En matemáticas, un punto de Misiurewicz es un parámetro en el conjunto de Mandelbrot (el espacio de parámetros de polinomios cuadráticos) para el cual el punto crítico es estrictamente preperiódico (es decir, se vuelve periódico después de un número finito de iteraciones pero no es periódico en sí mismo). Por analogía, el término punto Misiurewicz también se usa para parámetros en un conjunto multibrot donde el punto crítico único es estrictamente preperiódico. (Este término tiene menos sentido para mapas de mayor generalidad que tienen más de un punto crítico (libre) porque algunos puntos críticos pueden ser periódicos y otros no).
Notación matemática
Un parámetro es un punto de Misiurewicz si satisface las ecuaciones
y
entonces :
dónde :
- es un punto crítico de,
- y son números enteros positivos,
- denota el -ésima iteración de .
Nombre
Los puntos Misiurewicz llevan el nombre del matemático polaco-estadounidense Michał Misiurewicz . [1]
Tenga en cuenta que el término "punto Misiurewicz" se usa de manera ambigua: Misiurewicz originalmente investigó mapas en los que todos los puntos críticos eran no recurrentes (es decir, hay una vecindad de cada punto crítico que no es visitado por la órbita de este punto crítico), y este significado está firmemente establecido en el contexto de la dinámica de mapas de intervalos iterados. [2] El caso de que para un polinomio cuadrático el único punto crítico sea estrictamente preperiódico es sólo un caso muy especial; en este sentido restringido (como se describió anteriormente) este término se usa en dinámicas complejas; un término más apropiado sería puntos Misiurewicz-Thurston (después de William Thurston , quien investigó mapas racionales poscríticamente finitos).
Mapas cuadráticos
Un polinomio cuadrático complejo tiene solo un punto crítico. Mediante una conjugación adecuada, cualquier polinomio cuadrático se puede transformar en un mapa de la forma que tiene un solo punto crítico en . Los puntos Misiurewicz de esta familia de mapas son raíces de las ecuaciones
- ,
(sujeto a la condición de que el punto crítico no sea periódico), donde:
- k es el pre-período
- n es el período
- denota la composición n- veces deconsigo mismo, es decir, la n- ésima iteración de.
Por ejemplo, los puntos Misiurewicz con k = 2 yn = 1, denotados por M 2,1 , son raíces de
- .
La raíz c = 0 no es un punto de Misiurewicz porque el punto crítico es un punto fijo cuando c = 0, por lo que es periódico en lugar de pre-periódico. Esto deja un único punto de Misiurewicz M 2,1 en c = −2.
Propiedades de los puntos Misiurewicz de mapeo cuadrático complejo
Los puntos Misiurewicz pertenecen al límite del conjunto de Mandelbrot . Los puntos Misiurewicz son densos en el límite del conjunto de Mandelbrot . [3] [4]
Si es un punto Misiurewicz, entonces el conjunto de Julia relleno asociado es igual al conjunto de Julia , y significa que el conjunto de Julia relleno no tiene interior .
Si es un punto Misiurewicz, entonces en el correspondiente conjunto de Julia todos los ciclos periódicos son repelentes (en particular, el ciclo en el que cae la órbita crítica).
El set de Mandelbrot y el set de Julia son localmente asintóticamente auto-similares alrededor de los puntos Misiurewicz. [5]
Tipos
Los puntos Misiurewicz se pueden clasificar según el número de rayos externos que caen sobre ellos:, [3] puntos donde las ramas se encuentran
- puntos de ramificación (= puntos que desconectan el conjunto de Mandelbrot en al menos tres componentes) con 3 o más argumentos externos (ángulos)
- puntos no ramificados con exactamente 2 argumentos externos (= puntos interiores de arcos dentro del conjunto de Mandelbrot): estos puntos son menos llamativos y, por lo tanto, no son tan fáciles de encontrar en las imágenes.
- puntos finales con 1 argumento externo (consejos de rama)
Según el Teorema de la rama del conjunto de Mandelbrot, [4] todos los puntos de rama del conjunto de Mandelbrot son puntos Misiurewicz (más, en un sentido combinatorio, componentes hiperbólicos representados por sus centros). [3] [4]
Muchos (en realidad, la mayoría) de los parámetros de Misiurewicz en el conjunto de Mandelbrot parecen "centros de espirales". [6] La explicación de esto es la siguiente: en un parámetro de Misiurewicz, el valor crítico salta a un ciclo periódico repelente después de un número finito de iteraciones; en cada punto del ciclo, el conjunto de Julia es asintóticamente auto-similar por una multiplicación compleja por la derivada de este ciclo. Si la derivada no es real, esto implica que el conjunto de Julia, cerca del ciclo periódico, tiene una estructura en espiral. Una estructura espiral similar ocurre así en el conjunto de Julia cerca del valor crítico y, por el teorema mencionado anteriormente de Tan Lei , también en el conjunto de Mandelbrot cerca de cualquier parámetro de Misiurewicz para el cual la órbita repelente tiene un multiplicador no real. Dependiendo del valor del multiplicador, la forma de espiral puede parecer más o menos pronunciada. El número de brazos en la espiral es igual al número de ramas en el parámetro Misiurewicz, y esto es igual al número de ramas en el valor crítico en el conjunto de Julia. (Incluso el `punto principal de Misiurewicz en el 1/3 de la rama ', al final de los rayos del parámetro en los ángulos 9/56, 11/56 y 15/56, resulta ser asintóticamente una espiral, con infinitas vueltas , aunque esto es difícil de ver sin aumento).
Argumentos externos
Los argumentos externos de los puntos Misiurewicz, medidos por turnos, son:
- numeros racionales
- fracción propia con denominador par
- fracciones diádicas con denominadory expansión finita ( terminante ), como:
- fracción con denominador y expansión repetida como:
- . [7]
donde: ayb son números enteros positivos y b es impar, el número de subíndice muestra la base del sistema numérico .
Ejemplos de puntos Misiurewicz de mapeo cuadrático complejo
Puntos finales
Punto :
- es una punta del filamento [8]
- Sus órbitas críticas es [9]
- punto de aterrizaje del rayo externo para el ángulo = 1/6
Punto
- es el punto final de la antena principal del conjunto de Mandelbrot [10]
- Sus órbitas críticas es [9]
- Secuencia simbólica = CLRRR ...
- el preperíodo es 2 y el período 1
Observe que es el plano z (plano dinámico ), no el plano c ( plano de parámetros ) y el punto no es el mismo punto que .
Punto es el punto de aterrizaje de un solo rayo externo (rayo de parámetro) de ángulo 1/2.
Puntos no ramificados
Punto está cerca de un punto Misiurewicz . Es
- un centro de una espiral de dos brazos
- un punto de aterrizaje de 2 rayos externos con ángulos: y donde el denominador es
- punto preperiódico con preperíodo y período
Punto está cerca de un punto Misiurewicz ,
- que es el punto de aterrizaje para un par de rayos: ,
- tiene preperiodo y período
Puntos de ramificación
Punto
- es un punto Misiurewicz principal de la extremidad 1/3
- tiene 3 rayos externos : 9/56, 11/56 y 15/56.
Ver también
- Dinámica aritmética
- Punto Feigenbaum
- Dendrita (matemáticas)
Referencias
- ^ Página de inicio de Michał Misiurewicz , Indiana University-Purdue University Indianapolis
- ^ Wellington de Melo, Sebastian van Strien, "Dinámica unidimensional". Monografía, Springer Verlag (1991)
- ^ a b c Adrien Douady, John Hubbard, "Etude dynamique des polynômes complexes", prépublications mathématiques d'Orsay, 1982/1984
- ^ a b c Dierk Schleicher, "Sobre fibras y conectividad local de conjuntos de Mandelbrot y Multibrot", en: M. Lapidus, M. van Frankenhuysen (eds): Geometría fractal y aplicaciones: un jubileo de Benoît Mandelbrot. Proceedings of Symposia in Pure Mathematics 72, American Mathematical Society (2004), 477–507 o documento en línea de arXiv.org
- ^ Lei.pdf Tan Lei , "Similitud entre el conjunto de Mandelbrot y los conjuntos de Julia", Comunicaciones en Física Matemática 134 (1990), págs. 587-617.
- ^ El límite del conjunto de Mandelbrot Archivado el 28 de marzo de 2003 en la Wayback Machine por Michael Frame, Benoit Mandelbrot y Nial Neger
- ^ Números decimales binarios y números decimales distintos de la base diez por Thomas Kim-wai Yeung y Eric Kin-keung Poon
- ^ Punta de los filamentos por Robert P. Munafo
- ^ a b Puntos preperiódicos (Misiurewicz) en el Mandelbrot se por Evgeny Demidov
- ^ punta de las antenas principales por Robert P. Munafo
Otras lecturas
- Michał Misiurewicz (1981), "Medidas absolutamente continuas para ciertos mapas de un intervalo" . Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS, 53 (1981), p. 17-51
enlaces externos
- Puntos preperiódicos (Misiurewicz) en el set de Mandelbrot de Evgeny Demidov
- M & J-establece similitud para puntos preperiódicos. El teorema de Lei por Douglas C. Ravenel
- Punto Misiurewicz del mapa logístico de JC Sprott