En el campo de las matemáticas conocido como geometría diferencial , una estructura compleja generalizada es una propiedad de una variedad diferencial que incluye como casos especiales una estructura compleja y una estructura simpléctica . Las estructuras complejas generalizadas fueron introducidas por Nigel Hitchin en 2002 y desarrolladas por sus alumnos Marco Gualtieri y Gil Cavalcanti .
Estas estructuras surgieron por primera vez en el programa de Hitchin de caracterizar estructuras geométricas a través de funcionales de formas diferenciales , una conexión que formó la base de la propuesta de 2004 de Robbert Dijkgraaf , Sergei Gukov , Andrew Neitzke y Cumrun Vafa de que las teorías de cuerdas topológicas son casos especiales de una M -teoría . Hoy en día, las estructuras complejas generalizadas también juegan un papel principal en la teoría física de cuerdas , ya que las compactaciones de flujo supersimétrico , que relacionan la física de 10 dimensiones con mundos de 4 dimensiones como el nuestro, requieren estructuras complejas generalizadas (posiblemente retorcidas).
Definición
El paquete tangente generalizado
Considere un N -manifold M . El paquete de la tangente de M , que se denota T , es el paquete del vector sobre M cuyas fibras consistir en todos los vectores tangentes a M . Una sección de T es un campo vectorial en M . El fibrado cotangente de M , denotado T * , es el fibrado vectorial de M cuyas secciones son uno-formas en M .
En geometría compleja, se consideran estructuras en los haces tangentes de variedades. En la geometría simpléctica, uno está interesado en cambio en los poderes exteriores del paquete cotangente. La geometría generalizada une estos dos campos tratando secciones del paquete tangente generalizado , que es la suma directa de los haces tangente y cotangente, que son sumas formales de un campo vectorial y de una forma.
Las fibras están dotadas de un producto interior natural con firma ( N , N ). Si X e Y son campos vectoriales y ξ y η son formas uniformes, entonces el producto interno de X + ξ e Y + η se define como
Una estructura casi compleja generalizada es solo una estructura casi compleja del haz tangente generalizado que preserva el producto interno natural:
tal que y
Como en el caso de una estructura casi compleja ordinaria , una estructura casi compleja generalizada está determinada únicamente por su- paquete propio , es decir, un subpaquete del haz tangente generalizado complexificado dada por
Dicho subconjunto L satisface las siguientes propiedades:
(i) la intersección con su conjugado complejo es la sección cero:;
(ii) L es isotrópico máximo , es decir, su rango complejo es igual a N y para todos
Viceversa, cualquier subconjunto L que satisfaga (i), (ii) es el-eigenbundle de una estructura casi compleja generalizada única, de modo que las propiedades (i), (ii) pueden considerarse como una definición alternativa de estructura casi compleja generalizada.
Soporte de Courant
En la geometría compleja ordinaria, una estructura casi compleja es integrable a una estructura compleja si y solo si el corchete de Lie de dos secciones del subconjunto holomórfico es otra sección del subconjunto holomorfo.
En la geometría compleja generalizada, uno no está interesado en los campos vectoriales, sino más bien en las sumas formales de los campos vectoriales y las formas uniformes. En 1990 se introdujo una especie de paréntesis de Lie para tales sumas formales y se llama paréntesis de Courant, que se define
dónde es la derivada de Lie a lo largo del campo vectorial X , d es la derivada exterior e i es el producto interior .
Definición
Una estructura compleja generalizada es una estructura casi compleja generalizada de modo que el espacio de las secciones lisas de L se cierra bajo el corchete de Courant.
Subconjuntos isotrópicos máximos
Clasificación
Existe una correspondencia biunívoca entre el subconjunto isotrópico máximo de y parejas donde E es un subconjunto de T yes una forma de 2. Esta correspondencia se extiende directamente al caso complejo.
Dado un par se puede construir un subconjunto máximamente isotrópico de como sigue. Los elementos del subpaquete son las sumas formales donde el campo vectorial X es una sección de E y la forma única ξ restringida al espacio dual es igual al de una forma
Para ver eso es isotrópico, observe que si Y es una sección de E y prohibido para es luego como parte de ortogonal a aniquila Y . Por tanto, si y son secciones de luego
y entonces es isotrópico. Además, es máxima porque hay dimensiones (complejas) de opciones para y no está restringido en el complemento de que es de dimensión (compleja) Por tanto, la dimensión total (compleja) en n . Gualtieri ha demostrado que todos los subconjuntos isotrópicos máximos tienen la forma para algunos y
Tipo
El tipo de subconjunto isotrópico máximoes la dimensión real de la subfibrado que aniquila E . Equivalentemente es 2 N menos la dimensión real de la proyección deen el fibrado tangente T . En otras palabras, el tipo de subconjunto isotrópico máximo es la codimensión de su proyección sobre el haz tangente. En el caso complejo, se utiliza la dimensión compleja y el tipo a veces se denomina tipo complejo . Si bien el tipo de un subconjunto puede ser, en principio, cualquier número entero entre 0 y 2 N , las estructuras casi complejas generalizadas no pueden tener un tipo mayor que N porque la suma del subconjunto y su conjugado complejo deben ser todos de
El tipo de subconjunto isotrópico máximo es invariante bajo difeomorfismos y también bajo cambios del campo B , que son isometrías de de la forma
donde B es una forma 2 cerrada arbitraria llamada campo B en la literatura sobre teoría de cuerdas .
El tipo de una estructura casi compleja generalizada no es en general constante, puede saltar cualquier número entero par . Sin embargo, es semicontinuo superior , lo que significa que cada punto tiene una vecindad abierta en la que el tipo no aumenta. En la práctica, esto significa que los subconjuntos de tipo mayor que el tipo ambiente se producen en subvariedades con codimensión positiva .
Índice real
El índice real r de un subespacio isotrópico máximo L es la dimensión compleja de la intersección de L con su conjugado complejo. Un subespacio isotrópico máximo dees una estructura casi compleja generalizada si y solo si r = 0.
Paquete canónico
Como en el caso de la geometría compleja ordinaria, existe una correspondencia entre estructuras casi complejas generalizadas y haces de líneas complejas . El paquete de líneas complejas que corresponde a una estructura casi compleja generalizada particular se denomina a menudo paquete canónico , ya que generaliza el paquete canónico en el caso ordinario. A veces también se le llama haz de espinores puros , ya que sus secciones son espinores puros .
Estructuras generalizadas casi complejas
El paquete canónico es un subconjunto de una dimensión compleja del paquete de formas diferenciales complejos sobre M . Recuerde que las matrices gamma definen un isomorfismo entre formas diferenciales y espinores. En particular, las formas pares e impares se asignan a las dos quiralidades de los espinores de Weyl . Los vectores tienen una acción sobre las formas diferenciales dadas por el producto interior. Las formas únicas tienen una acción sobre las formas dadas por el producto de cuña. Por lo tanto, secciones del paqueteactuar sobre formas diferenciales. Esta acción es una representación de la acción del álgebra de Clifford sobre los espinores.
Se dice que un espinor es un espino puro si es aniquilado por la mitad de un conjunto de un conjunto de generadores del álgebra de Clifford. Los spinors son secciones de nuestro paquete y los generadores del álgebra de Clifford son las fibras de nuestro otro paquete Por lo tanto, un espinor puro dado es aniquilado por un subconjunto E de media dimensión deDichos subconjuntos son siempre isotrópicos, por lo que para definir una estructura casi compleja solo se debe imponer que la suma de E y su conjugado complejo es todo deEsto es cierto siempre que el producto en cuña del espinor puro y su conjugado complejo contenga un componente dimensional superior. Estos espinores puros determinan estructuras casi complejas generalizadas.
Dada una estructura casi compleja generalizada, también se puede determinar un espino puro hasta la multiplicación por una función compleja arbitraria . Estas elecciones de espinores puros se definen como las secciones del paquete canónico.
Integrabilidad y otras estructuras
Si un espinor puro que determina una estructura compleja particular es cerrado , o más generalmente si su derivado exterior es igual a la acción de una matriz gamma sobre sí misma, entonces la estructura casi compleja es integrable y, por lo tanto, tales espinores puros corresponden a estructuras complejas generalizadas.
Si además se impone que el paquete canónico es holomórficamente trivial, lo que significa que las secciones globales son formas cerradas, entonces se define una estructura Calabi-Yau generalizada y se dice que M es una variedad Calabi-Yau generalizada .
Clasificación local
Paquete canónico
Localmente todos espinores puros pueden ser escritos en la misma forma, en función de un número entero k , el campo B 2-forma B , una forma simpléctica no degenerado ω y una k -form Ω. En una vecindad local de cualquier punto, un espinor puro Φ que genera el paquete canónico siempre se puede poner en la forma
donde Ω es descomponible como el producto de la cuña de una forma.
Punto regular
Defina el subconjunto E del haz tangente complejadopara ser la proyección del subconjunto holomórfico L de a En la definición de una estructura casi compleja generalizada hemos impuesto que la intersección de L y su conjugado contiene solo el origen, de lo contrario no podrían abarcar la totalidad deSin embargo, la intersección de sus proyecciones no tiene por qué ser trivial. En general, esta intersección tiene la forma
para algún subconjunto Δ. Se dice que un punto que tiene una vecindad abierta en la que la dimensión de las fibras de Δ es constante es un punto regular .
Teorema de darboux
Cada punto regular en una variedad compleja generalizada tiene una vecindad abierta que, después de un difeomorfismo y cambio del campo B, tiene la misma estructura compleja generalizada que el producto cartesiano del espacio vectorial complejo. y el espacio simpléctico estándar con la forma simpléctica estándar, que es la suma directa de dos por dos matrices fuera de la diagonal con entradas 1 y -1.
Holomorficidad local
Cerca de puntos no regulares, el teorema de clasificación anterior no se aplica. Sin embargo, sobre cualquier punto, una variedad compleja generalizada es, hasta el difeomorfismo y el campo B, un producto de una variedad simpléctica con una variedad compleja generalizada que es de tipo complejo en el punto, muy parecido al teorema de Weinstein para la estructura local de Poisson colectores . La pregunta restante de la estructura local es: ¿cómo se ve una estructura compleja generalizada cerca de un punto de tipo complejo? De hecho, será inducido por una estructura de Poisson holomórfica .
Ejemplos de
Variedades complejas
El espacio de formas diferenciales complejas tiene una operación de conjugación compleja dada por la conjugación compleja en Esto permite definir formas mono holomórficas y antiholomórficas y formas ( m , n ), que son polinomios homogéneos en estas formas mono con factores m holomórficos y n factores antiholomórficos. En particular, todas las formas ( n , 0) están relacionadas localmente mediante la multiplicación por una función compleja y, por lo tanto, forman un conjunto de líneas complejas.
Las formas ( n , 0) son espinores puros, ya que son aniquilados por vectores tangentes antiholomórficos y por formas unitarias holomórficas. Por lo tanto, este paquete de líneas se puede utilizar como un paquete canónico para definir una estructura compleja generalizada. Restringir al aniquilador deal paquete tangente complexificado se obtiene el subespacio de los campos vectoriales antiholomórficos. Por lo tanto, esta estructura compleja generalizada endefine una estructura compleja ordinaria en el paquete tangente.
Como sólo la mitad de una base de campos vectoriales son holomorphic, estas estructuras complejas son de tipo N . De hecho variedades complejas, y las variedades obtenidas multiplicando el haz de espino puro que define una variedad compleja por un complejo,-forma cerrada (2,0), son las únicas variedades complejas generalizadas de tipo N.
Variedades simplécticas
El paquete de espinor puro generado por
para un no degenerado de dos formas ω define una estructura simpléctica en el espacio tangente. Así, las variedades simplécticas también son variedades complejas generalizadas.
El espinor puro anterior está definido globalmente, por lo que el paquete canónico es trivial. Esto significa que las variedades simplécticas no son sólo variedades complejas generalizadas, sino que de hecho son variedades de Calabi-Yau generalizadas.
El espinor puro está relacionado con un espinor puro que es solo un número por un cambio imaginario del campo B, que es un cambio de la forma de Kähler . Por tanto, estas estructuras complejas generalizadas son del mismo tipo que las correspondientes a un espino escalar puro. Un escalar es aniquilado por todo el espacio tangente, por lo que estas estructuras son de tipo 0 .
Hasta un cambio del campo B, que corresponde a multiplicar el espino puro por el exponencial de una variedad simpléctica cerrada, real de 2 formas, son las únicas variedades complejas generalizadas de tipo 0. Los colectores que son simplécticos hasta un cambio del campo B a veces se denominan B-simplécticos .
Relación con las estructuras G
Algunas de las estructuras casi en la geometría compleja generalizada pueden reformularse en el idioma del G-estructuras . La palabra "casi" se elimina si la estructura es integrable.
El haz con el producto interno anterior hay una estructura O (2 n , 2 n ). Una estructura casi compleja generalizada es una reducción de esta estructura a una estructura U ( n , n ). Por tanto, el espacio de estructuras complejas generalizadas es la clase lateral
Una estructura casi de Kähler generalizada es un par de estructuras complejas generalizadas conmutadas de manera que menos el producto de los tensores correspondientes es una métrica definida positiva en Las estructuras de Kähler generalizadas son reducciones del grupo de estructuras a Las variedades de Kähler generalizadas, y sus contrapartes retorcidas, son equivalentes a las variedades bihermitianas descubiertas por Sylvester James Gates , Chris Hull y Martin Roček en el contexto de las teorías de campos cuánticos supersimétricos bidimensionales en 1984.
Finalmente, una estructura métrica generalizada casi de Calabi-Yau es una reducción adicional del grupo de estructura a
Métrica de Calabi versus Calabi-Yau
Observe que una estructura métrica Calabi generalizada, que fue introducida por Marco Gualtieri, es una condición más fuerte que una estructura Calabi-Yau generalizada, que fue introducida por Nigel Hitchin . En particular, una estructura métrica Calabi-Yau generalizada implica la existencia de dos estructuras casi complejas generalizadas de conmutación.
Referencias
- Hitchin, Nigel (2003). "Variedades de Calabi-Yau generalizadas". Revista Trimestral de Matemáticas . 54 (3): 281-308. doi : 10.1093 / qmath / hag025 .
- Gualtieri, Marco (2004). Geometría compleja generalizada (Tesis Doctoral). arXiv : math.DG / 0401221 .
- Gualtieri, Marco (2011). "Geometría compleja generalizada" . Annals of Mathematics . (2). 174 (1): 75-123. doi : 10.4007 / annals.2011.174.1.3 .
- Graña, Mariana (2006). "Compactaciones de flujo en la teoría de cuerdas: una revisión completa". Phys. Rep . 423 : 91-158. arXiv : hep-th / 0509003 .
- Dijkgraaf, Robbert ; Gukov, Sergei ; Neitzke, Andrew; Vafa, Cumrun (2005). "Teoría M topológica como unificación de las teorías de la forma de la gravedad" . Avances en Física Teórica y Matemática . 9 (4): 603–665. doi : 10.4310 / ATMP.2005.v9.n4.a5 .