En matemáticas , especialmente en el área del álgebra abstracta conocida como teoría de módulos , un módulo inyectivo es un módulo Q que comparte ciertas propiedades deseables con el módulo Z Q de todos los números racionales . Específicamente, si Q es un submódulo de algún otro módulo, entonces ya es un sumando directo de ese módulo; Además, dado un submódulo de un módulo Y , entonces cualquier homomorfismo de módulo de este submódulo a Q puede extenderse a un homomorfismo de todo Ya Q . Este concepto es dual al de los módulos proyectivos . Los módulos inyectivos se introdujeron en ( Baer 1940 ) y se discuten con cierto detalle en el libro de texto ( Lam 1999 , §3).
Los módulos inyectivos han sido muy estudiados, y una variedad de nociones adicionales se definen en términos de ellos: Los cogeneradores inyectivos son módulos inyectivos que representan fielmente toda la categoría de módulos. Las resoluciones inyectivas miden qué tan lejos de inyectable está un módulo en términos de la dimensión inyectiva y representan módulos en la categoría derivada . Los cascos inyectables son extensiones esenciales máximas y resultan ser extensiones inyectables mínimas. Sobre un anillo noetheriano , cada módulo inyectivo es únicamente una suma directa de módulos indecomponibles , y su estructura se comprende bien. Un módulo inyectivo sobre un anillo puede no ser inyectable sobre otro, pero existen métodos bien entendidos para cambiar anillos que manejan casos especiales. Los anillos que son en sí mismos módulos inyectivos tienen una serie de propiedades interesantes e incluyen anillos como anillos de grupo de grupos finitos sobre campos . Los módulos inyectivos incluyen grupos divisibles y están generalizados por la noción de objetos inyectivos en la teoría de categorías .
Definición
Un módulo izquierdo Q sobre el anillo R es inyectivo si satisface una (y por lo tanto todas) de las siguientes condiciones equivalentes:
- Si Q es un submódulo de algún otro R -módulo M de la izquierda , entonces existe otro submódulo K de M tal que M es la suma directa interna de Q y K , es decir, Q + K = M y Q ∩ K = {0}.
- Cualquier secuencia corta y exacta 0 → Q → M → K → 0 de los módulos R izquierdos se divide .
- Si X e Y son módulos R izquierdos, f : X → Y es un homomorfismo de módulo inyectivo y g : X → Q es un homomorfismo de módulo arbitrario, entonces existe un homomorfismo de módulo h : Y → Q tal que hf = g , es decir tal que el siguiente diagrama conmuta :
- El functor Hom contravariante Hom (-, Q ) de la categoría de módulos R izquierdos a la categoría de grupos abelianos es exacto .
Los módulos R inyectivos derechos se definen en completa analogía.
Ejemplos de
Primeros ejemplos
Trivialmente, el módulo cero {0} es inyectivo.
Dado un campo k , cada k - espacio vectorial Q es un k - módulo inyectivo . Motivo: si Q es un subespacio de V , podemos encontrar una base de Q y extenderlo a una base de V . Los nuevos vectores de la base que se extienden abarcan un subespacio K de V y V es la suma directa interna de Q y K . Tenga en cuenta que el complemento directo K de Q no está determinado de forma única por Q y, de la misma forma, el mapa de extensión h en la definición anterior no suele ser único.
Los racionales Q (con adición) forman un grupo abeliano inyectivo (es decir, un módulo Z inyectivo ). El grupo de factores Q / Z y el grupo circular también son módulos Z inyectivos . El grupo de factores Z / n Z para n > 1 es inyectivo como un módulo Z / n Z , pero no inyectivo como un grupo abeliano.
Ejemplos conmutativos
Más en general, para cualquier dominio de integridad R con el campo de las fracciones K , el R -módulo K es un inyectiva R -módulo, y de hecho la más pequeña inyectiva R -módulo que contiene R . Para cualquier dominio de Dedekind , el módulo de cociente K / R también es inyectivo, y sus sumandos indecomponibles son las localizaciones para los ideales primos distintos de cero . La ideales cero también es primo y corresponde a la inyectiva K . De esta manera hay una correspondencia 1-1 entre ideales primos y módulos inyectivos indecomponibles.
Una teoría particularmente rica está disponible para anillos noetherianos conmutativos debido a Eben Matlis , ( Lam 1999 , §3I). Cada módulo inyectivo es únicamente una suma directa de módulos inyectables indecomponibles, y los módulos inyectables indecomponibles se identifican de manera única como los cascos inyectivos de los cocientes R / P donde P varía sobre el espectro principal del anillo. El casco inyectiva de R / P como un R -módulo es canónicamente un R P módulo, y es el R P casco -injective de R / P . En otras palabras, basta con considerar los anillos locales . El anillo de endomorfismo del casco inyectivo de R / P es la terminación de R a P . [1]
Dos ejemplos son el casco inyectiva de la Z -módulo Z / p Z (el grupo Prüfer ), y el casco inyectiva de la k [ x ] -module k (el anillo de polinomios inversos). Este último se describe fácilmente como k [ x , x −1 ] / xk [ x ]. Este módulo tiene una base que consta de "monomios inversos", es decir x - n para n = 0, 1, 2,…. La multiplicación por escalares es la esperada y la multiplicación por x se comporta normalmente, excepto que x · 1 = 0. El anillo de endomorfismo es simplemente el anillo de una serie de potencias formales .
Ejemplos artinianos
Si G es un grupo finito y k un campo con característica 0, entonces uno muestra en la teoría de representaciones de grupo que cualquier subrepresentación de un uno dado ya es un sumando directo de la dada. Traducido al lenguaje de módulos, esto significa que todos los módulos sobre el álgebra de grupo kG son inyectivos. Si la característica de k no es cero, el siguiente ejemplo puede ayudar.
Si A es un álgebra asociativa unital sobre el campo k con dimensión finita sobre k , entonces Hom k (-, k ) es una dualidad entre los módulos A izquierdos generados finitamente y los módulos A derechos generados finitamente . Por lo tanto, la izquierda inyectivos finitamente generados A -modules son precisamente los módulos de la forma Hom k ( P , k ), donde P es un derecho proyectivo finito A -módulo. Para las álgebras simétricas , la dualidad se comporta particularmente bien y los módulos proyectivos y los módulos inyectivos coinciden.
Para cualquier anillo artiniano , al igual que para los anillos conmutativos , existe una correspondencia 1-1 entre los ideales primarios y los módulos inyectivos indecomponibles. La correspondencia en este caso es quizás incluso más simple: un ideal primo es un aniquilador de un módulo simple único, y el módulo inyectivo indecomponible correspondiente es su casco inyectivo . Para álgebras de dimensión finita sobre campos, estos cascos inyectivos son módulos generados finitamente ( Lam 1999 , §3G, §3J).
Computación de cascos inyectivos
Si es un anillo noetheriano y es un ideal primordial, establece como el casco inyectivo. El casco inyectivo de sobre el anillo artiniano se puede calcular como el módulo . Es un módulo de la misma longitud que. [2] En particular, para el anillo graduado estándar y , es un módulo inyectivo, que proporciona las herramientas para calcular los módulos inyectables indecomponibles para anillos artinianos sobre .
Autoinyección
Un anillo local de Artin es inyectable sobre sí mismo si y solo si es un espacio vectorial unidimensional sobre . Esto implica que cada anillo de Gorenstein local que también es Artin es inyectable sobre sí mismo ya que tiene un zócalo unidimensional. [3] Un simple no ejemplo es el anillo. que tiene un ideal máximo y campo de residuos . Es socle es, que es bidimensional. El campo de residuos tiene el casco inyectivo..
Módulos sobre álgebras de Lie
Para un álgebra de mentiras sobre un campo de característica 0, la categoría de módulos tiene una descripción relativamente sencilla de sus módulos inyectivos. [4] Usando el álgebra envolvente universal cualquier inyectivo-módulo se puede construir a partir del -módulo
para algunos -espacio vectorial . Tenga en cuenta que este espacio vectorial tiene un-estructura del módulo de la inyección
De hecho, cada -módulo tiene una inyección en algunos y cada inyeccion -module es una suma directa de algunos .
Teoría
Teorema de estructura para anillos conmutativos de Noether
Sobre un anillo conmutativo noetheriano , cada módulo inyectivo es una suma directa de módulos inyectables indecomponibles y cada módulo inyectivo indecomponible es el casco inyectivo del campo de residuos en un primer . Es decir, para una inyeccion , hay un isomorfismo
dónde son los cascos inyectivos de los módulos . [5] Además, si es el casco inyectivo de algún módulo entonces el son los primos asociados de . [2]
Submódulos, cocientes, productos y sumas
Cualquier producto de (incluso infinitos) módulos inyectivos es inyectivo; a la inversa, si un producto directo de módulos es inyectivo, entonces cada módulo es inyectivo ( Lam 1999 , p. 61). Cada suma directa de un número finito de módulos inyectivos es inyectiva. En general, los submódulos, módulos de factores o sumas directas infinitas de módulos inyectivos no necesitan ser inyectables. Cada submódulo de cada módulo inyectivo es inyectivo si y sólo si el anillo es artiniano semisimple ( Golan & Head 1991 , p. 152); cada módulo de factor de cada módulo inyectivo es inyectivo si y sólo si el anillo es hereditario ( Lam 1999 , Th. 3.22); toda suma directa infinita de módulos inyectivos es inyectiva si y sólo si el anillo es noetheriano ( Lam 1999 , Th 3.46). [6]
Criterio de Baer
En el artículo original de Baer, demostró un resultado útil, generalmente conocido como Criterio de Baer, para verificar si un módulo es inyectivo: un módulo R izquierdo Q es inyectivo si y solo si cualquier homomorfismo g : I → Q definido en un ideal izquierdo I de R puede ser extendida a todos los R .
Usando este criterio, se puede demostrar que Q es un grupo abeliano inyectivo (es decir, un módulo inyectivo sobre Z ). De manera más general, un grupo abeliano es inyectivo si y solo si es divisible . Más generalmente aún: un módulo sobre un dominio ideal principal es inyectivo si y solo si es divisible (el caso de los espacios vectoriales es un ejemplo de este teorema, ya que cada campo es un dominio ideal principal y cada espacio vectorial es divisible). Sobre un dominio integral general, todavía tenemos una implicación: cada módulo inyectivo sobre un dominio integral es divisible.
El criterio de Baer se ha refinado de muchas maneras ( Golan & Head 1991 , p. 119), incluido el resultado de ( Smith 1981 ) y ( Vamos 1983 )
que para un anillo noetheriano conmutativo, es suficiente considerar sólo los ideales primos I . El criterio dual de Baer, que daría una prueba de proyectividad, es falso en general. Por ejemplo, el módulo Z Q satisface el criterio dual de Baer pero no es proyectivo.Cogeneradores inyectables
Tal vez el módulo más importante es inyectiva el grupo abeliano Q / Z . Es un cogenerador inyectiva en la categoría de los grupos abelianos , lo que significa que es inyectiva y cualquier otro módulo está contenida en un producto adecuadamente grande de copias de Q / Z . Entonces, en particular, cada grupo abeliano es un subgrupo de uno inyectivo. Es bastante significativo que esto también sea cierto en cualquier anillo: cada módulo es un submódulo de uno inyectivo, o "la categoría de módulos R izquierdos tiene suficientes inyectores". Para probar esto, se utilizan las propiedades peculiares del grupo abeliano Q / Z para construir un cogenerador inyectivo en la categoría de módulos R izquierdos.
Para un módulo R izquierdo M , el llamado "módulo de caracteres" M + = Hom Z ( M , Q / Z ) es un módulo R derecho que exhibe una dualidad interesante, no entre módulos inyectivos y módulos proyectivos , sino entre módulos inyectivos y módulos planos ( Enochs y Jenda 2001 , págs. 78–80)
. Para cualquier anillo R , un módulo R izquierdo es plano si y solo si su módulo de caracteres es inyectivo. Si R se deja noetheriano, entonces un módulo R izquierdo es inyectivo si y solo si su módulo de caracteres es plano.Cascos inyectables
El casco inyectivo de un módulo es el módulo inyectivo más pequeño que contiene el dado y fue descrito en ( Eckmann & Shopf 1953 )
.Se pueden usar cascos inyectivos para definir una resolución inyectiva mínima (ver más abajo). Si cada término de la resolución inyectiva es el casco inyectivo del cokernel del mapa anterior, entonces la resolución inyectiva tiene una longitud mínima.
Resoluciones inyectivas
Cada módulo M también tiene una resolución inyectiva : una secuencia exacta de la forma
- 0 → M → I 0 → I 1 → I 2 → ...
donde los I j son módulos inyectivos. Las resoluciones inyectivas se pueden utilizar para definir functores derivados como el functor Ext .
La longitud de una resolución inyectiva finita es el primer índice n tal que I n es distinto de cero e I i = 0 para i mayor que n . Si un módulo M admite una resolución inyectiva finita, la longitud mínima entre todas las resoluciones inyectables finitas de M se denomina dimensión inyectiva y se denota id ( M ). Si M no admite una resolución inyectiva finita, entonces por convención se dice que la dimensión inyectiva es infinita. ( Lam 1999 , §5C) Como ejemplo, considere un módulo M tal que id ( M ) = 0. En esta situación, la exactitud de la secuencia 0 → M → I 0 → 0 indica que la flecha en el centro es una isomorfismo y, por tanto, M mismo es inyectivo. [7]
De manera equivalente, la dimensión inyectiva de M es el número entero mínimo (si lo hay, de lo contrario ∞) n tal que ExtN
A(-, M ) = 0 para todo N > n .
Indecomponibles
Cada sub-módulo inyectivo de un módulo inyectivo es un sumando directo, por lo que es importante entender indescomponibles módulo inyectivo, ( Lam 1999 , §3F).
Cada módulo inyectivo indecomponible tiene un anillo de endomorfismo local . Un módulo se denomina módulo uniforme si cada dos submódulos distintos de cero tienen una intersección distinta de cero. Para un módulo inyectivo M, los siguientes son equivalentes:
- M es indescomponible
- M es distinto de cero y es el casco inyectivo de cada submódulo distinto de cero
- M es uniforme
- M es el casco inyectivo de un módulo uniforme
- M es el casco inyectivo de un módulo cíclico uniforme
- M tiene un anillo de endomorfismo local
Sobre un anillo noetheriano, cada módulo inyectivo es la suma directa de módulos inyectables indecomponibles (determinados de forma única). Sobre un anillo conmutativo noetheriano, esto proporciona una comprensión particularmente agradable de todos los módulos inyectivos, descritos en ( Matlis 1958 ). Los módulos inyectivos indescomponibles son los cascos inyectivos de los módulos de R / p para p un ideal primo del anillo R . Además, el casco inyectivo M de R / p tiene una filtración creciente por módulos M n dados por los aniquiladores de los ideales p n , y M n +1 / M n es isomorfo como espacio vectorial de dimensión finita sobre el campo cociente k ( p ) de R / p a Hom R / p ( p n / p n +1 , k ( p )).
Cambio de anillos
Es importante poder considerar módulos sobre subanillos o anillos de cociente , especialmente, por ejemplo , anillos polinomiales . En general, esto es difícil, pero se conocen varios resultados ( Lam 1999 , p. 62).
Deje que S y R sean anillos, y P sea un bimódulo left- R , right- S que es plano como un módulo left- R. Para cualquier módulo S derecho inyectivo M , el conjunto de homomorfismos de módulo Hom S ( P , M ) es un módulo R derecho inyectivo . Por ejemplo, si R es un subanillo de S tal que S es un módulo R plano , entonces cada módulo S inyectivo es un módulo R inyectivo . En particular, si R es un dominio integral y S su campo de fracciones , entonces cada espacio vectorial sobre S es un módulo R inyectivo . De manera similar, cada módulo inyectivo R [ x ] es un módulo R inyectivo .
Para los anillos de cociente R / I , el cambio de anillos también es muy claro. Un R -módulo es un R / I -módulo precisamente cuando es aniquilado por I . El submódulo ann I ( M ) = { m en M : im = 0 para todo i en I } es un submódulo izquierdo del módulo R izquierdo M , y es el submódulo más grande de M que es un módulo R / I. Si M es un módulo R inyectivo izquierdo , entonces ann I ( M ) es un módulo R / I inyectivo izquierdo . Al aplicar esto a R = Z , I = n Z y M = Q / Z , se obtiene el hecho familiar de que Z / n Z es inyectivo como un módulo sobre sí mismo. Si bien es fácil convertir los módulos R inyectivos en módulos R / I inyectables, este proceso no convierte las soluciones R inyectables en soluciones R / I inyectables, y la homología del complejo resultante es una de las áreas iniciales y fundamentales de estudio de álgebra homológica relativa.
El libro de texto ( Rotman 1979 , p. 103) tiene una prueba errónea de que la localización conserva los inyectivos, pero se dio un contraejemplo en ( Dade 1981 ).
Anillos autoinyectables
Todo anillo con unidad es un módulo libre y, por tanto, es proyectivo como módulo sobre sí mismo, pero es más raro que un anillo sea inyectivo como módulo sobre sí mismo ( Lam 1999 , §3B). Si un anillo es inyectable sobre sí mismo como un módulo derecho, entonces se llama anillo autoinyectivo derecho . Cada álgebra de Frobenius es autoinyectiva, pero ningún dominio integral que no sea un campo es autoinyectivo. Cada cociente adecuado de un dominio de Dedekind es autoinyectivo.
Un anillo derecho autoinyectivo derecho noetheriano se llama anillo cuasi-Frobenius , y es artiniano de dos caras e inyectivo de dos caras ( Lam 1999 , Th. 15.1). Una propiedad teórica de módulo importante de los anillos cuasi-Frobenius es que los módulos proyectivos son exactamente los módulos inyectivos.
Generalizaciones y especializaciones
Objetos inyectivos
También se habla de objetos inyectivos en categorías más generales que las categorías de módulos, por ejemplo, en categorías functor o en categorías de poleas de O X -modules sobre algunos anillado espacio ( X , O X ). Se utiliza la siguiente definición general: un objeto Q de la categoría C es inyectivo si para cualquier monomorfismo f : X → Y en C y cualquier morfismo g : X → Q existe un morfismo h : Y → Q con hf = g .
Grupos divisibles
La noción de objeto inyectivo en la categoría de grupos abelianos se estudió de forma algo independiente de los módulos inyectivos bajo el término grupo divisible . Aquí un módulo Z M es inyectivo si y solo si n ⋅ M = M para cada entero n distinto de cero . Aquí las relaciones entre módulos planos , submódulos puros y módulos inyectivos son más claras, ya que simplemente se refiere a ciertas propiedades de divisibilidad de los elementos del módulo por enteros.
Inyectables puros
En álgebra de homología relativa, la propiedad de extensión de los homomorfismos puede ser necesaria solo para ciertos submódulos, en lugar de para todos. Por ejemplo, un módulo inyectivo puro es un módulo en el que un homomorfismo de un submódulo puro puede extenderse a todo el módulo.
Referencias
Notas
- ^ "Lema 47.7.5 (08Z6) —El proyecto Stacks" . stacks.math.columbia.edu . Consultado el 25 de febrero de 2020 .
- ^ a b Eisenbud. Introducción al álgebra conmutativa . págs. 624, 625.
- ^ "Módulos inyectables" (PDF) . pag. 10.
- ^ Vogan, David. "Cohomología de álgebra de mentira" (PDF) .
- ^ "Estructura de módulos inyectivos sobre anillos noetherianos" .
- ^ Este es elteorema de Bass- Papp, ver ( Papp 1959 ) y ( Chase 1960 )
- ^ Un módulo isomorfo a un módulo inyectivo es, por supuesto, inyectivo.
Libros de texto
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- Enochs, Edgar E .; Jenda, Overtoun MG (2000), Álgebra homológica relativa , Exposiciones de Gruyter en matemáticas, 30 , Berlín: Walter de Gruyter & Co., doi : 10.1515 / 9783110803662 , ISBN 978-3-11-016633-0, Señor 1753146
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- Lam, Tsit-Yuen (1999), Conferencias sobre módulos y anillos , Textos de posgrado en matemáticas No. 189, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi : 10.1007 / 978-1-4612-0525-8 , ISBN 978-0-387-98428-5, MR 1653294
- Rotman, Joseph J. (1979), Una introducción al álgebra homológica , Matemáticas puras y aplicadas, 85 , Boston, MA: Academic Press , ISBN 978-0-12-599250-3, MR 0538169
Fuentes primarias
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