En teoría de la medida , Lebesgue 's convergencia dominada teorema proporciona condiciones suficientes bajo las cuales casi todas partes convergencia de una secuencia de funciones implica la convergencia en el L 1 norma. Su potencia y utilidad son dos de las principales ventajas teóricas de la integración de Lebesgue sobre la integración de Riemann .
Además de su frecuente aparición en análisis matemáticos y ecuaciones diferenciales parciales, es muy utilizado en teoría de probabilidades , ya que da una condición suficiente para la convergencia de valores esperados de variables aleatorias .
Declaración
Teorema de convergencia dominado de Lebesgue. Sea ( f n ) ser una secuencia de complejos -valued funciones medibles en un espacio de medida ( S , Σ, μ) . Suponga que la secuencia converge puntualmente a una función f y está dominada por alguna función integrable g en el sentido de que
para todos los números n en el conjunto de índices de la secuencia y todos los puntos x ∈ S . Entonces f es integrable (en el sentido de Lebesgue ) y
lo que también implica
Observación 1. El enunciado " g es integrable" significa que la función medible g es integrable de Lebesgue; es decir
Observación 2. La convergencia de la secuencia y el dominio de g se puede relajar para contener solo μ- casi en todas partes siempre que el espacio de medida ( S , Σ, μ) esté completo o se elija f como una función medible que concuerde μ-casi en todas partes con el límite puntual existente en μ-casi en todas partes. (Estas precauciones son necesarias, porque de lo contrario no podría existir un subconjunto no medible de un μ-nulo conjunto N ∈ Σ , por lo tanto f podría no ser medible.)
Observación 3. Si μ ( S ) <∞, la condición de que exista una función integrable dominante g se puede relajar a la integrabilidad uniforme de la secuencia ( f n ), consulte el teorema de convergencia de Vitali .
Observación 4. Si bien f es integrable de Lebesgue, en general no es integrable de Riemann . Por ejemplo, considere que f n se define en [0,1] de modo que sea cero en todas partes excepto para los números racionales de la forma k / m, de modo que kym son coprimos y m> n. La serie (f n ) converge puntualmente a 0, por lo que f es idénticamente cero, pero | f n -f | = f n no es integrable de Riemann, ya que su imagen en cada intervalo finito es {0,1} y, por lo tanto, la parte superior y las integrales de Darboux inferiores son 1 y 0, respectivamente.
Prueba
Sin pérdida de generalidad , se puede suponer que f es real, porque se puede dividir f en sus partes real e imaginaria (recuerde que una secuencia de números complejos converge si y solo si convergen sus contrapartes real e imaginaria) y aplicar la desigualdad triangular al final.
El teorema de convergencia dominado de Lebesgue es un caso especial del teorema de Fatou-Lebesgue . A continuación, sin embargo, hay una prueba directa que utiliza el lema de Fatou como herramienta esencial.
Dado que f es el límite puntual de la secuencia ( f n ) de funciones medibles que están dominadas por g , también es medible y está dominada por g , por lo que es integrable. Además, (estos serán necesarios más adelante),
para todos n y
El segundo de estos es trivialmente cierto (por la propia definición de f ). Usando linealidad y monotonicidad de la integral de Lebesgue ,
Por el lema inverso de Fatou (es aquí donde usamos el hecho de que | f - f n | está acotado arriba por una función integrable)
lo que implica que el límite existe y se desvanece, es decir
Finalmente, desde
tenemos eso
El teorema sigue ahora.
Si los supuestos sólo ocupan el μ-casi en todas partes, entonces existe un μ-nulo conjunto N ∈ Σ tal que las funciones f n 1 S \ N satisfacer las suposiciones todas partes en S . Entonces la función f ( x ) definida como el límite puntual de f n ( x ) para x ∈ S \ N y por f ( x ) = 0 para x ∈ N , es medible y es el límite puntual de esta secuencia de función modificada. Los valores de estas integrales no se ven influenciados por estos cambios en los integrandos en este conjunto N nulo μ , por lo que el teorema sigue siendo válido.
DCT se mantiene incluso si f n converge af en medida (medida finita) y la función dominante es no negativa en casi todas partes.
Discusión de los supuestos
No se puede prescindir de la suposición de que la secuencia está dominada por alguna g integrable . Esto puede verse de la siguiente manera: defina f n ( x ) = n para x en el intervalo (0, 1 / n ] y f n ( x ) = 0 en caso contrario. Cualquier g que domine la secuencia también debe dominar la h supremum puntual = sup n f n . Observe que
por la divergencia de la serie armónica . Por tanto, la monotonicidad de la integral de Lebesgue nos dice que no existe una función integrable que domine la secuencia en [0,1]. Un cálculo directo muestra que la integración y el límite puntual no se conmutan para esta secuencia:
porque el límite puntual de la secuencia es la función cero . Tenga en cuenta que la secuencia ( f n ) ni siquiera es uniformemente integrable , por lo que tampoco es aplicable el teorema de convergencia de Vitali .
Teorema de convergencia acotada
Un corolario del teorema de convergencia dominado es el teorema de convergencia acotada , que establece que si ( f n ) es una secuencia de funciones mensurables valuadas complejas delimitadas uniformemente que convergen puntualmente en un espacio de medida acotado ( S , Σ, μ) (es decir, una en el que μ ( S ) es finito) a una función f , entonces el límite f es una función integrable y
Observación: La convergencia puntual y la delimitación uniforme de la secuencia se pueden relajar para contener solo μ- casi en todas partes , siempre que el espacio de medida ( S , Σ, μ) esté completo o se elija f como una función medible que concuerde μ-casi en todas partes con el límite puntual existente en μ-casi en todas partes.
Prueba
Dado que la secuencia está uniformemente acotada, hay un número real M tal que | f n ( x ) | ≤ M para todo x ∈ S y para todo n . Definir g ( x ) = M para todos x ∈ S . Entonces la secuencia está dominada por g . Además, g es integrable ya que es una función constante en un conjunto de medidas finitas. Por lo tanto, el resultado se deriva del teorema de convergencia dominado.
Si los supuestos sólo ocupan el μ-casi en todas partes, entonces existe un μ-nulo conjunto N ∈ Σ tal que las funciones f n 1 S \ N satisfacer las suposiciones todas partes en S .
Convergencia dominada en espacios L p (corolario)
Dejar ser un espacio de medida , 1 ≤ p <∞ un número real y ( f n ) una secuencia de-funciones medibles .
Suponga que la secuencia ( f n ) converge μ-casi en todas partes a un-función medible f , y está dominada por una(cf. espacio Lp ), es decir, para cada número natural n tenemos: | f n | ≤ g , μ-casi en todas partes.
Entonces todas las f n y f están eny la secuencia ( f n ) converge af en el sentido de, es decir:
Idea de la demostración: aplicar el teorema original a la secuencia de funciones con la función dominante .
Extensiones
El teorema de convergencia dominada se aplica también a funciones medibles con valores en un espacio de Banach , siendo la función dominante aún no negativa e integrable como se indicó anteriormente. El supuesto de convergencia en casi todas partes puede debilitarse para requerir solo convergencia en la medida .
El teorema de la convergencia dominada se aplica también a las expectativas condicionales. [1]
Ver también
- Convergencia de variables aleatorias , Convergencia en media
- Teorema de la convergencia monótona (no requiere el dominio de una función integrable, sino que asume la monotonicidad de la secuencia)
- El lema de Scheffé
- Integrabilidad uniforme
- Teorema de convergencia vitali (una generalización del teorema de convergencia dominado de Lebesgue)
Notas
- ^ Zitkovic 2013, Proposición 10.5.
Referencias
- Bartle, RG (1995). Los elementos de integración y la medida de Lebesgue . Wiley Interscience. ISBN 9780471042228.
- Royden, HL (1988). Análisis real . Prentice Hall. ISBN 9780024041517.
- Weir, Alan J. (1973). "Los teoremas de convergencia". Integración y Medida de Lebesgue . Cambridge: Cambridge University Press. págs. 93-118. ISBN 0-521-08728-7.
- Williams, D. (1991). Probabilidad con martingalas . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 0-521-40605-6.
- Zitkovic, Gordan (otoño de 2013). "Lecture10: Expectativa condicional" (PDF) . Consultado el 25 de diciembre de 2020 .