En la mecánica hamiltoniana , la transformación canónica lineal ( LCT ) es una familia de transformadas integrales que generaliza muchas transformadas clásicas. Tiene 4 parámetros y 1 restricción, por lo que es una familia tridimensional, y se puede visualizar como la acción del grupo lineal especial SL 2 ( R ) en el plano tiempo-frecuencia (dominio).
La LCT generaliza las transformadas de Fourier , Fourier fraccional , Laplace , Gauss-Weierstrass , Bargmann y Fresnel como casos particulares. El nombre "transformación canónica lineal" proviene de la transformación canónica , un mapa que conserva la estructura simpléctica, ya que SL 2 ( R ) también se puede interpretar como el grupo simpléctico Sp 2 y, por lo tanto, las LCT son los mapas lineales del dominio tiempo-frecuencia. que conservan la forma simpléctica .
Se consideran las propiedades básicas de las transformaciones mencionadas anteriormente, como escalado, desplazamiento, multiplicación de coordenadas. Cualquier transformación canónica lineal está relacionada con transformaciones afines en el espacio de fase, definidas por coordenadas de tiempo-frecuencia o posición-momento.
Definición
La LCT se puede representar de varias formas; más fácilmente, [1] se puede parametrizar mediante una matriz de 2 × 2 con determinante 1, es decir, un elemento del grupo lineal especial SL 2 ( C ). Entonces, para cualquier matriz de este tipocon ad - bc = 1, la transformación integral correspondiente de una función a Se define como
cuando b ≠ 0, cuando b = 0.
Casos especiales
Muchas transformadas clásicas son casos especiales de la transformada canónica lineal:
- escalamiento ,, corresponde a escalar las dimensiones de tiempo y frecuencia inversamente (a medida que el tiempo pasa más rápido, las frecuencias son más altas y la dimensión de tiempo se reduce):
- La transformada de Fourier corresponde a la rotación de 90 °, representada por la matriz:
- La transformada fraccionaria de Fourier corresponde a la rotación en un ángulo arbitrario; son los elementos elípticos de SL 2 ( R ), representados por las matrices:
- La transformada de Fresnel corresponde al cizallamiento, y son una familia de elementos parabólicos , representados por las matrices:
- donde z es la distancia y λ es la longitud de onda.
- La transformada de Laplace corresponde a la rotación de 90 ° en el dominio complejo y se puede representar mediante la matriz:
- La transformada fraccional de Laplace corresponde a la rotación de un ángulo arbitrario en el dominio complejo y se puede representar mediante la matriz: [2]
Composición
La composición de las LCT corresponde a la multiplicación de las matrices correspondientes; esto también se conoce como la "propiedad de aditividad del WDF ".
En detalle, si la LCT se denota por O F (a, b, c, d) , es decir
luego
dónde
Si es el , dónde es la LCT de , luego
LCT es igual a la operación de torsión para el WDF y la distribución de clases de Cohen también tiene la operación de torsión.
Podemos usar libremente la LCT para transformar el paralelogramo cuyo centro está en (0,0) en otro paralelogramo que tiene la misma área y el mismo centro
De esta imagen sabemos que el punto (-1,2) se transforma en el punto (0,1) y el punto (1,2) se transforma en el punto (4,3). Como resultado, podemos escribir las siguientes ecuaciones
podemos resolver las ecuaciones y obtener (a, b, c, d) es igual a (2,1,1,1)
Relación
De la siguiente imagen, resumimos la LCT con otras transformadas o propiedades
En óptica y mecánica cuántica
Los sistemas ópticos paraxiales implementados íntegramente con lentes delgadas y propagación a través de medios de espacio libre y / o índice graduado (GRIN), son sistemas de fase cuadrática (QPS); estos se conocían antes de que Moshinsky y Quesne (1974) llamaran la atención sobre su importancia en relación con las transformaciones canónicas en la mecánica cuántica. El efecto de cualquier QPS arbitrario en un campo de ondas de entrada se puede describir usando la transformada canónica lineal, un caso particular de la cual fue desarrollado por Segal (1963) y Bargmann (1961) para formalizar el cálculo de bosones de Fock (1928). [3]
En mecánica cuántica , las transformaciones canónicas lineales se pueden identificar con las transformaciones lineales que mezclan el operador Momentum con el operador Position y dejan invariantes las relaciones de conmutación Canonical .
Aplicaciones
Las transformadas canónicas se utilizan para analizar ecuaciones diferenciales. Estos incluyen la difusión , la partícula libre de Schrödinger , el potencial lineal (caída libre) y las ecuaciones del oscilador atractivo y repulsivo. También incluye algunos otros, como la ecuación de Fokker-Planck . Aunque esta clase está lejos de ser universal, la facilidad con la que se encuentran soluciones y propiedades hace de las transformadas canónicas una herramienta atractiva para problemas como estos. [4]
Aquí se analiza la propagación de ondas a través del aire, una lente y entre antenas parabólicas. Todos los cálculos se pueden reducir a álgebra matricial 2 × 2. Este es el espíritu de LCT.
Propagación de ondas electromagnéticas
Suponiendo que las miradas sistema como tal como se representa en la figura, la onda viaja desde el plano x i , y i al plano de x y y . La transformada de Fresnel se utiliza para describir la propagación de ondas electromagnéticas en el aire:
con
k = 2 π / λ : número de oleada ; λ : longitud de onda ; z : distancia de propagación; j : unidad imaginaria.
Esto es equivalente a LCT (cizallamiento), cuando
Cuando la distancia de recorrido ( z ) es mayor, el efecto de cizallamiento es mayor.
Lente esférica
Con la lente como se muestra en la figura, y el índice de refracción denotado como n , el resultado es: [5]
con f la distancia focal y Δ el grosor de la lente.
La distorsión que pasa a través de la lente es similar a LCT, cuando
Esto también es un efecto de cizallamiento: cuando la distancia focal es menor, el efecto de cizallamiento es mayor.
Espejo esférico
El espejo esférico, por ejemplo, una antena parabólica, se puede describir como LCT, con
Esto es muy similar a la lente, excepto que la distancia focal se reemplaza por el radio del plato. Por tanto, si el radio es menor, el efecto de cizallamiento es mayor.
Espacio libre articular y lente esférica
La relación entre la entrada y la salida que podemos usar LCT para representar
(1) Si z1 = z2 = 2f, es imagen real inversa
(2) Si z1 = z2 = f, es transformada de Fourier + escala
(3) si z1 = z2, es transformada de Fourier fraccional + escala
Propiedades básicas
En esta parte, mostramos las propiedades básicas de LCT
Operador | Matriz de transformación |
---|---|
Con el vector de columna de dos dimensiones r definido como r =, mostramos algunas propiedades básicas (resultado) para la entrada específica a continuación
Aporte | Producción | Observación |
---|---|---|
Linealidad | ||
teorema de parseval | ||
complejo conjugado | ||
multiplicación | ||
derivación | ||
modulación | ||
cambiar | ||
escalada | ||
escalada | ||
1 | ||
Ejemplo
El sistema considerado se representa en la figura de la derecha: dos platos - uno de ellos el emisor y el otro el receptor - y una señal que viaja entre ellos sobre una distancia D . Primero, para el plato A (emisor), la matriz LCT se ve así:
Luego, para el plato B (receptor), la matriz LCT se convierte de manera similar en:
Por último, para la propagación de la señal en el aire, la matriz LCT es:
Al juntar los tres componentes, el LCT del sistema es:
Relación con la física de partículas
Se ha demostrado que es posible establecer una relación entre algunas propiedades del fermión elemental en el modelo estándar de física de partículas y la representación de espín de transformaciones canónicas lineales. [6] En este enfoque, la carga eléctrica , la hipercarga débil y el isospín débil de las partículas se expresan como combinaciones lineales de algunos operadores definidos a partir de los generadores del álgebra de Clifford asociados con la representación de espín de transformaciones canónicas lineales.
Ver también
- Distribución Segal-Shale-Weil , un grupo metapléctico de operadores relacionados con la transformada chirplet
- Otras transformaciones de tiempo-frecuencia
- Transformada fraccional de Fourier
- Transformada de Fourier continua
- Transformación de chirplet
- Aplicaciones
- Recuperación de enfoque basada en la transformada canónica lineal
- Análisis de matriz de transferencia de rayos
Notas
- ↑ de Bruijn, NG (1973). "Una teoría de funciones generalizadas, con aplicaciones a la distribución de Wigner y la correspondencia de Weyl", Nieuw Arch. Wiskd. , III. Ser., 21 205-280.
- ^ PR Deshmukh & AS Gudadhe (2011) Estructura de convolución para dos versiones de la transformada fraccional de Laplace. Revista de Ciencias y Artes, 2 (15): 143-150. "Copia archivada" . Archivado desde el original el 23 de diciembre de 2012 . Consultado el 29 de agosto de 2012 .CS1 maint: copia archivada como título ( enlace )
- ^ KB Wolf (1979) Cap. 9: Transformaciones canónicas .
- ^ KB Wolf (1979) Cap. 9 y 10 .
- ^ Goodman, Joseph W. (2005), Introducción a la óptica de Fourier (3.a ed.), Editores de Roberts and Company, ISBN 0-9747077-2-4, §5.1.3, págs. 100-102.
- ^ RT Ranaivoson et al (2021) Phys. Scr. 96 065204
Referencias
- JJ Healy, MA Kutay, HM Ozaktas y JT Sheridan, " Transformaciones canónicas lineales: teoría y aplicaciones ", Springer, Nueva York 2016.
- JJ Ding, " Nota del curso sobre análisis de tiempo-frecuencia y transformación de ondas ", Departamento de Ingeniería Eléctrica, Universidad Nacional de Taiwán (NTU), Taipei, Taiwán, 2007.
- KB Wolf, " Transformaciones integrales en ciencia e ingeniería ", cap. 9 y 10, Nueva York, Plenum Press, 1979.
- SA Collins, "Integral de difracción del sistema de lentes escrito en términos de óptica matricial", J. Opt. Soc. Amer. 60 , 1168-1177 (1970).
- M. Moshinsky y C. Quesne, "Transformaciones canónicas lineales y sus representaciones unitarias", J. Math. Phys. 12 , 8, 1772-1783, (1971).
- BM Hennelly y JT Sheridan, "Algoritmo numérico rápido para la transformada canónica lineal", J. Opt. Soc. Soy. A 22 , 5, 928–937 (2005).
- HM Ozaktas, A. Koç, I. Sari y MA Kutay, "Cálculo eficiente de integrales de fase cuadrática en óptica", Opt. Dejar. 31 , 35–37, (2006).
- Bing-Zhao Li, Ran Tao, Yue Wang, "Nuevas fórmulas de muestreo relacionadas con la transformada canónica lineal", Signal Processing ' 87' , 983–990, (2007).
- A. Koç, HM Ozaktas, C. Candan y MA Kutay, "Cálculo digital de transformaciones canónicas lineales", IEEE Trans. Proceso de señal. , vol. 56, no. 6, 2383–2394, (2008).
- Ran Tao, Bing-Zhao Li, Yue Wang, "Sobre el muestreo de señales de banda limitada asociadas con la transformada canónica lineal", IEEE Transactions on Signal Processing , vol. 56, no. 11, 5454–5464, (2008).
- D. Stoler, "Métodos de operador en óptica física", 26º Simposio Técnico Anual . Sociedad Internacional de Óptica y Fotónica, 1982.
- Tian-Zhou Xu, Bing-Zhao Li, " Transformada canónica lineal y sus aplicaciones ", Beijing, Science Press, 2013.
- Raoelina Andriambololona, RT Ranaivoson, HDE Randriamisy, R. Hanitriarivo, "Álgebra de operadores de dispersión y transformaciones canónicas lineales", Int. J. Theor. Phys. , 56 , 4, 1258–1273, (2017)
- RT Ranaivoson et al, "Transformaciones canónicas lineales en física cuántica relativista", Phys. Scr. 96 , 065204, (2021).
- Tatiana Alieva., Martin J. Bastiaans. (2016) Las transformaciones canónicas lineales: definición y propiedades. En: Healy J., Alper Kutay M., Ozaktas H., Sheridan J. (eds) Linear Canonical Transforms. Springer Series in Optical Sciences, vol. 198. Springer, Nueva York, NY