría de la probabilidad , la medida armónica de un subconjunto del límite de un dominio acotado en el espacio euclidiano , es la probabilidad de que un movimiento browniano iniciado dentro de un dominio golpee ese subconjunto del límite. Más en general, medida armónica de una difusión Itō X describe la distribución de X , ya que golpea el límite de D . En el plano complejo , la medida armónica se puede utilizar para estimar el módulo de una función analítica dentro de un dominio D límites dados en el módulo en el límite del dominio; un caso especial de este principio es el teorema de los tres círculos de Hadamard . En dominios planos simplemente conectados, existe una estrecha conexión entre la medida armónica y la teoría de mapas conformes .
El término medida armónica fue introducido por Rolf Nevanlinna en 1928 para dominios planos, [1] [2] aunque Nevanlinna señala que la idea apareció implícitamente en trabajos anteriores de Johansson, F. Riesz, M. Riesz, Carleman, Ostrowski y Julia (orden original citado). La conexión entre la medida armónica y el movimiento browniano fue identificada por primera vez por Kakutani diez años más tarde en 1944. [3]
Definición
Deje que D sea un delimitada , dominio abierto en n - dimensional espacio euclidiano R n , n ≥ 2, y dejar que ∂ D denotan el límite de D . Cualquier función continua f : ∂ D → R determina una función armónica única H f que resuelve el problema de Dirichlet
Si un punto x ∈ D es fijo, por el teorema de representación de Riesz-Markov-Kakutani y el principio máximo H f ( x ) determina una medida de probabilidad ω ( x , D ) en ∂ D por
La medida ω ( x , D ) se llama medida armónica (del dominio D con polo en x ).
Propiedades
- Para cualquier Borel subconjunto E de ∂ D , la medida armónica ω ( x , D ) ( E ) es igual al valor en x de la solución al problema de Dirichlet con los datos de contorno igual a la función indicadora de E .
- Para D y E fijos ⊆ ∂ D , ω ( x , D ) ( E ) es una función armónica de x ∈ D y
- Por lo tanto, para cada x y D , ω ( x , D ) es una medida de probabilidad en ∂ D .
- Si ω ( x , D ) ( E ) = 0 incluso en un solo punto x de D , entonceses idénticamente cero, en cuyo caso se dice que E es un conjunto de medida armónica cero . Esta es una consecuencia de la desigualdad de Harnack .
Dado que las fórmulas explícitas para la medida armónica no suelen estar disponibles, nos interesa determinar las condiciones que garantizan que un conjunto tenga una medida armónica cero.
- Teorema de F. y M. Riesz : [4] Sies un dominio plano simplemente conectado limitado por una curva rectificable (es decir, si), entonces la medida armónica es mutuamente absolutamente continua con respecto a la longitud del arco: para todos , si y solo si .
- Teorema de Makarov : [5] Seaser un dominio plano simplemente conectado. Si y para algunos , luego . Además, la medida armónica en D es mutuamente singular con respecto a la medida t- dimensional de Hausdorff para todo t > 1.
- Teorema de Dahlberg : [6] Sies un dominio de Lipschitz acotado , entonces la medida armónica y la medida de Hausdorff ( n - 1) -dimensional son mutuamente absolutamente continuas: para todos, si y solo si .
Ejemplos de
- Si es el disco unitario, entonces la medida armónica de con el polo en el origen es la medida de longitud en el círculo unitario normalizada para ser una probabilidad, es decir para todos dónde denota la longitud de .
- Si es el disco unitario y , luego para todos dónde denota medida de longitud en el círculo unitario. La derivada Radon-Nikodym se llama núcleo de Poisson .
- De manera más general, si y es la bola de la unidad n- dimensional, luego la medida armónica con el polo en es para todos dónde denota medida de superficie (( n - 1) -medida de Hausdorff dimensional ) en la esfera unitaria y .
- Si es un dominio plano simplemente conectado delimitado por una curva de Jordan y XD , entonces para todos dónde es el mapa de Riemann único que envía el origen a X , es decir. Véase el teorema de Carathéodory .
- Si es el dominio delimitado por el copo de nieve de Koch , entonces existe un subconjunto del copo de nieve de Koch de modo que tiene longitud cero) y medida armónica completa .
La medida armónica de una difusión.
Considere una difusión X de Itō con valor R n que comienza en algún punto x en el interior de un dominio D , con la ley P x . Supongamos que se desea conocer la distribución de los puntos en los que X salidas D . Por ejemplo, el movimiento browniano canónico B en la línea real que comienza en 0 sale del intervalo (-1, +1) en -1 con probabilidad ½ y en +1 con probabilidad ½, por lo que B τ (-1, +1) es uniformemente distribuido en el conjunto {−1, +1}.
En general, si G está integrado de forma compacta dentro de R n , entonces la medida armónica (o distribución de impacto ) de X en el límite ∂ G de G es la medida μ G x definida por
para x ∈ G y F ⊆ ∂ G .
Volviendo al ejemplo anterior de movimiento browniano, se puede demostrar que si B es un movimiento browniano en R n que comienza en x ∈ R n y D ⊂ R n es una bola abierta centrada en x , entonces la medida armónica de B en ∂ D es invariante bajo todas las rotaciones de D alrededor de xy coincide con la medida de superficie normalizada en ∂ D
Referencias generales
- Garnett, John B .; Marshall, Donald E. (2005). Medida armónica . Cambridge: Cambridge University Press. doi : 10.2277 / 0521470188 . ISBN 978-0-521-47018-6.
- Øksendal, Bernt K. (2003). Ecuaciones diferenciales estocásticas: una introducción con aplicaciones (Sexta ed.). Berlín: Springer. ISBN 3-540-04758-1. SEÑOR2001996 (Véanse las Secciones 7, 8 y 9)
- Capogna, Luca; Kenig, Carlos E .; Lanzani, Loredana (2005). Medida armónica: puntos de vista geométricos y analíticos . Ciclos de Conferencias Universitarias. ULECT / 35. Sociedad Matemática Estadounidense. pag. 155. ISBN 978-0-8218-2728-4.
Referencias
- ^ R. Nevanlinna (1970), "Funciones analíticas", Springer-Verlag, Berlín, Heidelberg, cf. Introducción p. 3
- ↑ R. Nevanlinna (1934), "Das harmonische Mass von Punktmengen und seine Anwendung in der Funktionentheorie", Comptes rendus du huitème congrès des mathématiciens scandinaves, Estocolmo, págs. 116-133.
- ^ Kakutani, S. (1944). "Sobre el movimiento browniano en n- espacio" . Proc. Diablillo. Acad. Tokio . 20 (9): 648–652. doi : 10.3792 / pia / 1195572742 .
- ^ F. y M. Riesz (1916), "Über die Randwerte einer analytischen Funktion", Quatrième Congrès des Mathématiciens Scandinaves, Estocolmo, págs. 27–44.
- ^ Makarov, NG (1985). "Sobre la distorsión de los conjuntos de límites en mapas conformales". Proc. London Math. Soc . 3. 52 (2): 369–384. doi : 10.1112 / plms / s3-51.2.369 .
- ^ Dahlberg, Björn EJ (1977). "Estimaciones de medida armónica". Arco. Rata. Mech. Anal . 65 (3): 275–288. Código Bibliográfico : 1977ArRMA..65..275D . doi : 10.1007 / BF00280445 .
- P.Jones y T.Wolff, dimensión de Hausdorff de la medida armónica en el plano, Acta. Matemáticas. 161 (1988) 131-144 (MR962097) (90j: 31001)
- C.Kenig y T.Toro, Regularidad de límite libre para medidas armónicas y núcleos de Poisson, Ann. de Matemáticas. 150 (1999) 369-454 MR 172669992001d: 31004)
- C.Kenig, D.PreissandT. Toro, Estructura límite y tamaño en términos de medidas armónicas interiores y exteriores en dimensiones superiores, Jour. ofAmer. Matemáticas. Soc.vol 22 de julio de 2009, no3,771-796
- S .G.Krantz, The Theory and Practice of Conformal Geometry, Dover Publ.Mineola New York (2016) esp. Estuche clásico ch6
enlaces externos
- Solomentsev, ED (2001) [1994], "Medida armónica" , Enciclopedia de matemáticas , EMS Press