![]() Este polígono complejo tiene 8 aristas (líneas complejas), etiquetadas como a .. h , y 16 vértices. Cuatro vértices se encuentran en cada borde y dos bordes se cruzan en cada vértice. En la imagen de la izquierda, los cuadrados delineados no son elementos del politopo, sino que se incluyen simplemente para ayudar a identificar los vértices que se encuentran en la misma línea compleja. El perímetro octagonal de la imagen de la izquierda no es un elemento del politopo, pero es un polígono petrie . [1] En la imagen del medio, cada borde se representa como una línea real y los cuatro vértices de cada línea se pueden ver más claramente. | ![]() Un boceto en perspectiva que representa los 16 puntos de vértice como grandes puntos negros y los 8 4 bordes como cuadrados delimitados dentro de cada borde. El camino verde representa el perímetro octagonal de la imagen de la izquierda. |
En geometría , un polígono complejo regular es una generalización de un polígono regular en el espacio real a una estructura análoga en un espacio de Hilbert complejo , donde cada dimensión real está acompañada por una imaginaria . Un polígono regular existe en 2 dimensiones reales,, mientras que un polígono complejo existe en dos dimensiones complejas, , que puede tener representaciones reales en 4 dimensiones, , que luego debe proyectarse hacia abajo a 2 o 3 dimensiones reales para ser visualizadas. Un polígono complejo se generaliza como un politopo complejo en.
![](http://wikiimg.tojsiabtv.com/wikipedia/commons/thumb/c/c7/Complex_1-topes_as_k-edges.png/640px-Complex_1-topes_as_k-edges.png)
Un polígono complejo puede entenderse como una colección de puntos complejos, líneas, planos, etc., donde cada punto es la unión de múltiples líneas, cada línea de múltiples planos, etc.
Los polígonos complejos regulares se han caracterizado completamente y se pueden describir utilizando una notación simbólica desarrollada por Coxeter .
Polígonos complejos regulares
Mientras que los politopos 1 pueden tener p ilimitado , los polígonos complejos regulares finitos, excluyendo los polígonos de doble prisma p {4} 2 , están limitados a elementos de 5 aristas (aristas pentagonales), y los aperiógonos regulares infinitos también incluyen 6 aristas (aristas hexagonales) elementos.
Notaciones
Notación Schläfli modificada de Shephard
Shephard ideó originalmente una forma modificada de la notación de Schläfli para politopos regulares. Para un polígono delimitado por p 1 -edges, con un p 2 -set como figura de vértice y grupo de simetría general de orden g , denotamos el polígono como p 1 ( g ) p 2 .
El número de vértices V es entonces g / p 2 y el número de aristas E es g / p 1 .
El polígono complejo ilustrado arriba tiene ocho aristas cuadradas ( p 1 = 4) y dieciséis vértices ( p 2 = 2). A partir de esto, podemos calcular que g = 32, dando el símbolo de Schläfli modificado 4 (32) 2.
Notación Schläfli modificada revisada de Coxeter
Una notación más moderna p 1 { q } p 2 se debe a Coxeter , [2] y se basa en la teoría de grupos. Como grupo de simetría, su símbolo es p 1 [ q ] p 2 .
El grupo de simetría p 1 [ q ] p 2 está representado por 2 generadores R 1 , R 2 , donde: R 1 p 1 = R 2 p 2 = I. Si q es par, (R 2 R 1 ) q / 2 = (R 1 R 2 ) q / 2 . Si q es impar, (R 2 R 1 ) ( q −1) / 2 R 2 = (R 1 R 2 ) ( q −1) / 2 R 1 . Cuando q es impar, p 1 = p 2 .
Para 4 [4] 2 tiene R 1 4 = R 2 2 = I, (R 2 R 1 ) 2 = (R 1 R 2 ) 2 .
Para 3 [5] 3 tiene R 1 3 = R 2 3 = I, (R 2 R 1 ) 2 R 2 = (R 1 R 2 ) 2 R 1 .
Diagramas de Coxeter-Dynkin
Coxeter también generalizó el uso de diagramas de Coxeter-Dynkin a politopos complejos, por ejemplo, el polígono complejo p { q } r está representado pory el grupo de simetría equivalente, p [ q ] r , es un diagrama sin anillos
. Los nodos p y r representan espejos que producen p y r imágenes en el plano. Los nodos sin etiqueta en un diagrama tienen 2 etiquetas implícitas. Por ejemplo, un polígono regular real es 2 { q } 2 o { q } o
.
Una limitación, los nodos conectados por órdenes de sucursales impares deben tener órdenes de nodo idénticas. Si no lo hacen, el grupo creará polígonos "estrellados", con elementos superpuestos. Entonces y
son ordinarios, mientras que
es estrellado.
12 grupos Shephard irreductibles
![]() 12 grupos Shephard irreductibles con sus relaciones de índice de subgrupos. [3] | ![]() Subgrupos de <5,3,2> 30 , <4,3,2> 12 y <3,3,2> 6 |
Los subgrupos se relacionan eliminando un reflejo: p [2 q ] 2 -> p [ q ] p , índice 2 yp [4] q -> p [ q ] p , índice q . |
![](http://wikiimg.tojsiabtv.com/wikipedia/commons/thumb/c/c5/Rank2_shephard_subgroups2_series.png/220px-Rank2_shephard_subgroups2_series.png)
p [4] 2 -> [ p ], índice p
p [4] 2 -> p [] × p [], índice 2
Coxeter enumeró esta lista de polígonos complejos regulares en . Un polígono regular de complejo, p { q } R o, tiene p- bordes y r - figuras de vértice gonales . p { q } r es un politopo finito si ( p + r ) q > pr ( q - 2).
Su simetría se escribe como p [ q ] r , llamado grupo Shephard , análogo al grupo Coxeter , mientras que también permite reflejos unitarios .
Para los grupos no estrellados, el orden del grupo p [ q ] r se puede calcular como. [4]
El número de Coxeter para p [ q ] r es, por lo que el orden del grupo también se puede calcular como . Se puede dibujar un polígono complejo regular en proyección ortogonal con simetría h -gonal.
Las soluciones de rango 2 que generan polígonos complejos son:
Grupo | G 3 = G ( q , 1,1) | G 2 = G ( p , 1,2) | G 4 | G 6 | G 5 | G 8 | G 14 | G 9 | G 10 | G 20 | G 16 | G 21 | G 17 | G 18 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
2 [ q ] 2 , q = 3,4 ... | p [4] 2 , p = 2,3 ... | 3 [3] 3 | 3 [6] 2 | 3 [4] 3 | 4 [3] 4 | 3 [8] 2 | 4 [6] 2 | 4 [4] 3 | 3 [5] 3 | 5 [3] 5 | 3 [10] 2 | 5 [6] 2 | 5 [4] 3 | |
![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() | |
Pedido | 2 q | 2 p 2 | 24 | 48 | 72 | 96 | 144 | 192 | 288 | 360 | 600 | 720 | 1200 | 1800 |
h | q | 2 p | 6 | 12 | 24 | 30 | 60 |
Las soluciones excluidas con q impar y p y r desiguales son: 6 [3] 2 , 6 [3] 3 , 9 [3] 3 , 12 [3] 3 , ..., 5 [5] 2 , 6 [5] 2 , 8 [5] 2 , 9 [5] 2 , 4 [7] 2 , 9 [5] 2 , 3 [9] 2 y 3 [11] 2 .
Otros q enteros con p y r desiguales , crean grupos estrellados con dominios fundamentales superpuestos:,
,
,
,
, y
.
El polígono dual de p { q } r es r { q } p . Un polígono de la forma p { q } p es auto-dual. Los grupos de la forma p [2 q ] 2 tienen una media simetría p [ q ] p , por lo que un polígono regular es lo mismo que cuasirregular
. Además, polígono regular con el mismo orden de nodo,
, tener una construcción alterna
, permitiendo que los bordes adyacentes sean de dos colores diferentes. [5]
El orden de grupo, g , se usa para calcular el número total de vértices y aristas. Tendrá vértices g / r y aristas g / p . Cuando p = r , el número de vértices y aristas es igual. Esta condición es necesaria cuando q es impar.
Generadores de matrices
El grupo p [ q ] r ,, se puede representar mediante dos matrices: [6]
Nombre | R 1![]() | R 2![]() |
---|---|---|
Pedido | pag | r |
Matriz |
|
|
Con
- Ejemplos de
|
|
| |||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Enumeración de polígonos complejos regulares
Coxeter enumeró los polígonos complejos en la Tabla III de Politopos complejos regulares. [7]
Grupo | Pedido | Número de Coxeter | Polígono | Vértices | Bordes | Notas | ||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
G ( q , q , 2) 2 [ q ] 2 = [ q ] q = 2,3,4, ... | 2 q | q | 2 { q } 2 | ![]() ![]() ![]() | q | q | {} | Polígonos regulares reales Igual que ![]() ![]() ![]() ![]() Igual que ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Grupo | Pedido | Número de Coxeter | Polígono | Vértices | Bordes | Notas | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
G ( p , 1,2) p [4] 2 p = 2,3,4, ... | 2 p 2 | 2 p | p (2 p 2 ) 2 | p {4} 2 | ![]() ![]() ![]() | p 2 | 2 p | p {} | igual que p {} × p {} o![]() ![]() ![]() representación como p - p duoprisma |
2 (2 p 2 ) p | 2 {4} p | ![]() ![]() ![]() | 2 p | p 2 | {} | representación como p - p duopyramid | |||
G (2,1,2) 2 [4] 2 = [4] | 8 | 4 | 2 {4} 2 = {4} | ![]() ![]() ![]() | 4 | 4 | {} | igual que {} × {} o ![]() ![]() ![]() Plaza real | |
G (3,1,2) 3 [4] 2 | 18 | 6 | 6 (18) 2 | 3 {4} 2 | ![]() ![]() ![]() | 9 | 6 | 3 {} | igual que 3 {} × 3 {} o![]() ![]() ![]() representación como 3-3 duoprisma |
2 (18) 3 | 2 {4} 3 | ![]() ![]() ![]() | 6 | 9 | {} | representación como 3-3 duopyramid | |||
G (4,1,2) 4 [4] 2 | 32 | 8 | 8 (32) 2 | 4 {4} 2 | ![]() ![]() ![]() | dieciséis | 8 | 4 {} | igual que 4 {} × 4 {} o![]() ![]() ![]() representación como 4-4 duoprisma o {4,3,3} |
2 (32) 4 | 2 {4} 4 | ![]() ![]() ![]() | 8 | dieciséis | {} | representación como 4-4 duopyramid o {3,3,4} | |||
G (5,1,2) 5 [4] 2 | 50 | 25 | 5 (50) 2 | 5 {4} 2 | ![]() ![]() ![]() | 25 | 10 | 5 {} | igual que 5 {} × 5 {} o![]() ![]() ![]() representación como 5-5 duoprisma |
2 (50) 5 | 2 {4} 5 | ![]() ![]() ![]() | 10 | 25 | {} | representación como 5-5 duopyramid | |||
G (6,1,2) 6 [4] 2 | 72 | 36 | 6 (72) 2 | 6 {4} 2 | ![]() ![]() ![]() | 36 | 12 | 6 {} | igual que 6 {} × 6 {} o![]() ![]() ![]() representación como 6-6 duoprisma |
2 (72) 6 | 2 {4} 6 | ![]() ![]() ![]() | 12 | 36 | {} | representación como 6-6 duopyramid | |||
G 4 = G (1,1,2) 3 [3] 3 <2,3,3> | 24 | 6 | 3 (24) 3 | 3 {3} 3 | ![]() ![]() ![]() | 8 | 8 | 3 {} | Configuración de Möbius-Kantor auto-dual, igual que ![]() ![]() ![]() representación como {3,3,4} |
G 6 3 [6] 2 | 48 | 12 | 3 (48) 2 | 3 {6} 2 | ![]() ![]() ![]() | 24 | dieciséis | 3 {} | igual que ![]() ![]() ![]() |
3 {3} 2 | ![]() ![]() ![]() | polígono estrellado | |||||||
2 (48) 3 | 2 {6} 3 | ![]() ![]() ![]() | dieciséis | 24 | {} | ||||
2 {3} 3 | ![]() ![]() ![]() | polígono estrellado | |||||||
G 5 3 [4] 3 | 72 | 12 | 3 (72) 3 | 3 {4} 3 | ![]() ![]() ![]() | 24 | 24 | 3 {} | auto-dual, igual que ![]() ![]() ![]() representación como {3,4,3} |
G 8 4 [3] 4 | 96 | 12 | 4 (96) 4 | 4 {3} 4 | ![]() ![]() ![]() | 24 | 24 | 4 {} | auto-dual, igual que ![]() ![]() ![]() representación como {3,4,3} |
G 14 3 [8] 2 | 144 | 24 | 3 (144) 2 | 3 {8} 2 | ![]() ![]() ![]() | 72 | 48 | 3 {} | igual que ![]() ![]() ![]() |
3 {8/3} 2 | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | polígono estrellado, igual que ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | |||||||
2 (144) 3 | 2 {8} 3 | ![]() ![]() ![]() | 48 | 72 | {} | ||||
2 {8/3} 3 | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | polígono estrellado | |||||||
G 9 4 [6] 2 | 192 | 24 | 4 (192) 2 | 4 {6} 2 | ![]() ![]() ![]() | 96 | 48 | 4 {} | igual que ![]() ![]() ![]() |
2 (192) 4 | 2 {6} 4 | ![]() ![]() ![]() | 48 | 96 | {} | ||||
4 {3} 2 | ![]() ![]() ![]() | 96 | 48 | {} | polígono estrellado | ||||
2 {3} 4 | ![]() ![]() ![]() | 48 | 96 | {} | polígono estrellado | ||||
G 10 4 [4] 3 | 288 | 24 | 4 (288) 3 | 4 {4} 3 | ![]() ![]() ![]() | 96 | 72 | 4 {} | |
12 | 4 {8/3} 3 | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | polígono estrellado | ||||||
24 | 3 (288) 4 | 3 {4} 4 | ![]() ![]() ![]() | 72 | 96 | 3 {} | |||
12 | 3 {8/3} 4 | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | polígono estrellado | ||||||
G 20 3 [5] 3 | 360 | 30 | 3 (360) 3 | 3 {5} 3 | ![]() ![]() ![]() | 120 | 120 | 3 {} | auto-dual, igual que ![]() ![]() ![]() representación como {3,3,5} |
3 {5/2} 3 | ![]() ![]() ![]() | polígono estrellado auto-dual | |||||||
G 16 5 [3] 5 | 600 | 30 | 5 (600) 5 | 5 {3} 5 | ![]() ![]() ![]() | 120 | 120 | 5 {} | auto-dual, igual que ![]() ![]() ![]() representación como {3,3,5} |
10 | 5 {5/2} 5 | ![]() ![]() ![]() | polígono estrellado auto-dual | ||||||
G 21 3 [10] 2 | 720 | 60 | 3 (720) 2 | 3 {10} 2 | ![]() ![]() ![]() | 360 | 240 | 3 {} | igual que ![]() ![]() ![]() |
3 {5} 2 | ![]() ![]() ![]() | polígono estrellado | |||||||
3 {10/3} 2 | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | polígono estrellado, igual que ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | |||||||
3 {5/2} 2 | ![]() ![]() ![]() | polígono estrellado | |||||||
2 (720) 3 | 2 {10} 3 | ![]() ![]() ![]() | 240 | 360 | {} | ||||
2 {5} 3 | ![]() ![]() ![]() | polígono estrellado | |||||||
2 {10/3} 3 | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | polígono estrellado | |||||||
2 {5/2} 3 | ![]() ![]() ![]() | polígono estrellado | |||||||
G 17 5 [6] 2 | 1200 | 60 | 5 (1200) 2 | 5 {6} 2 | ![]() ![]() ![]() | 600 | 240 | 5 {} | igual que ![]() ![]() ![]() |
20 | 5 {5} 2 | ![]() ![]() ![]() | polígono estrellado | ||||||
20 | 5 {10/3} 2 | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | polígono estrellado | ||||||
60 | 5 {3} 2 | ![]() ![]() ![]() | polígono estrellado | ||||||
60 | 2 (1200) 5 | 2 {6} 5 | ![]() ![]() ![]() | 240 | 600 | {} | |||
20 | 2 {5} 5 | ![]() ![]() ![]() | polígono estrellado | ||||||
20 | 2 {10/3} 5 | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | polígono estrellado | ||||||
60 | 2 {3} 5 | ![]() ![]() ![]() | polígono estrellado | ||||||
G 18 5 [4] 3 | 1800 | 60 | 5 (1800) 3 | 5 {4} 3 | ![]() ![]() ![]() | 600 | 360 | 5 {} | |
15 | 5 {10/3} 3 | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | polígono estrellado | ||||||
30 | 5 {3} 3 | ![]() ![]() ![]() | polígono estrellado | ||||||
30 | 5 {5/2} 3 | ![]() ![]() ![]() | polígono estrellado | ||||||
60 | 3 (1800) 5 | 3 {4} 5 | ![]() ![]() ![]() | 360 | 600 | 3 {} | |||
15 | 3 {10/3} 5 | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | polígono estrellado | ||||||
30 | 3 {3} 5 | ![]() ![]() ![]() | polígono estrellado | ||||||
30 | 3 {5/2} 5 | ![]() ![]() ![]() | polígono estrellado |
Visualizaciones de polígonos complejos regulares
Gráficos 2D
Los polígonos de la forma p {2 r } q pueden visualizarse mediante q conjuntos de colores de p -edge. Cada p -arista se ve como un polígono regular, mientras que no hay caras.
- Polígonos complejos 2 { r } q
Los polígonos de la forma 2 {4} q se denominan ortoplejos generalizados . Comparten vértices con las duopirámides 4D q - q , vértices conectados por 2 aristas.
2 {4} 2 ,
, con 4 vértices y 4 aristas
2 {4} 3 ,
, con 6 vértices y 9 aristas [8]
2 {4} 4 ,
, con 8 vértices y 16 aristas
2 {4} 5 ,
, con 10 vértices y 25 aristas
2 {4} 6 ,
, con 12 vértices y 36 aristas
2 {4} 7 ,
, con 14 vértices y 49 aristas
2 {4} 8 ,
, con 16 vértices y 64 aristas
2 {4} 9 ,
, con 18 vértices y 81 aristas
2 {4} 10 ,
, con 20 vértices y 100 aristas
- Polígonos complejos p {4} 2
Los polígonos de la forma p {4} 2 se denominan hipercubos generalizados (cuadrados para polígonos). Comparten vértices con los duoprismas 4D p - p , vértices conectados por p-bordes. Los vértices se dibujan en verde y los bordes p se dibujan en colores alternativos, rojo y azul. La perspectiva se distorsiona ligeramente para que las dimensiones impares muevan los vértices superpuestos desde el centro.
2 {4} 2 ,
o
, con 4 vértices y 4 de 2 aristas
3 {4} 2 ,
o
, con 9 vértices y 6 (triangulares) de 3 aristas [9]
4 {4} 2 ,
o
, con 16 vértices y 8 (cuadrados) de 4 aristas
5 {4} 2 ,
o
, con 25 vértices y 10 (pentagonales) de 5 aristas
6 {4} 2 ,
o
, con 36 vértices y 12 (hexagonales) de 6 aristas
7 {4} 2 ,
o
, con 49 vértices y 14 (heptagonal) de 7 aristas
8 {4} 2 ,
o
, con 64 vértices y 16 (octogonal) de 8 aristas
9 {4} 2 ,
o
, con 81 vértices y 18 (enneagonal) de 9 aristas
10 {4} 2 ,
o
, con 100 vértices y 20 (decagonales) de 10 aristas
- Polígonos complejos p { r } 2
3 {6} 2 ,
o
, con 24 vértices en negro y 16 de 3 aristas coloreadas en 2 conjuntos de 3 aristas en rojo y azul [10]
3 {8} 2 ,
o
, con 72 vértices en negro y 48 3 bordes coloreados en 2 conjuntos de 3 bordes en rojo y azul [11]
- Polígonos complejos, p { r } p
Los polígonos de la forma p { r } p tienen el mismo número de vértices y aristas. También son auto-duales.
3 {3} 3 ,
o
, con 8 vértices en negro y 8 de 3 aristas coloreadas en 2 conjuntos de 3 aristas en rojo y azul [12]
3 {4} 3 ,
o
, con 24 vértices y 24 3 bordes mostrados en 3 conjuntos de colores, un conjunto lleno [13]
4 {3} 4 ,
o
, con 24 vértices y 24 de 4 aristas que se muestran en 4 conjuntos de colores [14]
3 {5} 3 ,
o
, con 120 vértices y 120 de 3 aristas [15]
5 {3} 5 ,
o
, con 120 vértices y 120 de 5 aristas [16]
Perspectiva 3D
Las proyecciones en perspectiva 3D de polígonos complejos p {4} 2 pueden mostrar la estructura punto-borde de un polígono complejo, mientras que la escala no se conserva.
Los duales 2 {4} p : se ven agregando vértices dentro de los bordes y agregando bordes en lugar de vértices.
2 {4} 3 ,
con 6 vértices, 9 aristas en 3 conjuntos
3 {4} 2 ,
con 9 vértices, 6 3 bordes en 2 conjuntos de colores como
4 {4} 2 ,
con 16 vértices, 8 de 4 aristas en 2 juegos de colores y cuadrados de 4 aristas rellenos como
5 {4} 2 ,
con 25 vértices, 10 5 aristas en 2 conjuntos de colores como
Polígonos cuasirregulares
Un polígono cuasirregular es un truncamiento de un polígono regular. Un polígono cuasirregular contiene bordes alternos de los polígonos regulares
y
. El polígono cuasirregular tiene p vértices en los p-bordes de la forma regular.
p [ q ] r | 2 [4] 2 | 3 [4] 2 | 4 [4] 2 | 5 [4] 2 | 6 [4] 2 | 7 [4] 2 | 8 [4] 2 | 3 [3] 3 | 3 [4] 3 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Regular![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() 4 2 filos | ![]() ![]() ![]() ![]() 9 3 bordes | ![]() ![]() ![]() ![]() 16 4 bordes | ![]() ![]() ![]() ![]() 25 5 aristas | ![]() ![]() ![]() ![]() 36 6 filos | ![]() ![]() ![]() ![]() 49 8 aristas | ![]() ![]() ![]() ![]() 64 8 aristas | ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() |
Cuasirregular![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 4 + 4 2 filos | ![]() ![]() ![]() ![]() 6 2 bordes 9 3 bordes | ![]() ![]() ![]() ![]() 8 2 bordes 16 4 bordes | ![]() ![]() ![]() ![]() 10 2 bordes 25 5 bordes | ![]() ![]() ![]() ![]() 12 2 bordes 36 6 bordes | ![]() ![]() ![]() ![]() 14 2 bordes 49 7 bordes | ![]() ![]() ![]() ![]() 16 2 bordes 64 8 bordes | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Regular![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() 4 2 filos | ![]() ![]() ![]() ![]() 6 2 filos | ![]() ![]() ![]() ![]() 8 2 filos | ![]() ![]() ![]() ![]() 10 2 filos | ![]() ![]() ![]() ![]() 12 2 filos | ![]() ![]() ![]() ![]() 14 2 filos | ![]() ![]() ![]() ![]() 16 2 filos | ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() |
Notas
- ^ Coxeter, Politopos complejos regulares , 11.3 Polígono Petrie , un h -gonsimpleformado por la órbita de la bandera (O 0 , O 0 O 1 ) para el producto de las dos reflexiones generadoras de cualquier polígono complejo regular no estrellado, p 1 { q } p 2 .
- ^ Coxeter, Politopos complejos regulares, p. xiv
- ^ Coxeter, Politopos regulares complejos, p. 177, cuadro III
- ^ Lehrer y Taylor, 2009, p. 87
- ^ Coxeter, politopos complejos regulares, tabla IV. Los polígonos regulares. págs. 178-179
- ^ Politopos complejos, 8.9 El caso bidimensional , p. 88
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- ^ Coxeter, Politopos complejos regulares, p. 108
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- ^ Coxeter, Politopos complejos regulares, p. 109
- ^ Coxeter, Politopos complejos regulares, p. 111
- ^ Coxeter, Politopos complejos regulares, p. 30 diagrama y p. 47 índices para 8 de 3 aristas
- ^ Coxeter, Politopos complejos regulares, p. 110
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- ^ Coxeter, Politopos complejos regulares, p. 49
Referencias
- Coxeter, HSM y Moser, WOJ; Generadores y relaciones para grupos discretos (1965), especialmente págs. 67–80.
- Coxeter, HSM (1991), Politopos complejos regulares , Cambridge University Press, ISBN 0-521-39490-2
- Coxeter, HSM y Shephard, GC; Retratos de una familia de politopos complejos, Leonardo Vol 25, No 3/4, (1992), pp 239-244,
- Shephard, GC; Politopos complejos regulares , Proc. Matemáticas de Londres. Soc. Serie 3, Vol. 2, (1952), págs. 82–97.
- GC Shephard , JA Todd, Grupos de reflexión unitarios finitos , Canadian Journal of Mathematics. 6 (1954), 274-304 [1] [ enlace muerto permanente ]
- Gustav I. Lehrer y Donald E. Taylor, Grupos de reflexión unitaria , Cambridge University Press 2009