El Kolmogorov-Arnold-Moser ( KAM ) teorema es un resultado en sistemas dinámicos sobre la persistencia de movimientos cuasiperiódicos bajo pequeñas perturbaciones. El teorema resuelve en parte el problema del divisor pequeño que surge en la teoría de perturbaciones de la mecánica clásica .
El problema es si una pequeña perturbación de un sistema dinámico conservador da como resultado una órbita cuasiperiódica duradera . El avance original a este problema fue dado por Andrey Kolmogorov en 1954. [1] Esto fue rigurosamente probado y ampliado por Jürgen Moser en 1962 [2] (para mapas de torsión suave ) y Vladimir Arnold en 1963 [3] (para sistemas analíticos hamiltonianos ), y el resultado general se conoce como teorema de KAM.
Arnold originalmente pensó que este teorema podría aplicarse a los movimientos del sistema solar u otras instancias del problema de los n cuerpos , pero resultó que solo funcionaba para el problema de los tres cuerpos debido a una degeneración en su formulación del problema para los más grandes. número de cuerpos. Más tarde, Gabriella Pinzari mostró cómo eliminar esta degeneración desarrollando una versión invariante de rotación del teorema. [4]
Declaración
Sistemas hamiltonianos integrables
El teorema de KAM generalmente se establece en términos de trayectorias en el espacio de fase de un sistema hamiltoniano integrable . El movimiento de un sistema integrable se limita a un toro invariante (una superficie en forma de rosquilla ). Las diferentes condiciones iniciales del sistema hamiltoniano integrable trazarán diferentes toros invariantes en el espacio de fase. Trazar las coordenadas de un sistema integrable mostraría que son cuasiperiódicas.
Perturbaciones
El teorema de KAM establece que si el sistema se somete a una perturbación no lineal débil , algunos de los toros invariantes se deforman y sobreviven [ aclaración necesaria ] , mientras que otros se destruyen. [ aclaración necesaria ] Los toros supervivientes cumplen la condición de no resonancia , es decir, tienen frecuencias "suficientemente irracionales". Esto implica que el movimiento [ ¿cuál? ] sigue siendo cuasiperiódico , con los períodos independientes cambiados (como consecuencia de la condición de no degeneración). El teorema de KAM cuantifica el nivel de perturbación que se puede aplicar para que esto sea cierto.
Aquellos toros KAM que son destruidos por la perturbación se convierten en conjuntos de Cantor invariantes , llamados Cantori por Ian C. Percival en 1979. [5]
Las condiciones de no resonancia y no degeneración del teorema KAM se vuelven cada vez más difíciles de satisfacer para sistemas con más grados de libertad. A medida que aumenta el número de dimensiones del sistema, el volumen ocupado por los toros disminuye.
A medida que aumenta la perturbación y las curvas suaves se desintegran, pasamos de la teoría KAM a la teoría de Aubry-Mather, que requiere hipótesis menos estrictas y funciona con conjuntos similares a Cantor.
La existencia de un teorema KAM para las perturbaciones de los sistemas integrables cuánticos de muchos cuerpos sigue siendo una cuestión abierta, aunque se cree que perturbaciones arbitrariamente pequeñas destruirán la integrabilidad en el límite de tamaño infinito.
Consecuencias
Una consecuencia importante del teorema KAM es que para un gran conjunto de condiciones iniciales el movimiento permanece perpetuamente cuasiperiódico. [ cual? ]
Teoría KAM
Los métodos introducidos por Kolmogorov, Arnold y Moser se han convertido en un gran conjunto de resultados relacionados con los movimientos cuasiperiódicos, ahora conocida como teoría KAM . En particular, se ha extendido a sistemas no hamiltonianos (comenzando con Moser), a situaciones no perturbadoras (como en el trabajo de Michael Herman ) y a sistemas con frecuencias rápidas y lentas (como en el trabajo de Mikhail B. Sevryuk ) .
Ver también
- Estabilidad del sistema solar
- Difusión de Arnold
- Teoría ergódica
- Mariposa de Hofstadter
- Estimaciones de Nekhoroshev
Notas
- ^ AN Kolmogorov, "sobre la conservación de condicionalmente periódicas mociones bajo pequeña perturbación del hamiltoniano [О сохранении условнопериодических движений при малом изменении функции]", Dokl. Akad. Nauk SSR 98 (1954).
- ^ J. Moser, "Sobre curvas invariantes de mapeos que preservan el área de un anillo", Nachr. Akad. Wiss. Göttingen Math.-Phys. Kl. II 1962 (1962), 1–20.
- ↑ VI Arnold, "Prueba de un teorema de AN Kolmogorov sobre la preservación de movimientos condicionalmente periódicos bajo una pequeña perturbación del hamiltoniano [Малые знаменатели и проблема устойчивости движения вости движения восема движения восема нкика" . Nauk 18 (1963) (trad .: Inglés Russ Matemáticas Surv... 18 , 9--36, doi: 10.1070 / RM1963v018n05ABEH004130).
- ^ Khesin, Boris (24 de octubre de 2011), Colliander, James (ed.), "Addendum to Arnold Memorial Workshop: Khesin on Pinzari talk" , Blog de James Colliander , archivado desde el original el 29 de marzo de 2017 , obtenido el 29 de marzo de 2017
- ^ Percival, IC (1 de marzo de 1979). "Un principio variacional para toros invariantes de frecuencia fija". Revista de Física A: Matemática y General . 12 (3): L57 – L60. Código bibliográfico : 1979JPhA ... 12L..57P . doi : 10.1088 / 0305-4470 / 12/3/001 .
Referencias
- Arnold, Weinstein, Vogtmann. Métodos matemáticos de la mecánica clásica , 2ª ed., Apéndice 8: Teoría de las perturbaciones del movimiento condicionalmente periódico y teorema de Kolmogorov. Springer 1997.
- Wayne, C. Eugene (enero de 2008). "Introducción a la teoría de KAM" (PDF) . Preimpresión : 29 . Consultado el 20 de junio de 2012 .
- Jürgen Pöschel (2001). "Una conferencia sobre el teorema clásico de KAM" (PDF) . Actas de simposios en matemáticas puras . 69 : 707–732. CiteSeerX 10.1.1.248.8987 . doi : 10.1090 / pspum / 069/1858551 . ISBN 9780821826829.
- Rafael de la Llave (2001) Un tutorial sobre teoría KAM .
- Weisstein, Eric W. "Teorema de Kolmogorov-Arnold-Moser" . MathWorld .
- Teoría KAM: el legado del artículo de 1954 de Kolmogorov
- Teoría de Kolmogorov-Arnold-Moser de Scholarpedia
- H Scott Dumas. La historia de KAM: una introducción amistosa al contenido, la historia y la importancia de la teoría clásica de Kolmogorov-Arnold-Moser , 2014, World Scientific Publishing, ISBN 978-981-4556-58-3 . Capítulo 1 Introducción