Las formulaciones matemáticas de la mecánica cuántica son aquellos formalismos matemáticos que permiten una descripción rigurosa de la mecánica cuántica . Este formalismo matemático utiliza principalmente una parte del análisis funcional , especialmente los espacios de Hilbert , que son una especie de espacio lineal . Estos se distinguen de los formalismos matemáticos para las teorías de la física desarrolladas antes de principios del siglo XX mediante el uso de estructuras matemáticas abstractas, como los espacios de Hilbert de dimensión infinita ( principalmente el espacio L 2 ) y los operadores en estos espacios. En resumen, los valores de los observables físicoscomo la energía y la cantidad de movimiento ya no se consideraban valores de funciones en el espacio de fase , sino valores propios ; más precisamente como valores espectrales de operadores lineales en el espacio de Hilbert. [1]
Estas formulaciones de la mecánica cuántica siguen utilizándose en la actualidad. En el corazón de la descripción se encuentran las ideas de estado cuántico y observables cuánticos , que son radicalmente diferentes de las utilizadas en modelos anteriores de realidad física. Si bien las matemáticas permiten el cálculo de muchas cantidades que se pueden medir experimentalmente, existe un límite teórico definido para los valores que se pueden medir simultáneamente. Esta limitación fue aclarada por primera vez por Heisenberg a través de un experimento mental , y está representada matemáticamente en el nuevo formalismo por la no conmutatividad de los operadores que representan observables cuánticos.
Antes del desarrollo de la mecánica cuántica como teoría separada, las matemáticas utilizadas en física consistían principalmente en análisis matemático formal , comenzando con el cálculo y aumentando en complejidad hasta la geometría diferencial y las ecuaciones diferenciales parciales . La teoría de la probabilidad se utilizó en mecánica estadística . La intuición geométrica jugó un papel importante en los dos primeros y, en consecuencia, las teorías de la relatividadfueron formulados enteramente en términos de conceptos geométricos diferenciales. La fenomenología de la física cuántica surgió aproximadamente entre 1895 y 1915, y durante los 10 a 15 años antes del desarrollo de la mecánica cuántica (alrededor de 1925) los físicos continuaron pensando en la teoría cuántica dentro de los límites de lo que ahora se llama física clásica , y en particular dentro de las mismas estructuras matemáticas. El ejemplo más sofisticado de esto es la regla de cuantificación de Sommerfeld-Wilson-Ishiwara , que se formuló completamente en el espacio de fase clásico .
En la década de 1890, Planck pudo derivar el espectro del cuerpo negro , que luego se usó para evitar la catástrofe ultravioleta clásica al hacer la suposición poco ortodoxa de que, en la interacción de la radiación electromagnética con la materia , la energía solo podía intercambiarse en unidades discretas que él llamó cuantos . Planck postuló una proporcionalidad directa entre la frecuencia de radiación y el cuanto de energía a esa frecuencia. La constante de proporcionalidad, h , ahora se llama constante de Planck en su honor.
En 1905, Einstein explicó ciertas características del efecto fotoeléctrico asumiendo que los cuantos de energía de Planck eran partículas reales, que más tarde se denominaron fotones .
Todos estos desarrollos fueron fenomenológicos y desafiaron la física teórica de la época. Bohr y Sommerfeld continuaron modificando la mecánica clásica en un intento de deducir el modelo de Bohr a partir de los primeros principios. Propusieron que, de todas las órbitas clásicas cerradas trazadas por un sistema mecánico en su espacio de fase , solo las que encerraban un área que era un múltiplo de la constante de Planck estaban realmente permitidas. La versión más sofisticada de este formalismo fue la denominada cuantificación de Sommerfeld-Wilson-Ishiwara . Aunque el modelo de Bohr del átomo de hidrógeno podría explicarse de esta manera, el espectro del átomo de helio (clásicamente un átomo insolubleProblema de 3 cuerpos ) no se pudo predecir. El estado matemático de la teoría cuántica permaneció incierto durante algún tiempo.