El matemático Irving Kaplansky se destaca por proponer numerosas conjeturas en varias ramas de las matemáticas, incluida una lista de diez conjeturas sobre álgebras de Hopf . Suelen conocerse como conjeturas de Kaplansky .
Anillos de grupo
Sea K un campo y G un grupo sin torsión . La conjetura del divisor cero de Kaplansky establece:
- El anillo de grupo K [ G ] no contiene divisores de cero no triviales , es decir, es un dominio .
Dos conjeturas relacionadas se conocen como, respectivamente, conjetura idempotente de Kaplansky :
- K [ G ] no contiene idempotentes no triviales, es decir, si a 2 = a , entonces a = 1 o a = 0 .
y la conjetura de la unidad de Kaplansky (que originalmente fue hecha por Graham Higman y popularizada por Kaplansky):
- K [ G ] no contiene ningún no triviales unidades , es decir, si ab = 1 en K [ G ] , a continuación, un = kg para algunos k en K y g en G .
La conjetura del divisor cero implica la conjetura idempotente y está implícita en la conjetura unitaria. A partir de 2021, las conjeturas del divisor cero e idempotente están abiertas. La conjetura de la unidad, sin embargo, fue refutada por Giles Gardam en febrero de 2021: publicó una preimpresión en arXiv que construye un contraejemplo. [1] [2] [3] El campo es de la característica 2. (ver también: Grupo Fibonacci )
Hay pruebas de las conjeturas idempotente y del divisor cero para grandes clases de grupos. Por ejemplo, se sabe que la conjetura del divisor cero es válida para todos los grupos virtualmente solubles y, más generalmente, también para todos los grupos solubles sin torsión residual. Estas soluciones pasan por establecer primero la conclusión de la conjetura de Atiyah sobre-Números Betti, de los cuales se sigue fácilmente la conjetura del divisor cero.
La conjetura idempotente tiene una generalización, la conjetura idempotente de Kadison , también conocida como la conjetura de Kadison-Kaplansky, para los elementos del grupo reducido C * -álgebra . En este contexto, se sabe que si la conjetura de Farrell-Jones es válida para K [ G ] , también lo es la conjetura idempotente. Este último se ha resuelto positivamente para una clase de grupos extremadamente grande, incluidos, por ejemplo, todos los grupos hiperbólicos .
También se sabe que la conjetura de la unidad se cumple en muchos grupos, pero sus soluciones parciales son mucho menos robustas que las otras dos. Por ejemplo, hay un grupo cristalográfico tridimensional libre de torsión para el que no se sabe si todas las unidades son triviales. No se sabe que esta conjetura se siga de ningún enunciado analítico como los otros dos, por lo que los casos en los que se sabe que se cumple se han establecido a través de un enfoque combinatorio directo que involucra la denominada propiedad de productos únicos. Por el trabajo de Gardam mencionado anteriormente, ahora se sabe que no es cierto en general.
Álgebras de Banach
Esta conjetura establece que todo homomorfismo de álgebra del álgebra de Banach C ( X ) (funciones continuas con valores complejos en X , donde X es un espacio compacto de Hausdorff ) en cualquier otro álgebra de Banach, es necesariamente continuo . La conjetura es equivalente al enunciado de que toda norma de álgebra en C ( X ) es equivalente a la norma uniforme habitual . (El propio Kaplansky había demostrado anteriormente que toda norma de álgebra completa en C ( X ) es equivalente a la norma uniforme).
A mediados de la década de 1970, H. Garth Dales y J. Esterle demostraron independientemente que, si además se asume la validez de la hipótesis del continuo , existen espacios compactos de Hausdorff X y homomorfismos discontinuos de C ( X ) a algún álgebra de Banach, dando contraejemplos a la conjetura.
En 1976, RM Solovay ( basado en el trabajo de H. Woodin) exhibió un modelo de ZFC ( teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel + axioma de elección ) en el que la conjetura de Kaplansky es cierta. La conjetura de Kaplansky es, por tanto, un ejemplo de un enunciado indecidible en ZFC .
Formas cuadráticas
En 1953, Kaplansky propuso la conjetura de que los valores finitos de los invariantes u solo pueden ser potencias de 2. [4] [5]
En 1989, la conjetura fue refutada por Alexander Merkurjev, quien demostró campos con invariantes u de cualquier m par . [4] En 1999, Oleg Izhboldin construyó un campo con u-invariante m = 9 que fue el primer ejemplo de un u-invariante impar. [6] En 2006, Alexander Vishik demostró campos con u-invariantepara cualquier entero k a partir de 3. [7]
Referencias
- ↑ Gardam, Giles (23 de febrero de 2021). "Un contraejemplo a la conjetura unitaria para anillos de grupo". arXiv : 2102.11818 [ math.GR ].
- ^ "Entrevista a Giles Gardam" . Matemáticas Münster, Universidad de Münster . Consultado el 10 de marzo de 2021 .
- ^ Erica Klarreich (12 de abril de 2021). "Matemático refuta la conjetura del álgebra de 80 años" . Revista Quanta . Consultado el 13 de abril de 2021 .
- ^ a b Merkur'ev, AS (1991). "Conjetura de Kaplansky en la teoría de formas cuadráticas". J Math Sci . 57 (6): 3489. doi : 10.1007 / BF01100118 . S2CID 122865942 .
- ^ Kaplansky, I. (1951). "Formas cuadráticas" . J. Math. Soc. Jpn . 5 (2): 200–207. doi : 10.2969 / jmsj / 00520200 .
- ^ Izhboldin, Oleg T. (2001). "Campos de u-invariante 9". Annals of Mathematics . Segunda Serie. 154 (3): 529–587. doi : 10.2307 / 3062141 . JSTOR 3062141 . Zbl 0998.11015 .
- ^ Vishik, Alexander (2009). "Campos de u-invariante 2 ^ r + 1". Álgebra, Aritmética y Geometría. Progreso en Matemáticas . 270 : 661. doi : 10.1007 / 978-0-8176-4747-6_22 . ISBN 978-0-8176-4746-9.
- HG Dales, Continuidad automática: una encuesta . Toro. London Math. Soc. 10 (1978), núm. 2, 129-183.
- W. Lück, L 2 -Invariantes: teoría y aplicaciones a la geometría y K-teoría . Berlín: Springer 2002 ISBN 3-540-43566-2
- DS Passman, La estructura algebraica de los anillos de grupo , Matemáticas puras y aplicadas, Wiley-Interscience, Nueva York, 1977. ISBN 0-471-02272-1
- M. Puschnigg, La conjetura de Kadison-Kaplansky para grupos hiperbólicos de palabras . Inventar. Matemáticas. 149 (2002), núm. 1, 153-194.
- HG Dales y WH Woodin, Introducción a la independencia para analistas , Cambridge 1987