En topología y ramas relacionadas de las matemáticas , un espacio normal es un espacio topológico X que satisface el Axioma T 4 : cada dos conjuntos cerrados disjuntos de X tienen vecindarios abiertos disjuntos . Un espacio de Hausdorff normal también se denomina espacio T 4 . Estas condiciones son ejemplos de axiomas de separación y sus refuerzos adicionales definen espacios de Hausdorff completamente normales , o espacios T 5 , y espacios de Hausdorff perfectamente normales., o espacios T 6 .
Axiomas de separación en espacios topológicos | |
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Clasificación de Kolmogorov | |
T 0 | (Kolmogorov) |
T 1 | (Fréchet) |
T 2 | (Hausdorff) |
T 2 ½ | (Urysohn) |
completamente T 2 | (completamente Hausdorff) |
T 3 | (Hausdorff regular) |
T 3½ | (Tychonoff) |
T 4 | (Hausdorff normal) |
T 5 | ( Hausdorff completamente normal ) |
T 6 | ( Hausdorff perfectamente normal ) |
Definiciones
Un espacio topológico X es un espacio normal si, dados los conjuntos cerrados disjuntos E y F , hay vecindarios U de E y V de F que también son disjuntos. De manera más intuitiva, esta condición dice que E y F pueden estar separados por vecindarios .
Un espacio T 4 es un espacio X T 1 que es normal; esto es equivalente a que X sea normal y Hausdorff .
Un espacio completamente normal o unEl espacio hereditariamente normal es un espacio topológicoXtal que cadasubespaciodeXcon topología subespacial es un espacio normal. Resulta queXes completamente normal si y solo si cada dosconjuntos separadosse pueden separar por vecindarios. Además,Xes completamente normal si y solo si cada subconjunto abierto deXes normal con la topología del subespacio.
A completamente T 4 espacio , o T 5 espacio es un completamente normal T 1 espacio topológico espacio X , lo que implica que X es Hausdorff ; de manera equivalente, todo subespacio de X debe ser un espacio T 4 .
Un espacio perfectamente normal es un espacio topológico X en el que cada dos conjuntos cerrados disjuntos E y F pueden ser separados con precisión por una función continua f de X a la línea real R : las preimágenes de {0} y {1} bajo f son, respectivamente, e y F . (En esta definición, la línea real se puede reemplazar con el intervalo unitario [0,1].)
Resulta que X es perfectamente normal si y solo si X es normal y cada conjunto cerrado es un conjunto G δ . De manera equivalente, X es perfectamente normal si y solo si cada conjunto cerrado es un conjunto cero . Todo espacio perfectamente normal es automáticamente completamente normal. [1]
A Hausdorff perfectamente el espacio normal X es un T 6 espacio , o perfectamente T 4 espacio .
Tenga en cuenta que los términos "espacio normal" y "T 4 " y los conceptos derivados ocasionalmente tienen un significado diferente. (No obstante, "T 5 " siempre significa lo mismo que "completamente T 4 ", sea lo que sea.) Las definiciones que se dan aquí son las que se utilizan habitualmente en la actualidad. Para obtener más información sobre este tema, consulte Historia de los axiomas de separación .
Términos como " espacio regular normal " y "espacio normal de Hausdorff" también aparecen en la literatura; simplemente significan que el espacio es normal y satisface la otra condición mencionada. En particular, un espacio de Hausdorff normal es lo mismo que un espacio T 4 . Dada la confusión histórica del significado de los términos, las descripciones verbales cuando son aplicables son útiles, es decir, "Hausdorff normal" en lugar de "T 4 ", o "Hausdorff completamente normal" en lugar de "T 5 ".
Totalmente espacios normales y totalmente T 4 espacios se discuten en otra parte; están relacionados con la paracompactancia .
Un espacio localmente normal es un espacio topológico donde cada punto tiene un vecindario abierto que es normal. Todo espacio normal es localmente normal, pero lo contrario no es cierto. Un ejemplo clásico de un espacio localmente normal completamente regular que no es normal es el plano Nemytskii .
Ejemplos de espacios normales
La mayoría de los espacios encontrados en el análisis matemático son espacios normales de Hausdorff, o al menos espacios regulares normales:
- Todos los espacios métricos (y por lo tanto todos los espacios metrizables ) son Hausdorff perfectamente normales;
- Todos los espacios pseudométricos (y por tanto todos los espacios pseudometrizables ) son perfectamente normales regulares, aunque no en general Hausdorff;
- Todos los espacios compactos de Hausdorff son normales;
- En particular, la compactación Stone-Čech de un espacio de Tychonoff es Hausdorff normal;
- Generalizando los ejemplos anteriores, todos los espacios de Hausdorff paracompactos son normales y todos los espacios regulares paracompactos son normales;
- Todas las variedades topológicas paracompactas son de Hausdorff perfectamente normales. Sin embargo, existen variedades no paracompactas que ni siquiera son normales.
- Todas las topologías de orden en conjuntos totalmente ordenados son hereditariamente normales y de Hausdorff.
- Cada segundo espacio contable regular es completamente normal, y cada espacio Lindelöf regular es normal.
Además, todos los espacios completamente normales son normales (incluso si no son regulares). El espacio de Sierpinski es un ejemplo de un espacio normal que no es regular.
Ejemplos de espacios no normales
Un ejemplo importante de una topología anormal lo da la topología de Zariski en una variedad algebraica o en el espectro de un anillo , que se utiliza en geometría algebraica .
Un espacio no normal de cierta relevancia para el análisis es el espacio vectorial topológico de todas las funciones desde la línea real R hasta sí misma, con la topología de convergencia puntual . De manera más general, un teorema de Arthur Harold Stone establece que el producto de innumerables espacios métricos no compactos nunca es normal.
Propiedades
Cada subconjunto cerrado de un espacio normal es normal. La imagen continua y cerrada de un espacio normal es normal. [2]
La principal importancia de los espacios normales radica en el hecho de que ellos admiten "suficientes" continuas reales -valued funciones , según lo expresado por los siguientes teoremas válidos para cualquier espacio normal X .
Lema de Urysohn : Si A y B son dos disjuntos cerrado subconjuntos de X , entonces existe una función continua f de X a la recta real R tal que f ( x ) = 0 para todo x en A y f ( x ) = 1 para todo x en B . De hecho, podemos considerar que los valores de f están completamente dentro del intervalo unitario [0,1]. (En términos más sofisticados, los conjuntos cerrados disjuntos no solo están separados por vecindarios, sino que también están separados por una función ).
Más en general, la extensión teorema Tietze : Si A es un subconjunto cerrado de X y f es una función continua de A a R , entonces existe una función continua F : X → R que se extiende f en el sentido de que F ( x ) = f ( x ) para todo x en a .
Si U es un localmente finita tapa abierta de un espacio normal X , entonces hay una partición de la unidad precisamente subordinada a T . (Esto muestra la relación de los espacios normales con la paracompactancia ).
De hecho, cualquier espacio que satisfaga cualquiera de estas tres condiciones debe ser normal.
Un producto de espacios normales no es necesariamente normal. Este hecho fue probado por primera vez por Robert Sorgenfrey . Un ejemplo de este fenómeno es el avión de Sorgenfrey . De hecho, dado que existen espacios que son Dowker , un producto de un espacio normal y [0, 1] no necesita ser normal. Además, un subconjunto de un espacio normal no necesita ser normal (es decir, no todo espacio de Hausdorff normal es un espacio de Hausdorff completamente normal), ya que cada espacio de Tychonoff es un subconjunto de su compactación Stone-Čech (que es Hausdorff normal). Un ejemplo más explícito es el tablón de Tychonoff . La única clase grande de espacios producto de espacios normales que se sabe que son normales son los productos de espacios compactos de Hausdorff, ya que tanto la compacidad ( teorema de Tychonoff ) como el axioma T 2 se conservan bajo productos arbitrarios. [3]
Relaciones con otros axiomas de separación
Si un espacio normal es R 0 , entonces de hecho es completamente regular . Por lo tanto, cualquier cosa desde "R 0 normal " a "normal completamente regular" es lo mismo que normalmente llamamos normal regular . Tomando los cocientes de Kolmogorov , vemos que todos los espacios T 1 normales son Tychonoff . Estos son los que solemos llamar espacios de Hausdorff normales .
Se dice que un espacio topológico es pseudonormal si se le dan dos conjuntos cerrados disjuntos, uno de los cuales es contable, hay conjuntos abiertos disjuntos que los contienen. Todo espacio normal es pseudonormal, pero no al revés.
En las listas anteriores se pueden encontrar contraejemplos de algunas variaciones de estas declaraciones. Específicamente, el espacio de Sierpinski es normal pero no regular, mientras que el espacio de funciones de R a sí mismo es Tychonoff pero no normal.
Citas
- ^ Munkres 2000 , p. 213
- ^ Willard 1970 , págs. 100-101 .
- ^ Willard 1970 , sección 17.
Referencias
- Kemoto, Nobuyuki (2004). "Axiomas de separación superior". En KP Hart; J. Nagata; JE Vaughan (eds.). Enciclopedia de topología general . Amsterdam: Elsevier Science . ISBN 978-0-444-50355-8.
- Munkres, James R. (2000). Topología (2ª ed.). Prentice-Hall . ISBN 978-0-13-181629-9.
- Sorgenfrey, RH (1947). "Sobre el producto topológico de los espacios paracompactos" . Toro. Amer. Matemáticas. Soc . 53 (6): 631–632. doi : 10.1090 / S0002-9904-1947-08858-3 .
- Stone, AH (1948). "Paracompactancia y espacios de producto" . Toro. Amer. Matemáticas. Soc . 54 (10): 977–982. doi : 10.1090 / S0002-9904-1948-09118-2 .
- Willard, Stephen (1970). Topología general . Reading, MA: Addison-Wesley. ISBN 978-0-486-43479-7.