La geometría espectral es un campo de las matemáticas que se ocupa de las relaciones entre estructuras geométricas de variedades y espectros de operadores diferenciales definidos canónicamente . El caso del operador de Laplace-Beltrami en una variedad Riemanniana cerrada se ha estudiado más intensamente, aunque también se han examinado otros operadores de Laplace en geometría diferencial . El campo se ocupa de dos tipos de cuestiones: problemas directos y problemas inversos.
Los problemas inversos buscan identificar características de la geometría a partir de información sobre los valores propios del laplaciano. Uno de los primeros resultados de este tipo se debió a Hermann Weyl, quien utilizó la teoría de la ecuación integral de David Hilbert en 1911 para demostrar que el volumen de un dominio acotado en el espacio euclidiano se puede determinar a partir del comportamiento asintótico de los valores propios de Dirichlet. Problema de valor límite del operador de Laplace . Esta pregunta se suele expresar como " ¿Se puede oír la forma de un tambor? ", Frase popular de Mark Kac.. Un refinamiento de la fórmula asintótica de Weyl obtenida por Pleijel y Minakshisundaram produce una serie de invariantes espectrales locales que involucran diferenciaciones covariantes del tensor de curvatura , que pueden usarse para establecer la rigidez espectral para una clase especial de variedades. Sin embargo, como nos dice el ejemplo de John Milnor , la información de los valores propios no es suficiente para determinar la clase de isometría de una variedad (ver isospectral ). Un método general y sistemático debido a Toshikazu Sunada dio lugar a una verdadera industria artesanal de tales ejemplos que aclara el fenómeno de las variedades isospectrales.
Los problemas directos intentan inferir el comportamiento de los valores propios de una variedad de Riemann a partir del conocimiento de la geometría. Las soluciones a problemas directos están tipificadas por la desigualdad de Cheeger, que da una relación entre el primer valor propio positivo y una constante isoperimétrica (la constante de Cheeger ). Se han establecido muchas versiones de la desigualdad desde el trabajo de Cheeger (por R. Brooks y P. Buser, por ejemplo).
Ver también
Referencias
- Berger, Marcel ; Gauduchon, Paul; Mazet, Edmond (1971), Le spectre d'une variété riemannienne , Lecture Notes in Mathematics (en francés), 194 , Berlín-Nueva York: Springer-Verlag.
- Sunada, Toshikazu (1985), "Revestimientos riemannianos y colectores isospectrales", Ann. de Matemáticas. , 121 (1): 169–186, doi : 10.2307 / 1971195 , JSTOR 1971195.