En matemáticas , una suma de Kloosterman es un tipo particular de suma exponencial . Llevan el nombre del matemático holandés Hendrik Kloosterman , quien los introdujo en 1926 [1] cuando adaptó el método del círculo de Hardy-Littlewood para abordar un problema que involucraba formas cuadráticas diagonales definidas positivas en cuatro en lugar de cinco o más variables, lo cual [ vago ] había tratado en su disertación en 1924. [2]
Deje un , b , m ser números naturales . Luego
Aquí x * es el inverso de x módulo m .
Contexto
Las sumas de Kloosterman son un anillo finito análogo de las funciones de Bessel . Ocurren (por ejemplo) en la expansión de Fourier de formas modulares .
Existen aplicaciones para valores medios que involucran la función zeta de Riemann , primos en intervalos cortos, primos en progresiones aritméticas, la teoría espectral de funciones automórficas y temas relacionados.
Propiedades de las sumas de Kloosterman
- Si a = 0 o b = 0 , la suma de Kloosterman se reduce a la suma de Ramanujan .
- K ( un , b ; m ) sólo depende de la clase de residuo de una y b módulo m . Además, K ( a , b ; m ) = K ( b , a ; m ) y K ( ac , b ; m ) = K ( a , bc ; m ) si mcd ( c , m ) = 1 .
- Sea m = m 1 m 2 con m 1 y m 2 coprime. Elija n 1 y n 2 de modo que n 1 m 1 ≡ 1 mod m 2 y n 2 m 2 ≡ 1 mod m 1 . Luego
- Esto reduce la evaluación de las sumas de Kloosterman al caso en el que m = p k para un número primo p y un número entero k ≥ 1 .
- El valor de K ( a , b ; m ) es siempre un número real algebraico . De hecho, K ( a , b ; m ) es un elemento del subcampo que es el compositum de los campos
- donde p varía sobre todos los primos impares de modo que p α || m y
- para 2 α || m con α > 3 .
- La identidad de Selberg:
- fue establecido por Atle Selberg y probado por primera vez por Kuznetsov utilizando la teoría espectral de formas modulares . Hoy en día se conocen pruebas elementales de esta identidad. [3]
- Para p un primo impar, no se conoce una fórmula simple para K ( a , b ; p ) , y la conjetura de Sato-Tate sugiere que no existe ninguna. Sin embargo, las fórmulas de elevación a continuación suelen ser tan buenas como una evaluación explícita. Si mcd ( a , p ) = 1 uno también tiene la transformación importante:
- dónde denota el símbolo de Jacobi .
- Sea m = p k con k > 1, p primo y suponga que mcd ( p , 2 ab ) = 1 . Luego:
Estimados
Debido a que las sumas de Kloosterman ocurren en la expansión de Fourier de las formas modulares, las estimaciones para las sumas de Kloosterman también producen estimaciones para los coeficientes de Fourier de las formas modulares. La estimación más famosa se debe a André Weil y afirma:
Aquí es el número de divisores positivos de m . Debido a las propiedades multiplicativas de las sumas de Kloosterman, estas estimaciones pueden reducirse al caso en que m es un número primo p . Una técnica fundamental de Weil reduce la estimación
cuando ab ≠ 0 a sus resultados en funciones zeta locales . Geométricamente, la suma se toma a lo largo de una 'hipérbola' XY = ab y consideramos que esto define una curva algebraica sobre el campo finito con p elementos. Esta curva tiene un Artin-Schreier ramificado que cubre C , y Weil mostró que la función zeta local de C tiene una factorización; esta es la teoría de la función L de Artin para el caso de campos globales que son campos de función, para la cual Weil da un artículo de 1938 de J. Weissinger como referencia (el año siguiente dio un artículo de 1935 de Hasse como referencia anterior para la idea; dada la observación bastante denigrante de Weil sobre la capacidad de los teóricos analíticos de los números para elaborar este ejemplo ellos mismos, en sus Collected Papers , estas ideas eran presumiblemente 'folklore' de bastante antigüedad). Los factores no polares son de tipo 1 - Kt , donde K es una suma de Kloosterman. La estimación se deriva entonces del trabajo básico de Weil de 1940.
De hecho, esta técnica muestra mucho más en general que las sumas exponenciales completas "a lo largo de" variedades algebraicas tienen buenas estimaciones, dependiendo de las conjeturas de Weil en dimensión> 1. Pierre Deligne , Gérard Laumon y Nicholas Katz la han llevado mucho más lejos .
Sumas cortas de Kloosterman
Las sumas cortas de Kloosterman se definen como sumas trigonométricas de la forma
donde n corre a través de un conjunto A de números primos entre sí, a m , el número de elementosen el cual es esencialmente menor que m , y el símbolodenota la clase de congruencia, inversa an módulo m :
Hasta principios de la década de 1990, se conocían estimaciones de sumas de este tipo principalmente en el caso en que el número de sumandos era mayor que √ m . Tales estimaciones se debieron a HD Kloosterman , MI Vinogradov , H. Salie, L. Carlitz , S. Uchiyama y A. Weil . Las únicas excepciones fueron los módulos especiales de la forma m = p α , donde p es un primo fijo y el exponente α aumenta hasta el infinito (este caso fue estudiado por AG Postnikov mediante el método de Ivan Matveyevich Vinogradov ).
En la década de 1990, Anatolii Alexeevitch Karatsuba desarrolló [6] [7] [8] un nuevo método para estimar sumas cortas de Kloosterman. El método de Karatsuba permite estimar las sumas de Kloosterman, el número de sumandos en los que no excede, y en algunos casos incluso , dónde es un número fijo arbitrariamente pequeño. El último artículo de AA Karatsuba sobre este tema [9] se publicó después de su muerte.
Varios aspectos del método de Karatsuba encontraron aplicaciones para resolver los siguientes problemas de la teoría analítica de números:
- encontrar asintóticas de las sumas de partes fraccionarias de la forma:
- donde n corre, uno tras otro, a través de los enteros que satisfacen la condición , yp pasa por los números primos que no dividen el módulo m (AAKaratsuba);
- encontrar el límite inferior para el número de soluciones de las desigualdades de la forma:
- en los números enteros n , 1 ≤ n ≤ x , primos entre sí a m , (AA Karatsuba);
- la precisión de aproximación de un número real arbitrario en el segmento [0, 1] por partes fraccionarias de la forma:
- dónde (AA Karatsuba);
- una constante c más precisa en el teorema de Brun-Titchmarsh :
- dónde es el número de primos p , no superior a x y perteneciente a la progresión aritmética ( J. Friedlander , H. Iwaniec );
- un límite inferior para el mayor divisor primo del producto de números de la forma: n 3 + 2, N < n ≤ 2 N. ( DR Heath-Brown );
- demostrando que hay infinitos números primos de la forma: a 2 + b 4 ( J. Friedlander , H. Iwaniec );
- propiedades combinatorias del conjunto de números (AAGlibichuk):
Levantamiento de sumas de Kloosterman
Aunque las sumas de Kloosterman pueden no calcularse en general, pueden "elevarse" a campos numéricos algebraicos, lo que a menudo produce fórmulas más convenientes. Dejar ser un entero libre de cuadrados con Suponga que para cualquier factor primo p de m tenemos
A continuación, para todos los enteros una , b primos entre sí a m tenemos
Aquí Ω ( m ) es el número de factores primos de m contando la multiplicidad. La suma de la derecha se puede reinterpretar como una suma sobre enteros algebraicos en el campoEsta fórmula se debe a Yangbo Ye, inspirada en Don Zagier y ampliando el trabajo de Hervé Jacquet y Ye sobre la fórmula de traza relativa para GL (2) . [10] De hecho, se pueden levantar sumas exponenciales mucho más generales. [11]
Fórmula de trazas de Kuznetsov
La fórmula de Kuznetsov o de trazas relativas conecta las sumas de Kloosterman a un nivel profundo con la teoría espectral de las formas automórficas . Originalmente, esto podría haberse expresado de la siguiente manera. Dejarser una función suficientemente " bien educada ". Luego, uno llama a las identidades del siguiente tipo de fórmula de rastreo de Kuznetsov :
La parte de la transformada integral es alguna transformada integral de gy la parte espectral es una suma de coeficientes de Fourier, tomados sobre espacios de formas modulares holomorfas y no holomorfas retorcidas con alguna transformada integral de g . La fórmula de la traza de Kuznetsov fue encontrada por Kuznetsov mientras estudiaba el crecimiento de funciones automórficas de peso cero. [12] Utilizando estimaciones sobre sumas de Kloosterman, pudo derivar estimaciones para los coeficientes de Fourier de formas modulares en los casos en que la prueba de Pierre Deligne de las conjeturas de Weil no era aplicable.
Posteriormente fue traducido por Jacquet a un marco teórico de la representación . Sea G un grupo reductor sobre un campo numérico F yser un subgrupo. Mientras que la habitual fórmula traza estudia el análisis armónico en G , la fórmula traza relativa una herramienta para el estudio del análisis de armónicos en el espacio simétrico G / H . Para obtener una descripción general y numerosas aplicaciones, consulte las referencias. [13]
Historia
La estimación de Weil ahora se puede estudiar en WM Schmidt , Equations over finite fields: an elementary approach , 2nd ed. (Kendrick Press, 2004). Las ideas subyacentes aquí se deben a S. Stepanov y se inspiran en el trabajo de Axel Thue en aproximación diofántica .
Hay muchas conexiones entre las sumas de Kloosterman y las formas modulares . De hecho, las sumas aparecieron por primera vez (menos el nombre) en un artículo de 1912 de Henri Poincaré sobre formas modulares. Hans Salié introdujo una forma de suma de Kloosterman que está torcida por un carácter de Dirichlet : [14] Tales sumas de Salié tienen una evaluación elemental. [4]
Después del descubrimiento de fórmulas importantes que conectan las sumas de Kloosterman con formas modulares no holomórficas por Kuznetsov en 1979, que contenían algunos 'ahorros en promedio' sobre la estimación de la raíz cuadrada, Iwaniec y Deshouillers realizaron más desarrollos en un artículo fundamental en Inventiones Mathematicae ( mil novecientos ochenta y dos). Varios autores, en particular Bombieri , Fouvry, Friedlander e Iwaniec, desarrollaron aplicaciones posteriores a la teoría analítica de números .
El campo sigue siendo algo inaccesible. Una introducción detallada a la teoría espectral necesaria para comprender las fórmulas de Kuznetsov se da en RC Baker, Kloosterman Sums y Maass Forms , vol. Yo (prensa de Kendrick, 2003). También es relevante para estudiantes e investigadores interesados en el campo Iwaniec & Kowalski (2004) .
Yitang Zhang usó sumas de Kloosterman en su prueba de espacios limitados entre números primos. [15]
Notas
- ^ Kloosterman, HD Sobre la representación de números en la forma ax 2 + por 2 + cz 2 + dt 2 , Acta Mathematica 49 (1926), págs. 407–464
- ^ Kloosterman, HD Over het splitsen van geheele positieve getallen in een some van kwadraten , Tesis (1924) Universiteit Leiden
- ^ Matthes, R. Una demostración elemental de una fórmula de Kuznecov para sumas de Kloosterman , Resultate Math. 18 (1-2), páginas: 120-124, (1990).
- ^ a b Hans Salie, Uber die Kloostermanschen Summen S (u, v; q) , Matemáticas. Zeit. 34 (1931–32) págs. 91–109.
- ^ Williams, Kenneth S. Nota sobre la suma de Kloosterman , Transactions of the American Mathematical Society 30 (1), páginas: 61-62, (1971).
- ^ Karatsuba, AA (1995). "Análogos de las sumas de Kloostermans". Izv. Ross. Akad. Nauk, Ser. Matemáticas. (59: 5): 93-102.
- ^ Karatsuba, AA (1997). "Análogos de sumas de Kloosterman incompletas y sus aplicaciones". Matemáticas de las Montañas Tatra. Publ. (11): 89-120.
- ^ Karatsuba, AA (1999). "Sumas dobles de Kloosterman". Estera. Zametki (66: 5): 682–687.
- ^ Karatsuba, AA (2010). "Nuevas estimaciones de sumas cortas de Kloosterman". Estera. Zametki (88: 3-4): 347-359.
- ^ Ye, Y. El levantamiento de sumas de Kloosterman , Journal of Number Theory 51, Páginas: 275-287, (1995).
- ^ Ye, Y. El levantamiento de una suma exponencial a un campo numérico algebraico cíclico de primer grado , Transactions of the American Mathematical Society 350 (12), Páginas: 5003-5015, (1998).
- ^ NV Kuznecov, conjetura de Petersson para formas de peso cero y conjetura de Linnik. Sumas de las sumas de Kloosterman , Matemáticas de la URSS-Sbornik 39 (3), (1981).
- ^ Cogdell, JW e I. Piatetski-Shapiro, El análisis aritmético y espectral de la serie de Poincaré , volumen 13 de Perspectivas en matemáticas . Academic Press Inc., Boston, MA, (1990).
- ^ Lidl y Niederreiter (1997) p.253
- ^ https://annals.math.princeton.edu/wp-content/uploads/Yitang_Zhang.pdf
Referencias
- Arkhipov, GI; Chubarikov, VN; Karatsuba, AA (2004). Sumas trigonométricas en teoría y análisis de números . de Gruyter Expositions in Mathematics. 39 . Berlín – Nueva York: Walter de Gruyter. ISBN 3-11-016266-0. Zbl 1074.11043 .
- Iwaniec, Henryk ; Kowalski, Emmanuel (2004). Teoría analítica de números . Publicaciones del coloquio. 53 . Sociedad Matemática Estadounidense . ISBN 0-8218-3633-1. Zbl 1059.11001 .
- Lidl, Rudolf; Niederreiter, Harald (1997). Campos finitos . Enciclopedia de las matemáticas y sus aplicaciones. 20 (2ª ed.). Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 0-521-39231-4. Zbl 0866.11069 .
- Weil, André (1948). "Sobre algunas sumas exponenciales". Proc. Natl. Acad. Sci. 34 : 204–207. Zbl 0032.26102 . Cite journal requiere
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( ayuda )
enlaces externos
- Weisstein, Eric W. "La suma de Kloosterman" . MathWorld .
- "Suma de Kloosterman" . PlanetMath .