espacio métrico completo

En análisis matemático , un espacio métrico $M$ se llama completo (o espacio de Cauchy ) si toda sucesión de puntos de Cauchy en M $tiene$ un límite que también está en $M.$

Intuitivamente, un espacio está completo si no le faltan "puntos" (dentro o en el límite). Por ejemplo, el conjunto de números racionales no está completo porque, por ejemplo , "falta" en él, aunque se puede construir una secuencia de Cauchy de números racionales que converja a él (ver más ejemplos a continuación). Siempre es posible "rellenar todos los agujeros", lo que lleva a la finalización de un espacio determinado, como se explica a continuación. ${\ estilo de visualización {\ sqrt {2}}}$

El espacio Q de los números racionales , con la métrica estándar dada por el valor absoluto de la diferencia , no es completo. Considere, por ejemplo, la sucesión definida por $x 1 = 1$ y Esta es una sucesión de Cauchy de números racionales, pero no converge hacia ningún límite racional: Si la sucesión tuviera un límite $x$ , entonces resolviendo necesariamente x ² = 2, aún ningún número racional tiene esta propiedad. Sin embargo, considerado como una secuencia de números reales , sí converge al número irracional . $x_{n+1}={\frac{x_{n}}{2}}+{\frac {1}{x_{n}}}.$ $x={\frac{x}{2}}+{\frac{1}{x}}$ ${\ estilo de visualización {\ sqrt {2}}}$

El intervalo abierto $(0,1)$ , nuevamente con la métrica de valor absoluto, tampoco está completo. La sucesión definida por $x n$ = 1 / n es de Cauchy, pero no tiene límite en el espacio dado. Sin embargo, el intervalo cerrado $[0,1]$ está completo; por ejemplo, la secuencia dada tiene un límite en este intervalo y el límite es cero.

El espacio R de los números reales y el espacio C de los números complejos (con la métrica dada por el valor absoluto) son completos, al igual que el espacio euclidiano R ⁿ , con la métrica habitual de distancias . Por el contrario, los espacios vectoriales normados de dimensión infinita pueden o no estar completos; los que son completos son espacios de Banach . El espacio C $[a, b]$ de funciones reales continuas en un intervalo cerrado y acotado es un espacio de Banach, y por lo tanto un espacio métrico completo, con respecto a la norma suprema. Sin embargo, la norma suprema no da una norma sobre el espacio C $(a, b)$ de funciones continuas sobre $(a, b)$ , ya que puede contener funciones ilimitadas. En cambio, con la topología de convergencia compacta , C $(a, b)$ puede recibir la estructura de un espacio de Fréchet : un espacio vectorial topológico localmente convexo cuya topología puede ser inducida por una métrica invariante de traducción completa.

El espacio Q _p de números p -ádicos es completo para cualquier número primo $p$ . Este espacio completa Q con la métrica p -ádica del mismo modo que R completa Q con la métrica habitual.