Hacia finales del siglo XIX, Sophus Lie introdujo la noción de grupo de Lie para estudiar las soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias [1] [2] [3] (EDO). Mostró la siguiente propiedad principal: el orden de una ecuación diferencial ordinaria puede reducirse en uno si es invariante bajo un grupo de transformaciones de puntos de Lie de un parámetro . [4] Esta observación unificó y amplió las técnicas de integración disponibles. Lie dedicó el resto de su carrera matemática a desarrollar estos grupos continuosque ahora tienen un impacto en muchas áreas de las ciencias basadas en las matemáticas. Las aplicaciones de los grupos de Lie a los sistemas diferenciales fueron establecidas principalmente por Lie y Emmy Noether , y luego defendidas por Élie Cartan .
En términos generales, una simetría de puntos de Lie de un sistema es un grupo local de transformaciones que mapea cada solución del sistema a otra solución del mismo sistema. En otras palabras, mapea el conjunto de soluciones del sistema a sí mismo. Ejemplos elementales de grupos de Lie son traducciones , rotaciones y escalas .
La teoría de la simetría de Lie es un tema bien conocido. En él se discuten las simetrías continuas opuestas, por ejemplo, a las simetrías discretas . La literatura para esta teoría se puede encontrar, entre otros lugares, en estas notas. [5] [6] [7] [8] [9]
Descripción general
Tipos de simetrías
Los grupos de mentiras y por lo tanto sus generadores infinitesimales pueden "extenderse" naturalmente para actuar sobre el espacio de variables independientes, variables de estado (variables dependientes) y derivadas de las variables de estado hasta cualquier orden finito. Hay muchos otros tipos de simetrías. Por ejemplo, las transformaciones de contacto permiten que los coeficientes de las transformaciones del generador infinitesimal dependan también de las primeras derivadas de las coordenadas. Las transformaciones de Lie-Bäcklund les permiten involucrar derivadas hasta un orden arbitrario. Noether reconoció la posibilidad de la existencia de tales simetrías. [10] Para las simetrías de puntos de Lie, los coeficientes de los generadores infinitesimales dependen solo de las coordenadas, denotadas por.
Aplicaciones
Las simetrías de Lie fueron introducidas por Lie para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias. Otra aplicación de los métodos de simetría es reducir sistemas de ecuaciones diferenciales, encontrando sistemas equivalentes de ecuaciones diferenciales de forma más simple. A esto se le llama reducción . En la literatura, uno puede encontrar el proceso de reducción clásico, [4] y el proceso de reducción basado en marco móvil . [11] [12] [13] También los grupos de simetría se pueden usar para clasificar diferentes clases de simetría de soluciones.
Marco geométrico
Enfoque infinitesimal
Los teoremas fundamentales de Lie subrayan que los grupos de Lie pueden caracterizarse por elementos conocidos como generadores infinitesimales . Estos objetos matemáticos forman un álgebra de Lie de generadores infinitesimales. Las "condiciones de simetría infinitesimales" deducidas (que definen las ecuaciones del grupo de simetría) pueden resolverse explícitamente para encontrar la forma cerrada de los grupos de simetría y, por lo tanto, los generadores infinitesimales asociados.
Dejar ser el conjunto de coordenadas en el que se define un sistema donde es el cardenal de . Un generador infinitesimal en el campo es un operador lineal que tiene en su kernel y que cumple la regla de Leibniz :
- .
En la base canónica de derivaciones elementales , está escrito como:
dónde es en para todos en .
Grupos de Lie y álgebras de Lie de generadores infinitesimales
Las álgebras de mentira se pueden generar mediante un conjunto generador de generadores infinitesimales como se definió anteriormente. A cada grupo de Lie, se le puede asociar un álgebra de Lie. Aproximadamente, un álgebra de mentiraes un álgebra constituida por un espacio vectorial equipado con corchete de Lie como operación adicional. El campo base de un álgebra de Lie depende del concepto de invariante . Aquí sólo se consideran álgebras de Lie de dimensión finita.
Sistemas dinámicos continuos
Un sistema dinámico (o flujo ) es una acción de grupo de un parámetro . Denotemos por un sistema tan dinámico, más precisamente, una acción (izquierda) de un grupo en un colector :
tal que para todos los puntos en :
- dónde es el elemento neutral de ;
- para todos en , .
Un sistema dinámico continuo se define en un grupo. que se puede identificar a es decir, los elementos del grupo son continuos.
Invariantes
Un invariante , en términos generales, es un elemento que no cambia bajo una transformación.
Definición de simetrías de puntos de mentira
En este párrafo, consideramos simetrías de puntos de Lie expandidas con precisión , es decir, trabajamos en un espacio expandido, lo que significa que la distinción entre variable independiente, variables de estado y parámetros se evita tanto como sea posible.
Un grupo de simetría de un sistema es un sistema dinámico continuo definido en un grupo de Lie local. actuando sobre un colector . En aras de la claridad, nos restringimos a variedades reales n-dimensionales dónde es el número de coordenadas del sistema.
Simetrías de puntos de mentira de sistemas algebraicos
Definamos los sistemas algebraicos utilizados en la próxima definición de simetría.
Sistemas algebraicos
Dejar ser un conjunto finito de funciones racionales sobre el campo dónde y son polinomios en es decir, en variables con coeficientes en . Un sistema algebraico asociado a se define por las siguientes igualdades y desigualdades:
Un sistema algebraico definido por es regular (también conocido como suave ) si el sistema es de rango máximo , lo que significa que la matriz jacobiana es de rango en cada solución de la variedad semi-algebraica asociada .
Definición de simetrías de puntos de mentira
El siguiente teorema (ver te. 2.8 en el cap. 2 de [5] ) da las condiciones necesarias y suficientes para que un grupo de Lie local es un grupo de simetría de un sistema algebraico.
Teorema . Dejar ser un grupo de Lie local conectado de un sistema dinámico continuo que actúa en el espacio n-dimensional . Dejar con definir un sistema regular de ecuaciones algebraicas:
Luego es un grupo de simetría de este sistema algebraico si, y solo si,
por cada generador infinitesimal en el álgebra de Lie de .
Ejemplo
Considere el sistema algebraico definido en un espacio de 6 variables, a saber con:
El generador infinitesimal
está asociado a uno de los grupos de simetría de un parámetro. Actúa sobre 4 variables, a saber y . Uno puede verificar fácilmente que y . Así las relaciones están satisfechos por cualquier en que hace desaparecer el sistema algebraico.
Simetrías de puntos de mentira de sistemas dinámicos
Definamos los sistemas de EDO de primer orden utilizados en la próxima definición de simetría.
Sistemas de EDO y generadores infinitesimales asociados
Dejar ser una derivación de la variable independiente continua . Consideramos dos conjuntos y . El conjunto de coordenadas asociado está definido por y su cardenal es . Con estas notaciones, un sistema de EDO de primer orden es un sistema en el que:
y el set especifica la evolución de las variables de estado de las EDO con la variable independiente. Los elementos del setse llaman variables de estado , estas de parámetros .
También se puede asociar un sistema dinámico continuo a un sistema de EDO resolviendo sus ecuaciones.
Un generador infinitesimal es una derivación que está estrechamente relacionada con los sistemas de EDO (más precisamente con los sistemas dinámicos continuos). Para conocer el vínculo entre un sistema de EDO, el campo vectorial asociado y el generador infinitesimal, consulte la sección 1.3 de. [4] El generador infinitesimal asociado a un sistema de EDO, descrito anteriormente, se define con las mismas notaciones de la siguiente manera:
Definición de simetrías de puntos de mentira
Aquí hay una definición geométrica de tales simetrías. Dejar Ser un sistema dinámico continuo y su generador infinitesimal. Un sistema dinámico continuo es una simetría de punto de mentira de si y solo si, envía cada órbita de a una órbita. Por lo tanto, el generador infinitesimalsatisface la siguiente relación [8] basada en el corchete de Lie :
dónde es cualquier constante de y es decir . Estos generadores son linealmente independientes.
No se necesitan las fórmulas explícitas de para calcular los generadores infinitesimales de sus simetrías.
Ejemplo
Considere Pierre François Verhulst 's logística crecimiento modelo con la depredación lineal, [14] , donde la variable de estadorepresenta una población. El parámetro es la diferencia entre la tasa de crecimiento y depredación y el parámetro corresponde a la capacidad receptiva del entorno:
El sistema dinámico continuo asociado a este sistema de EDO es:
La variable independiente varía continuamente; por lo tanto, el grupo asociado se puede identificar con.
El generador infinitesimal asociado a este sistema de EDO es:
Los siguientes generadores infinitesimales pertenecen al grupo de simetría bidimensional de :
Software
Existen muchos paquetes de software en esta área. [15] [16] [17] Por ejemplo, el paquete lieymm de Maple proporciona algunos métodos de simetría de Lie para PDE . [18] Manipula la integración de sistemas determinantes y también formas diferenciales . A pesar de su éxito en sistemas pequeños, sus capacidades de integración para resolver la determinación de sistemas automáticamente están limitadas por problemas de complejidad. El paquete DETools utiliza la prolongación de campos vectoriales para buscar simetrías de Lie de ODE. Encontrar simetrías de Lie para las EDO, en el caso general, puede ser tan complicado como resolver el sistema original.
Referencias
- ^ Mentira, Sophus (1881). "Über die Integration durch bestimmte Integrale von einer Klasse linearer partieller Differentialgleichungen". Archivo para Mathematik og Naturvidenskab (en alemán). 6 : 328–368.
- ^ Mentira, Sophus (1890). Theorie der Transformationsgruppen (en alemán). 2 . Teubner, Leipzig.
- ^ Mentira, Sophus (1893). Theorie der Transformationsgruppen (en alemán). 3 . Teubner, Leipzig.
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