Polígono de Möbius-Kantor | |
---|---|
Proyección ortográfica que se muestra aquí con 4 triángulos de 3 bordes rojos y 4 azules . | |
Símbolo de Shephard | 3 (24) 3 |
Símbolo de Schläfli | 3 {3} 3 |
Diagrama de Coxeter | |
Bordes | 8 3 {} |
Vértices | 8 |
Polígono de Petrie | Octágono |
Grupo Shephard | 3 [3] 3 , orden 24 |
Poliedro doble | Auto-dual |
Propiedades | Regular |
En geometría , el polígono de Möbius-Kantor es un polígono complejo regular 3 {3} 3 ,, en . 3 {3} 3 tiene 8 vértices y 8 aristas. Es auto-dual. Cada vértice es compartido por 3 aristas triangulares. [1] Coxeter lo llamó un polígono de Möbius-Kantor por compartir la estructura de configuración compleja como la configuración de Möbius-Kantor , (8 3 ). [2]
Descubierto por GC Shephard en 1952, lo representó como 3 (24) 3, con su simetría, llamada Coxeter como 3 [3] 3 , isomorfo al grupo tetraédrico binario , orden 24.
Coordenadas
Las 8 coordenadas de vértice de este polígono se pueden dar en , como:
( ω , −1,0) | (0, ω , - ω 2 ) | ( ω 2 , −1,0) | (−1,0,1) |
(- ω , 0,1) | (0, ω 2 , - ω ) | (- ω 2 , 0,1) | (1, −1,0) |
dónde .
Como configuración
La matriz de configuración para 3 {3} 3 es: [3]
Representación real
Tiene una representación real como el de 16 celdas ,, en un espacio de 4 dimensiones, compartiendo los mismos 8 vértices. Las 24 aristas de las 16 celdas se ven en el polígono de Möbius-Kantor cuando las 8 aristas triangulares se dibujan como 3 aristas separadas. Los triángulos están representados por 2 conjuntos de 4 contornos rojos o azules. Las proyecciones B 4 se dan en dos orientaciones de simetría diferentes entre los dos conjuntos de colores.
Avión | B 4 | F 4 | |
---|---|---|---|
Grafico | |||
Simetría | [8] | [12/3] |
Politopos relacionados
Este gráfico muestra los dos polígonos alternos como un compuesto en rojo y azul 3 {3} 3 en posiciones dobles. | 3 {6} 2 , o , con 24 vértices en negro y 16 3 aristas coloreadas en 2 conjuntos de 3 aristas en rojo y azul. [4] |
También puede verse como una alternancia de , representado como . tiene 16 vértices y 24 aristas. Un compuesto de dos, en posiciones duales, y , se puede representar como , contiene los 16 vértices de .
El truncamiento , es lo mismo que el polígono regular, 3 {6} 2 ,. Su diagrama de bordes es el diagrama de cayley para 3 [3] 3 .
El poliedro de Hesse regular 3 {3} 3 {3} 3 ,tiene este polígono como figura de faceta y vértice .
Notas
Referencias
- Shephard, GC ; Politopos complejos regulares, Proc. Matemáticas de Londres. Soc. Serie 3, Vol. 2, (1952), págs. 82–97.
- Coxeter, HSM y Moser, WOJ; Generadores y relaciones para grupos discretos (1965), especialmente págs. 67–80.
- Coxeter, HSM ; Regular Complex Polytopes , Cambridge University Press, (1974), segunda edición (1991).
- Coxeter, HSM y Shephard, GC; Retratos de una familia de politopos complejos, Leonardo Vol 25, No 3/4, (1992), págs. 239–244 [1]