Cono de mapeo (álgebra homológica)

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En álgebra homológica , el cono de mapeo es una construcción en un mapa de cadenas complejas inspirada en la construcción análoga en topología . En la teoría de las categorías trianguladas es una especie de núcleo y conúcleo combinados : si los complejos de cadenas toman sus términos en una categoría abeliana , de modo que podemos hablar de cohomología , entonces el cono de una función f es acíclico significa que la función es un cuasi-isomorfismo ; si pasamos a la categoría derivada de complejos, esto significa que fhay un isomorfismo allí, que recuerda la propiedad familiar de mapas de grupos , módulos sobre un anillo , o elementos de una categoría abeliana arbitraria de que si el núcleo y el conúcleo desaparecen, entonces el mapa es un isomorfismo. Si estamos trabajando en una categoría t , entonces, de hecho, el cono proporciona tanto el kernel como el cokernel de los mapas entre los objetos de su núcleo.

El cono puede definirse en la categoría de complejos cocatenarios sobre cualquier categoría aditiva (es decir, una categoría cuyos morfismos forman grupos abelianos y en la que podemos construir una suma directa de dos objetos cualesquiera). Sean dos complejos, con diferenciales , es decir,${\ estilo de visualización A, B}$${\displaystyle d_{A},d_{B};}$

Para un mapa de complejos , definimos el cono, a menudo denotado por o como el siguiente complejo:${\displaystyle f:A\to B,}$${\displaystyle \operatorname {Cone} (f)}$${\displaystyle C(f),}$

Aquí está el complejo con y . Tenga en cuenta que el diferencial en es diferente del diferencial natural en , y que algunos autores usan una convención de signos diferente.${\displaystyle A[1]}$${\displaystyle A[1]^{n}=A^{n+1}}$${\displaystyle d_{A[1]}^{n}=-d_{A}^{n+1}}$${\displaystyle C(f)}$${\displaystyle A[1]\oplus B}$

Supongamos ahora que estamos trabajando sobre una categoría abeliana , de modo que se define la homología de un complejo. El uso principal del cono es identificar cuasi-isomorfismos : si el cono es acíclico , entonces el mapa es un cuasi-isomorfismo. Para ver esto, usamos la existencia de un triángulo .

donde los mapas están dados por los sumandos directos (ver Categoría de homotopía de complejos de cadenas ). Como se trata de un triángulo, da lugar a una secuencia exacta larga en grupos de homología :${\displaystyle B\to C(f),C(f)\to A[1]}$

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