En la teoría de categorías , una rama de las matemáticas , un subobjeto es, en términos generales, un objeto que se encuentra dentro de otro objeto de la misma categoría . La noción es una generalización de conceptos tales como subconjuntos de la teoría de conjuntos , los subgrupos de la teoría de grupos , [1] y subespacios de topología . Dado que la estructura detallada de los objetos es irrelevante en la teoría de categorías, la definición de subobjeto se basa en un morfismo que describe cómo un objeto se encuentra dentro de otro, en lugar de depender del uso de elementos.
El concepto dual de un subobjeto es unobjeto cociente . Este generaliza conceptos tales comoconjuntos de cociente,grupos cocientes,espacios cocientes,gráficos cociente, etc.
Definiciones
En detalle, deja ser un objeto de alguna categoría. Dados dos monomorfismos
con codominio , nosotros escribimos Si factores a través de —Es decir, si existe tal que . La relación binaria definido por
es una relación de equivalencia en los monomorfismos con codominio, y las clases de equivalencia correspondientes de estos monomorfismos son los subobjetos de. (De manera equivalente, se puede definir la relación de equivalencia por si y solo si existe un isomorfismo con .)
La relación ≤ induce un orden parcial en la colección de subobjetos de.
La colección de subobjetos de un objeto puede ser de hecho una clase adecuada ; esto significa que la discusión dada es algo vaga. Si la colección de subobjetos de cada objeto es un conjunto , la categoría se llama bien potenciada o, rara vez, localmente pequeña (esto choca con un uso diferente del término localmente pequeño , es decir, que hay un conjunto de morfismos entre dos objetos cualesquiera ).
Para obtener el concepto dual de objeto cociente , reemplace "monomorfismo" por " epimorfismo " arriba e invierta las flechas. Un objeto cociente de A es entonces una clase de equivalencia de epimorfismos con el dominio A.
Ejemplos de
- En conjunto , la categoría de conjuntos , un subobjeto de A corresponde a un subconjunto B de A , o más bien la colección de todos los mapas de los conjuntos equipotentes a B con la imagen exactamente B . El orden parcial del subobjeto de un conjunto en Conjunto es solo su rejilla de subconjunto .
- En Grp , la categoría de los grupos , los subobjetos de A corresponden a los subgrupos de A .
- Dada una clase parcialmente ordenada P = ( P , ≤), podemos formar una categoría con los elementos de P como objetos, y una sola flecha de p hasta q si p ≤ q . Si P tiene un elemento mayor, el orden parcial del subobjeto de este elemento mayor será el propio P. Esto se debe en parte a que todas las flechas de dicha categoría serán monomorfismos.
- Un subobjeto de un objeto terminal se llama objeto subterminal .
Ver también
Notas
- ^ Mac Lane, pág. 126
Referencias
- Mac Lane, Saunders (1998), Categorías para el matemático que trabaja , Textos de posgrado en matemáticas , 5 (2a ed.), Nueva York, NY: Springer-Verlag , ISBN 0-387-98403-8, Zbl 0906.18001
- Pedicchio, Maria Cristina; Tholen, Walter, eds. (2004). Fundamentos categóricos. Temas especiales en orden, topología, álgebra y teoría de gavillas . Enciclopedia de las matemáticas y sus aplicaciones. 97 . Cambridge: Cambridge University Press . ISBN 0-521-83414-7. Zbl 1034.18001 .