En matemáticas , y más específicamente en álgebra homológica , una resolución (o resolución izquierda ; doblemente una coresolución o resolución derecha [1] ) es una secuencia exacta de módulos (o, más generalmente, de objetos de una categoría abeliana ), que se utiliza definir invariantes que caractericen la estructura de un módulo u objeto específico de esta categoría. Cuando, como es habitual, las flechas se orientan hacia la derecha, se supone que la secuencia es infinita hacia la izquierda para las resoluciones (izquierda) y hacia la derecha para las resoluciones correctas. Sin embargo, unla resolución finita es aquella en la que sólo un número finito de los objetos de la secuencia son distintos de cero ; generalmente se representa mediante una secuencia exacta finita en la que el objeto más a la izquierda (para resoluciones) o el objeto más a la derecha (para coresoluciones) es el objeto cero . [2]
Generalmente, los objetos en la secuencia están restringidos para tener alguna propiedad P (por ejemplo, ser libres). Por lo tanto se habla de una resolución P . En particular, cada módulo tiene resoluciones libres , resoluciones proyectivas y resoluciones planas , que son resoluciones dejadas que consisten, respectivamente, en módulos libres , módulos proyectivos o módulos planos . De manera similar, cada módulo tiene resoluciones inyectables , que son resoluciones correctas que consisten en módulos inyectivos .
Resoluciones de módulos
Definiciones
Dado un módulo M sobre un anillo R , una resolución izquierda (o simplemente resolución ) de M es una secuencia exacta (posiblemente infinita) de módulos R
Los homomorfismos d i se denominan mapas de límites. El mapa ε se denomina mapa de aumento . En aras de la concisión, la resolución anterior se puede escribir como
La noción dual es la de una resolución correcta (o coresolución , o simplemente resolución ). Específicamente, dado un módulo M sobre un anillo R , una resolución correcta es una secuencia exacta posiblemente infinita de módulos R
donde cada C i es un módulo R (es común usar superíndices en los objetos en la resolución y los mapas entre ellos para indicar la naturaleza dual de tal resolución). En aras de la concisión, la resolución anterior se puede escribir como
Se dice que una (co) resolución es finita si solo un número finito de los módulos involucrados son distintos de cero. La longitud de una resolución finita es el índice n máximo que etiqueta un módulo distinto de cero en la resolución finita.
Resoluciones libres, proyectivas, inyectivas y planas
En muchas circunstancias se imponen condiciones a los módulos E i que resuelven el módulo M dado . Por ejemplo, una resolución libre de un módulo M es una resolución izquierda en la que todos los módulos E i son módulos R libres. Asimismo, las resoluciones proyectiva y plana son resoluciones dejadas de modo que todos los E i sean módulos R proyectivos y planos , respectivamente. Las resoluciones inyectables son resoluciones correctas cuyos C i son todos módulos inyectivos .
Cada módulo R posee una resolución izquierda libre. [3] A fortiori , cada módulo también admite resoluciones proyectivas y planas. La idea de prueba es definir E 0 como el módulo R libre generado por los elementos de M , y luego E 1 como el módulo R libre generado por los elementos del núcleo del mapa natural E 0 → M, etc. Doblemente, cada módulo R posee una resolución inyectiva. Las resoluciones proyectivas (y, en general, las resoluciones planas) se pueden utilizar para calcular los functores de Tor .
La resolución proyectiva de un módulo M es única hasta una homotopía en cadena , es decir, dadas dos resoluciones proyectivas P 0 → M y P 1 → M de M existe una homotopía en cadena entre ellas.
Las resoluciones se utilizan para definir dimensiones homológicas . La longitud mínima de una resolución proyectiva finita de un módulo M se denomina dimensión proyectiva y se denota pd ( M ). Por ejemplo, un módulo tiene dimensión proyectiva cero si y solo si es un módulo proyectivo. Si M no admite una resolución proyectiva finita, entonces la dimensión proyectiva es infinita. Por ejemplo, para un conmutativa anillo local R , la dimensión proyectiva es finito si y sólo si R es normal y en este caso coincide con la dimensión Krull de R . De manera análoga, la dimensión inyectiva id ( M ) y la dimensión plana fd ( M ) también se definen para los módulos.
Las dimensiones inyectivos y proyectivas se utilizan en la categoría de la derecha R módulos para definir una dimensión homológica para R llama la derecha dimensión global de R . De manera similar, la dimensión plana se utiliza para definir una dimensión global débil . El comportamiento de estas dimensiones refleja las características del anillo. Por ejemplo, un anillo tiene una dimensión global correcta 0 si y solo si es un anillo semisimple , y un anillo tiene una dimensión global débil 0 si y solo si es un anillo regular de von Neumann .
Módulos graduados y álgebras
Sea M un módulo graduado sobre un álgebra graduada , que se genera sobre un campo por sus elementos de grado positivo. Entonces M tiene una resolución libre en la que los módulos libres E i pueden ser graduados de tal manera que d i y ε sean mapas lineales graduados . Entre estas resoluciones libres graduadas, las resoluciones libres mínimas son aquellas para las que el número de elementos básicos de cada E i es mínimo. El número de elementos básicos de cada E i y sus grados son los mismos para todas las resoluciones libres mínimas de un módulo graduado.
Si I es un ideal homogéneo en un anillo polinomial sobre un campo, la regularidad de Castelnuovo-Mumford del conjunto algebraico proyectivo definido por I es el entero mínimo r tal que los grados de los elementos base de E i en una resolución libre mínima de Todos soy más bajo que ri .
Ejemplos de
Un ejemplo clásico de resolución libre lo da el complejo de Koszul de una secuencia regular en un anillo local o de una secuencia regular homogénea en un álgebra graduada generada finitamente sobre un campo.
Sea X un espacio asférico , es decir, su cubierta universal E es contráctil . Entonces, cada complejo de cadena singular (o simplicial ) de E es una resolución libre del módulo Z no solo sobre el anillo Z sino también sobre el anillo de grupo Z [ π 1 ( X )].
Resoluciones en categorías abelianas
La definición de las resoluciones de un objeto M en una categoría abeliana A es el mismo que el anterior, pero el E i y C i son objetos en A , y todos los mapas implicados son morfismos en A .
La noción análoga de módulos proyectivos e inyectivos son objetos proyectivos e inyectivos y, en consecuencia, resoluciones proyectivas e inyectivas. Sin embargo, tales resoluciones no necesitan existir en una categoría A general abeliana . Si todos los objetos de A tiene una resolución proyectiva (resp. Inyectiva), a continuación, una se dice que tiene suficientes pruebas proyectivas (resp. Suficientes inyectivos ). Incluso si existen, a menudo es difícil trabajar con tales resoluciones. Por ejemplo, como se señaló anteriormente, cada módulo R tiene una resolución inyectiva, pero esta resolución no es funcional , es decir, se le da un homomorfismo M → M ' , junto con resoluciones inyectivas.
En general, no existe una forma funcional de obtener un mapa entre y .
Categorías abelianas sin resoluciones proyectivas en general
Una clase de ejemplos de categorías abelianas sin resoluciones proyectivas son las categorías de gavillas coherentes en un esquema . Por ejemplo, si es espacio proyectivo, cualquier haz coherente en tiene una presentación dada por una secuencia exacta
Los dos primeros términos no son en general proyectivos ya que por . Pero ambos términos son localmente gratis y localmente planos. Ambas clases de roldanas se pueden usar en el lugar para ciertos cálculos, reemplazando las resoluciones proyectivas para calcular algunos functores derivados.
Resolución acíclica
En muchos casos uno no está realmente interesado en los objetos que aparecen en una resolución, sino en el comportamiento de la resolución con respecto a un funtor dado . Por lo tanto, en muchas situaciones, se usa la noción de resoluciones acíclicas : dado un funtor exacto izquierdo F : A → B entre dos categorías abelianas, una resolución
de un objeto M de A se llama F -acíclico, si los functores derivados R i F ( E n ) desaparecen para todo i > 0 y n ≥ 0. Dualmente, una resolución izquierda es acíclica con respecto a un functor exacto derecho si su los functores derivados desaparecen en los objetos de la resolución.
Por ejemplo, dado un módulo R M , el producto tensorial es un functor exacto correcto Mod ( R ) → Mod ( R ). Cada resolución plana es acíclica con respecto a este funtor. Una resolución plana es acíclica para el producto tensorial por cada M . De manera similar, las resoluciones que son acíclicas para todos los functores Hom (⋅, M ) son las resoluciones proyectivas y las que son acíclicas para los functores Hom ( M , ⋅) son las resoluciones inyectivas.
Cualquier resolución inyectiva (proyectiva) es F -acíclica para cualquier functor izquierdo exacto (derecho exacto, respectivamente).
La importancia de las resoluciones acíclicas radica en el hecho de que los functores derivados R i F (de un funtor exacto izquierdo, y también L i F de un functor exacto derecho) se pueden obtener como la homología de F- resoluciones acíclicas: dada una acíclica resoluciónde un objeto M , tenemos
donde el lado derecho es el i -ésimo objeto de homología del complejo
Esta situación se aplica en muchas situaciones. Por ejemplo, para la gavilla constante R en un colector diferenciable M puede resolverse mediante las poleasde formas diferenciales suaves :
Las gavillas son poleas finas , que se sabe que son acíclicas con respecto al functor de sección global. Por lo tanto, la cohomología de la gavilla , que es el funtor derivado del funtor de sección global Γ se calcula como
De manera similar, las resoluciones de Godement son acíclicas con respecto al functor de secciones globales.
Ver también
- Resolución estándar
- Teorema de Hilbert-Burch
- Teorema de la sicigia de Hilbert
- Presentacion libre
Notas
- ↑ Jacobson 2009 , §6.5 usa coresolución , aunque la resolución correcta es más común, como en Weibel 1994 , Cap. 2
- ^ resolución proyectiva en nLab , resolución en nLab
- ↑ Jacobson 2009 , §6.5
Referencias
- Iain T. Adamson (1972), Anillos y módulos elementales , Textos matemáticos universitarios, Oliver y Boyd, ISBN 0-05-002192-3
- Eisenbud, David (1995), álgebra conmutativa. Con miras a la geometría algebraica , Textos de posgrado en matemáticas , 150 , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 3-540-94268-8, MR 1322960 , Zbl 0.819,13001
- Jacobson, Nathan (2009) [1985], Álgebra básica II (Segunda ed.), Publicaciones de Dover, ISBN 978-0-486-47187-7
- Lang, Serge (1993), Álgebra (Tercera ed.), Reading, Mass .: Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-55540-0, Zbl 0848.13001
- Weibel, Charles A. (1994). Introducción al álgebra homológica . Estudios de Cambridge en Matemáticas Avanzadas. 38 . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-55987-4. Señor 1269324 . OCLC 36131259 .