El modelado inverso es una técnica matemática cuyo objetivo es determinar las propiedades físicas del subsuelo de una región terrestre que ha producido un sismograma determinado . Cooke y Schneider (1983) [1] lo definieron como el cálculo de la estructura y los parámetros físicos de la tierra a partir de algún conjunto de datos sísmicos observados . La suposición subyacente en este método es que los datos sísmicos recopilados provienen de una estructura terrestre que coincide con la sección transversal calculada a partir del algoritmo de inversión . [2] Algunas propiedades comunes de la tierra que se invierten incluyen la velocidad acústica, la formación y las densidades de fluidos ,impedancia acústica , relación de Poisson , compresibilidad de la formación, rigidez al cizallamiento, porosidad y saturación de fluidos.
El método ha sido útil durante mucho tiempo para los geofísicos y se puede clasificar en dos tipos amplios: [3] Inversión determinista y estocástica . Los métodos de inversión deterministas se basan en la comparación de la salida de un modelo terrestre con los datos de campo observados y en la actualización continua de los parámetros del modelo terrestre para minimizar una función, que suele ser alguna forma de diferencia entre la salida del modelo y la observación de campo. Como tal, este método de inversión al que cae la inversión lineal se plantea como un problema de minimización y el modelo terrestre aceptado es el conjunto de parámetros del modelo que minimiza la función objetivo al producir un sismograma numérico que se compara mejor con los datos sísmicos de campo recopilados.
Por otro lado, los métodos de inversión estocástica se utilizan para generar modelos restringidos como se utilizan en la simulación de flujo de yacimientos , utilizando herramientas geoestadísticas como kriging . A diferencia de los métodos de inversión deterministas que producen un único conjunto de parámetros del modelo, los métodos estocásticos generan un conjunto de parámetros alternativos del modelo terrestre que obedecen todos a la restricción del modelo. Sin embargo, los dos métodos están relacionados ya que los resultados de los modelos deterministas son el promedio de todas las posibles soluciones no únicas de los métodos estocásticos. [3] Dado que la inversión lineal sísmica es un método de inversión determinista, el método estocástico no se discutirá más allá de este punto.
Inversión lineal
La naturaleza determinista de la inversión lineal requiere una relación funcional que modele, en términos de los parámetros del modelo terrestre , la variable sísmica a invertir. Esta relación funcional es un modelo matemático derivado de las leyes fundamentales de la física y se denomina más a menudo modelo directo. El objetivo de la técnica es minimizar una función que depende de la diferencia entre la convolución del modelo directo con una ondícula fuente y la traza sísmica recogida en el campo . Al igual que en el campo de la optimización, esta función a minimizar se llama función objetivo y en el modelado conveccional inverso, es simplemente la diferencia entre el modelo convolucionado hacia adelante y la traza sísmica. Como se mencionó anteriormente, se pueden invertir diferentes tipos de variables, pero para mayor claridad, estas variables se denominarán serie de impedancias del modelo terrestre. En las siguientes subsecciones describiremos con más detalle, en el contexto de la inversión lineal como un problema de minimización, los diferentes componentes que son necesarios para invertir los datos sísmicos.
Modelo de avance
La pieza central de la inversión lineal sísmica es el modelo directo que modela la generación de los datos experimentales recopilados. [1] Según Wiggins (1972), [4] proporciona una relación funcional (computacional) entre los parámetros del modelo y los valores calculados para las trazas observadas. Dependiendo de los datos sísmicos recolectados, este modelo puede variar desde las ecuaciones de ondas clásicas para predecir el desplazamiento de partículas o la presión del fluido para la propagación de ondas sonoras a través de rocas o fluidos, hasta algunas variantes de estas ecuaciones clásicas. Por ejemplo, el modelo directo de Tarantola (1984) [5] es la ecuación de onda para la variación de presión en un medio líquido durante la propagación de la onda sísmica, mientras que, al asumir capas de velocidad constante con interfaces planas, Kanasewich y Chiu (1985) [6] utilizaron la modelo de braquistotrona de John Bernoulli para el tiempo de viaje de un rayo a lo largo de una trayectoria. En Cooke y Schneider (1983), [1] el modelo es un algoritmo sintético de generación de trazas expresado como en Eqn. 3, donde R (t) se genera en el dominio Z mediante una fórmula recursiva. Independientemente de la forma en que aparezca el modelo directo, es importante que no solo prediga los datos de campo recopilados, sino que también modele cómo se generan los datos. Por lo tanto, el modelo directo de Cooke y Schneider (1983) [1] solo se puede usar para invertir los datos de CMP, ya que el modelo invariablemente no asume ninguna pérdida de propagación imitando la respuesta de una tierra lateralmente homogénea a una fuente de onda plana.
- donde t es el tiempo de viaje del rayo, x, y, z son las coordenadas de profundidad y vi es la velocidad constante entre las interfaces i - 1 e i.
- dónde representan el módulo de volumen, densidad, la fuente de ondas acústicas, y la variación de presión.
donde s ( t ) = traza sintética, w ( t ) = ondícula fuente y R ( t ) = función de reflectividad.
Función objetiva
Un proceso numérico importante en el modelado inverso es minimizar la función objetivo, que es una función definida en términos de la diferencia entre los datos sísmicos de campo recopilados y los datos sísmicos calculados numéricamente. Las funciones objetivas clásicas incluyen la suma de desviaciones cuadradas entre datos experimentales y numéricos, como en los métodos de mínimos cuadrados , la suma de la magnitud de la diferencia entre datos de campo y numéricos, o alguna variante de estas definiciones. Independientemente de la definición utilizada, la solución numérica del problema inverso se obtiene como modelo terrestre que minimiza la función objetivo.
Además de la función objetivo, en el procedimiento de modelado inverso también se incorporan otras restricciones como los parámetros del modelo conocido y las interfaces de capa conocidas en algunas regiones de la tierra. Estas restricciones, según Francis 2006, [3] ayudan a reducir la no unicidad de la solución de inversión al proporcionar información a priori que no está contenida en los datos invertidos, mientras que Cooke y Schneider (1983) [1] informan que son útiles para controlar el ruido. y cuando se trabaja en un área geofísicamente conocida.
Análisis matemático del procedimiento de inversión lineal generalizada
El objetivo del análisis matemático del modelado inverso es convertir el problema lineal inverso generalizado en un álgebra matricial simple considerando todos los componentes descritos en las secciones anteriores. verbigracia; modelo directo, función objetivo, etc. Generalmente, los datos sísmicos generados numéricamente son funciones no lineales de los parámetros del modelo terrestre. Para eliminar la no linealidad y crear una plataforma para la aplicación de conceptos de álgebra lineal , el modelo directo se linealiza por expansión utilizando una serie de Taylor como se lleva a cabo a continuación. Para más detalles, véanse Wiggins (1972), [4] Cooke y Schneider (1983). [1]
Considere un conjunto de observaciones de campo sísmico , por y un conjunto de parámetros del modelo terrestre para ser invertido para, para . Las observaciones de campo se pueden representar en o , dónde y son representaciones vectoriales de los parámetros del modelo y las observaciones de campo en función de los parámetros terrestres. Del mismo modo, para representando conjeturas de los parámetros del modelo, es el vector de datos sísmicos calculados numéricamente usando el modelo directo de la Sec. 1.3. Expansión de la serie de Taylor de acerca de se da a continuación.
- En la linealización al eliminar los términos no lineales (términos con (p⃗ - ⃗q) de orden 2 y superiores), la ecuación se convierte en
- Teniendo en cuenta que posee componentes y y tengo componentes, la forma discreta de Eqn. 5 resultados en un sistema de ecuaciones lineales en variables cuya forma matricial se muestra a continuación.
se llama vector de diferencia en Cooke y Schneider (1983). [1] Tiene un tamaño de y sus componentes son la diferencia entre la traza observada y los datos sísmicos calculados numéricamente. es el vector corrector de tamaño , tiempo se llama matriz de sensibilidad. Tiene un tamaño dey sus comentarios son tales que cada columna es la derivada parcial de un componente de la función directa con respecto a uno de los parámetros desconocidos del modelo terrestre. De manera similar, cada fila es la derivada parcial de un componente de la traza sísmica calculada numéricamente con respecto a todos los parámetros desconocidos del modelo.
Algoritmo de solución
se calcula a partir del modelo hacia adelante, mientras que son los datos experimentales. Por lo tanto,es una cualidad conocida. Por otro lado,se desconoce y se obtiene mediante la solución de la ecuación. 10. Esta ecuación es teóricamente solucionable solo cuando es invertible, es decir, si es una matriz cuadrada de modo que el número de observaciones es igual al número de parámetros terrestres desconocidos. Si este es el caso, el vector corrector desconocido, se resuelve como se muestra a continuación, utilizando cualquiera de los solucionadores directos o iterativos clásicos para la solución de un conjunto de ecuaciones lineales.
En la mayoría de las aplicaciones de inversión sísmica , hay más observaciones que el número de parámetros terrestres para invertir, es decir, lo que lleva a un sistema de ecuaciones matemáticamente sobredeterminado. Como resultado, Eqn. 10 no se puede resolver teóricamente y no se puede obtener una solución exacta. [6] Se obtiene una estimación del vector corrector utilizando el procedimiento de mínimos cuadrados para encontrar el vector corrector que minimiza , que es la suma de los cuadrados del error, . [6]
El error es dado por
En el procedimiento de mínimos cuadrados, el vector corrector que minimiza se obtiene de la siguiente manera.
Por lo tanto,
De las discusiones anteriores, la función objetivo se define como la o norma de dada por o o de dada por o .
El procedimiento generalizado para invertir cualquier dato sísmico experimental para o , utilizando la teoría matemática para el modelado inverso, como se describe anteriormente, se muestra en la Fig. 1 y se describe a continuación.
Se proporciona una estimación inicial de la impedancia del modelo para iniciar el proceso de inversión. El modelo de avance utiliza esta suposición inicial para calcular un dato sísmico sintético que se resta de los datos sísmicos observados para calcular el vector de diferencia.
- Una suposición inicial de la impedancia del modelo. se proporciona para iniciar el proceso de inversión.
- Un dato sísmico sintético se calcula mediante el modelo directo, utilizando la impedancia del modelo anterior.
- El vector de diferencia se calcula como la diferencia entre los datos sísmicos experimentales y sintéticos.
- La matriz de sensibilidad se calcula a este valor del perfil de impedancia.
- Utilizando y el vector de diferencia de 3 arriba, el vector corrector es calculado. Se obtiene un nuevo perfil de impedancia como
- La o la norma del vector corrector calculado se compara con un valor de tolerancia proporcionado. Si la norma calculada es menor que la tolerancia, se concluye el procedimiento numérico y el perfil de impedancia invertido para la región terrestre viene dado porde Eqn. 14. Por otro lado, si la norma es mayor que la tolerancia, se repiten las iteraciones a través de los pasos 2-6 pero con un perfil de impedancia actualizado calculado a partir de la ecuación. 14. La Fig. 2 [7] muestra un ejemplo típico de actualización del perfil de impedancia durante el proceso de iteración sucesiva. Según Cooke y Schneider (1983), [1] el uso de la suposición corregida de Eqn. 14 ya que la nueva conjetura inicial durante la iteración reduce el error.
Parametrización del espacio modelo terrestre
Independientemente de la variable para la que se invierta, la impedancia de la tierra es una función continua de la profundidad (o el tiempo en los datos sísmicos) y para que la técnica de inversión lineal numérica sea aplicable para este modelo físico continuo, las propiedades continuas deben ser discretizadas y / o muestreados a intervalos discretos a lo largo de la profundidad del modelo terrestre. Por lo tanto, la profundidad total sobre la que se determinarán las propiedades del modelo es un punto de partida necesario para la discretización. Comúnmente, como se muestra en la Fig. 3, estas propiedades se muestrean a intervalos discretos cercanos sobre esta profundidad para asegurar una alta resolución de la variación de impedancia a lo largo de la profundidad de la tierra. Los valores de impedancia invertidos del algoritmo representan el valor promedio en el intervalo discreto.
Teniendo en cuenta que el problema de modelado inverso solo se puede resolver teóricamente cuando el número de intervalos discretos para muestrear las propiedades es igual al número de observaciones en la traza que se va a invertir, un muestreo de alta resolución conducirá a una matriz grande que será muy costosa de invertir. Además, la matriz puede ser singular para las ecuaciones dependientes, la inversión puede ser inestable en presencia de ruido y el sistema puede estar poco restringido si se desean parámetros distintos de las variables primarias invertidas. En relación a los parámetros deseados, distintos de la impedancia, Cooke y Schneider (1983) [1] les da para incluir la ondícula de la fuente y el factor de escala.
Finalmente, al tratar las restricciones como valores de impedancia conocidos en algunas capas o intervalos discretos, se reduce el número de valores de impedancia desconocidos que se deben resolver, lo que conduce a una mayor precisión en los resultados del algoritmo de inversión.
Ejemplos de inversión
Inversión de temperatura de Marescot (2010) [8]
Comenzamos con un ejemplo para invertir los valores de los parámetros terrestres a partir de la distribución de la profundidad de la temperatura en una región terrestre determinada. Aunque este ejemplo no se relaciona directamente con la inversión sísmica ya que no hay ondas acústicas viajeras involucradas, no obstante introduce la aplicación práctica de la técnica de inversión de una manera fácil de comprender, antes de pasar a las aplicaciones sísmicas. En este ejemplo, la temperatura de la tierra se mide en ubicaciones discretas en un pozo colocando sensores de temperatura en las profundidades objetivo. Suponiendo un modelo directo de distribución lineal de temperatura con profundidad, se invierten dos parámetros a partir de las mediciones de profundidad de temperatura.
El modelo adelantado viene dado por
dónde . Así, la dimensión de es 2, es decir, el número de parámetros invertidos es 2.
El objetivo de este algoritmo de inversión es encontrar , que es el valor de que minimiza la diferencia entre la distribución de temperatura observada y las obtenidas usando el modelo directo de Eqn. 15. Considerando la dimensión del modelo de avance o el número de observaciones de temperatura que se van a, los componentes del modelo directo se escriben como
- así que eso
Presentamos resultados de Marescot (2010) [8] para el caso de para lo cual los valores de temperatura observados en las profundidades fueron a y a . Estos datos experimentales se invirtieron para obtener valores de los parámetros terrestres de y . Para un caso más general con un gran número de observaciones de temperatura, la Fig.4 muestra el modelo lineal directo final obtenido al usar los valores invertidos de y . La figura muestra una buena correspondencia entre datos experimentales y numéricos.
Inversión del tiempo de viaje de las olas de Marescot (2010) [8]
Este ejemplo invierte la velocidad de la capa terrestre a partir de los tiempos de viaje de las ondas sísmicas registrados. La figura 5 muestra las estimaciones de velocidad inicial y los tiempos de viaje registrados desde el campo, mientras que la figura 6a muestra el modelo de velocidad heterogéneo invertido , que es la solución del algoritmo de inversión obtenido después de 30 iteraciones . Como se ve en la Fig. 6b, existe una buena comparación entre los tiempos de viaje finales obtenidos del modelo de avance usando la velocidad invertida y los tiempos de viaje del registro de campo. Usando estas soluciones, se reconstruyó la trayectoria del rayo y se muestra que es muy tortuosa a través del modelo terrestre, como se muestra en la Fig.7.
Inversión de trazas sísmicas de Cooke y Schneider (1983)
Este ejemplo, tomado de Cooke y Schneider (1983), [1] muestra la inversión de una traza sísmica CMP para el perfil de impedancia del modelo terrestre (producto de densidad y velocidad). La traza sísmica invertida se muestra en la Fig. 8 mientras que la Fig. 9a muestra el perfil de impedancia invertida con la impedancia inicial de entrada utilizada para el algoritmo de inversión. También se registra junto con la traza sísmica un registro de impedancia de la región terrestre como se muestra en la Fig. 9b. Las figuras muestran una buena comparación entre el registro de impedancia registrado y la impedancia invertida numérica de la traza sísmica.
Referencias
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