En geometría proyectiva y álgebra lineal , el grupo ortogonal proyectivo PO es la acción inducida del grupo ortogonal de un espacio cuadrático V = ( V , Q ) [nota 1] sobre el espacio proyectivo asociado P ( V ). Explícitamente, el grupo ortogonal proyectivo es el grupo cociente
- PO ( V ) = O ( V ) / ZO ( V ) = O ( V ) / {± I }
donde O ( V ) es el grupo ortogonal de ( V ) y ZO ( V ) = {± I } es el subgrupo de todas las transformaciones escalares ortogonales de V , que consisten en la identidad y la reflexión a través del origen . Estos escalares están coorientados porque actúan trivialmente sobre el espacio proyectivo y forman el núcleo de la acción, y la notación "Z" se debe a que las transformaciones escalares son el centro del grupo ortogonal.
El grupo ortogonal especial proyectivo , PSO, se define de forma análoga, como la acción inducida del grupo ortogonal especial sobre el espacio proyectivo asociado. Explícitamente:
- PSO ( V ) = SO ( V ) / ZSO ( V )
donde SO ( V ) es el grupo ortogonal especial sobre V y ZSO ( V ) es el subgrupo de transformaciones escalares ortogonales con determinante unitario . Aquí ZSO es el centro de SO, y es trivial en la dimensión impar, mientras que es igual a {± 1} en la dimensión par; esta distinción impar / par ocurre en toda la estructura de los grupos ortogonales. Por analogía con GL / SL y GO / SO, el grupo ortogonal proyectivo también se denomina a veces grupo ortogonal general proyectivo y se denota como PGO.
Como el grupo ortogonal, el grupo ortogonal proyectivo se puede definir sobre cualquier campo y con formas cuadráticas variadas, aunque, como con el grupo ortogonal ordinario, el énfasis principal está en el grupo ortogonal proyectivo definido positivo real ; otros campos se elaboran en generalizaciones , a continuación. Salvo que se indique lo contrario, en la secuela PO y PSO se referirán a los grupos definidos positivos reales.
Al igual que los grupos de espín y los grupos de clavijas , que son cubiertas en lugar de cocientes de los grupos ortogonales (especiales), los grupos ortogonales proyectivos (especiales) son de interés para los análogos geométricos (proyectivos) de la geometría euclidiana, como grupos de Lie relacionados y en representación. teoría .
Más intrínsecamente, el grupo ortogonal proyectivo (definido positivo real) PO se puede definir como las isometrías del espacio proyectivo real , mientras que PSO se puede definir como las isometrías que preservan la orientación del espacio proyectivo real (cuando el espacio es orientable; de lo contrario, PSO = PO ).
Estructura
Dimensiones pares e impares
La estructura de PO difiere significativamente entre la dimensión impar y la par, fundamentalmente porque en la dimensión par, la reflexión a través del origen conserva la orientación, mientras que en la dimensión impar se invierte la orientación ( pero ). Esto se ve en el hecho de que cada espacio proyectivo real de dimensión impar es orientable, mientras que cada espacio proyectivo real de dimensión par de dimensión positiva es no orientable. En un nivel más abstracto, las álgebras de Lie de grupos ortogonales proyectivos de dimensiones pares e impares forman dos familias diferentes:
Por lo tanto, [nota 2] mientrasy es en cambio una extensión central no trivial de PO (2 k ).
Tenga en cuenta que PO (2 k +1) son isometrías demientras que PO (2 k ) es isometrías de - el grupo de dimensión impar (vector) son isometrías de espacio proyectivo de dimensión par, mientras que el grupo de dimensión par (vector) son isometrías de espacio proyectivo de dimensión impar.
En una dimensión extraña, [nota 3] para que el grupo de isometrías proyectivas pueda identificarse con el grupo de isometrías rotacionales.
En dimensión par, SO (2 k ) → PSO (2 k ) y O (2 k ) → PO (2 k ) son coberturas 2 a 1, y PSO (2 k )
Propiedades generales
PSO y PO no tienen centros , como con PSL y PGL; esto se debe a que las matrices escalares no solo son el centro de SO y O, sino también el hipercentro (el cociente por el centro no siempre produce un grupo sin centros).
PSO es el subgrupo compacto máximo en el grupo lineal especial proyectivo PSL, mientras que PO es compacto máximo en el grupo lineal general proyectivo PGL. Esto es análogo a que SO sea compacta máxima en SL y O sea compacta máxima en GL.
Teoría de la representación
PO es de interés básico en la teoría de la representación: un homomorfismo de grupo G → PGL se llama representación proyectiva de G, al igual que un mapa G → GL se llama representación lineal de G, y al igual que cualquier representación lineal se puede reducir a un mapa G → O (tomando un producto interno invariante), cualquier representación proyectiva se puede reducir a un mapa G → PO.
Ver grupo lineal proyectivo: teoría de la representación para una discusión más detallada.
Subgrupos
Los subgrupos del grupo ortogonal proyectivo corresponden a subgrupos del grupo ortogonal que contienen (que tienen simetría central ). Como siempre con un mapa de cocientes (por el teorema de la celosía ), hay una conexión de Galois entre los subgrupos de O y PO, donde el adjunto en O (dado al tomar la imagen en PO y luego la preimagen en O) simplemente agrega si está ausente.
De particular interés son los subgrupos discretos, que se pueden realizar como simetrías de politopos proyectivos , que corresponden a los grupos de puntos (discretos) que incluyen la simetría central. Compare con subgrupos discretos del grupo Spin , particularmente el caso tridimensional de grupos poliédricos binarios .
Por ejemplo, en 3 dimensiones, 4 de los 5 sólidos platónicos tienen simetría central (cubo / octaedro, dodecaedro / icosaedro), mientras que el tetraedro no; sin embargo, el octaedro estrellado tiene simetría central, aunque el grupo de simetría resultante es el mismo que el del cubo / octaedro.
Topología
PO y PSO, como grupos topológicos sin centros, están en la parte inferior de una secuencia de grupos de cobertura , cuya parte superior son los grupos Pin ( simplemente conectados ) o el grupo Spin , respectivamente:
- Pin ± ( n ) → O ( n ) → PO ( n ).
- Gire ( n ) → SO ( n ) → PSO ( n ).
Todos estos grupos son formas reales compactas del mismo álgebra de Lie.
Todas estas son coberturas 2 a 1, excepto SO (2 k +1) → PSO (2 k +1) que es 1 a 1 (un isomorfismo).
Grupos de homotopía
Grupos de homotopía arribano cambien debajo de las cubiertas, por lo que concuerdan con las del grupo ortogonal. Los grupos de homotopía inferiores se dan como sigue.
El grupo fundamental de PSO ( n ) (sin centro) es igual al centro de Spin ( n ) (simplemente conectado ), que siempre es cierto acerca de los grupos de cobertura:
Utilizando la tabla de centros de los rendimientos de los grupos Spin (para):
En dimensiones reducidas:
- ya que el grupo es trivial.
- ya que es topológicamente un círculo, aunque tenga en cuenta que la preimagen de la identidad en Spin (2) es en cuanto a otros
Grupos de homología
manojos
Así como el grupo ortogonal es el grupo de estructura de paquetes vectoriales , el grupo ortogonal proyectivo es el grupo de estructura de paquetes proyectivos , y el espacio de clasificación correspondiente se denota BPO.
Generalizaciones
Al igual que con el grupo ortogonal, el grupo ortogonal proyectivo se puede generalizar de dos formas principales: cambiando el campo o cambiando la forma cuadrática. Aparte de los números reales, el interés principal está en números complejos o campos finitos, mientras que (sobre los reales) las formas cuadráticas también pueden ser formas indefinidas , y se denotan PO ( p , q ) por su firma.
El grupo ortogonal proyectivo complejo, PO ( n , C ) no debe confundirse con el grupo unitario proyectivo , PU ( n ): PO conserva una forma simétrica, mientras que PU conserva una forma hermitiana - PU son las simetrías del espacio proyectivo complejo (preservando la métrica Fubini-Study ).
En los campos de la característica 2 hay complicaciones añadidas: las formas cuadráticas y las formas bilineales simétricas ya no son equivalentes, y el determinante debe ser reemplazado por el invariante de Dickson .
Campos finitos
El grupo ortogonal proyectivo sobre un campo finito se utiliza en la construcción de una familia de grupos finitos simples de tipo Lie , a saber, los grupos de Chevalley de tipo D n . El grupo ortogonal sobre un campo finito, O ( n , q ) no es simple, ya que tiene SO como un subgrupo y un centro no trivial ({± I }) (por lo tanto, PO como cociente). Ambos se fijan pasando a PSO, pero PSO en sí no es simple en general, y en su lugar se debe usar un subgrupo (que puede ser de índice 1 o 2), definido por la norma de espinor (en característica impar) o el cuasideterminante ( en incluso característica). [1] El cuasideterminante se puede definir comodonde D es el invariante de Dickson (es el determinante definido por el invariante de Dickson), o en términos de la dimensión del espacio fijo.
Notas
- ^ Un espacio cuadrático es un espacio vectorial V junto con una forma cuadrática Q ; la Q se elimina de la notación cuando está clara.
- ^ Este producto es una suma directa interna , un producto de subgrupos, no solo una suma directa externa abstracta.
- ^ Ladistinción isomorfismo / igualdad en esta ecuación se debe a que el contexto es el mapa del cociente 2 a 1- \ operatorname {PSO} (2 k +1) y \ operatorname {PO} (2 k +1) son subconjuntos iguales del objetivo (es decir, todo el espacio), de ahí la igualdad, mientras que el mapa inducidoes un isomorfismo pero los dos grupos son subconjuntos de espacios diferentes, de ahí el isomorfismo en lugar de una igualdad. Véase ( Conway & Smith 2003 , p. 34 ) para ver un ejemplo de esta distinción.
Ver también
- Grupo lineal proyectivo
- Grupo unitario proyectivo
- Grupo ortogonal
- Grupo de giro
Referencias
- ^ ATLAS , pág. xi
- Conway, John Horton ; Smith, Derek Alan (2007-02-2003), "3.7 Los grupos proyectivos o elípticos", Sobre cuaterniones y octoniones , AK Peters, Ltd., págs. 34 , ISBN 978-1-56881-134-5
- Conway, JH; Curtis, RT; Norton, SP; Parker, RA; y Wilson, RA "Los grupos GO_n (q), SO_n (q), PGO_n (q) y PSO_n (q) y O_n (q)". §2.4 en Atlas de grupos finitos: subgrupos máximos y caracteres ordinarios para grupos simples. Oxford, Inglaterra: Clarendon Press, págs. Xi – xii, 1985.
enlaces externos
- Weisstein, Eric W. "Grupo ortogonal general proyectivo" . MathWorld .
- Weisstein, Eric W. "Grupo ortogonal especial proyectivo" . MathWorld .