La multiplicación (a menudo denotada por el símbolo de cruz × , por el operador de punto de la línea media ⋅ , por yuxtaposición , o, en computadoras , por un asterisco * ) es una de las cuatro operaciones matemáticas elementales de la aritmética , siendo las otras suma , resta y división . El resultado de una operación de multiplicación se llama producto .
La multiplicación de números enteros puede considerarse como una suma repetida ; es decir, la multiplicación de dos números equivale a sumar tantas copias de uno de ellos, el multiplicando , como la cantidad del otro, el multiplicador . Ambos números pueden denominarse factores .
Por ejemplo, 4 multiplicado por 3, a menudo escrito como y hablado como "3 por 4", se puede calcular sumando 3 copias de 4 juntas:
Aquí, 3 (el multiplicador ) y 4 (el multiplicando ) son los factores y 12 es el producto .
Una de las principales propiedades de la multiplicación es la propiedad conmutativa , que establece en este caso que sumar 3 copias de 4 da el mismo resultado que sumar 4 copias de 3:
Por tanto, la designación de multiplicador y multiplicando no afecta el resultado de la multiplicación. [1]
La multiplicación de números enteros (incluidos los números negativos), números racionales (fracciones) y números reales se define mediante una generalización sistemática de esta definición básica.
La multiplicación también se puede visualizar como contar objetos dispuestos en un rectángulo (para números enteros), o como encontrar el área de un rectángulo cuyos lados tienen determinadas longitudes . El área de un rectángulo no depende de qué lado se mida primero, una consecuencia de la propiedad conmutativa.
El producto de dos medidas es un nuevo tipo de medida. Por ejemplo, multiplicar las longitudes de los dos lados de un rectángulo da su área. Estos productos son objeto de análisis dimensional .
La operación inversa de la multiplicación es la división . Por ejemplo, dado que 4 multiplicado por 3 es igual a 12, 12 dividido por 3 es igual a 4. De hecho, la multiplicación por 3, seguida de la división por 3, da como resultado el número original. La división de un número distinto de 0 en sí mismo es igual a 1.
La multiplicación también se define para otros tipos de números, como números complejos y construcciones más abstractas como matrices . Para algunas de estas construcciones más abstractas, el orden en el que se multiplican los operandos es importante. En Producto (matemáticas) se ofrece una lista de los diferentes tipos de productos utilizados en matemáticas .
Notación y terminología
En aritmética , la multiplicación se suele escribir con el signo ""entre los términos (es decir, en notación infija ). [2] Por ejemplo,
- ("dos por tres es igual a seis")
El signo está codificado en Unicode en U + 00D7 × SIGNO DE MULTIPLICACIÓN (HTML ×
· ×
).
Hay otras notaciones matemáticas para la multiplicación:
- La multiplicación también se indica mediante signos de puntos, [3] generalmente un punto de posición media (rara vez punto ):
- 5 ⋅ 2 o 5. 3
- La notación de punto central, codificada en Unicode como U + 22C5 ⋅ OPERADOR DOT , es estándar en los Estados Unidos y otros países donde el punto se usa como punto decimal . Cuando no se puede acceder al carácter del operador de punto, se utilizael interpunto (·). En el Reino Unido e Irlanda, el punto / punto se usa para la multiplicación y el punto del medio se usa para el punto decimal, aunque es común el uso de un punto / punto para el punto decimal. En otros países que usan una coma como marca decimal, para la multiplicación se usa el punto o el punto del medio. [ cita requerida ]
- En álgebra , multiplicación implica las variables se escribe a menudo como una yuxtaposición (por ejemplo, xy para x veces Y o 5 x para cinco veces x ), también llamado multiplicación implícita . [4] La notación también se puede usar para cantidades que están entre paréntesis (por ejemplo, 5 (2) o (5) (2) para cinco veces dos). Este uso implícito de la multiplicación puede causar ambigüedad cuando las variables concatenadas coinciden con el nombre de otra variable, cuando el nombre de una variable delante de un paréntesis se puede confundir con el nombre de una función o en la determinación correcta del orden de las operaciones .
- En la multiplicación de vectores , hay una distinción entre los símbolos de cruz y punto. El símbolo de la cruz generalmente denota tomar un producto cruzado de dos vectores , dando como resultado un vector, mientras que el punto denota tomar el producto escalar de dos vectores, lo que da como resultado un escalar .
En programación de computadoras , el asterisco (como en 5*2
) sigue siendo la notación más común. Esto se debe al hecho de que, históricamente, la mayoría de las computadoras estaban limitadas a pequeños conjuntos de caracteres (como ASCII y EBCDIC ) que carecían de un signo de multiplicación (como ⋅
o ×
), mientras que el asterisco aparecía en todos los teclados. Este uso se originó en el lenguaje de programación FORTRAN .
Los números que se van a multiplicar se denominan generalmente " factores ". El número que se va a multiplicar es el "multiplicando" y el número por el que se multiplica es el "multiplicador". Por lo general, el multiplicador se coloca primero y el multiplicando se coloca en segundo lugar; [1] sin embargo, a veces el primer factor es el multiplicando y el segundo el multiplicador. [5] Además, como el resultado de una multiplicación no depende del orden de los factores, la distinción entre "multiplicando" y "multiplicador" es útil sólo en un nivel muy elemental y en algunos algoritmos de multiplicación , como la multiplicación larga . Por lo tanto, en algunas fuentes, el término "multiplicando" se considera sinónimo de "factor". [6] En álgebra, un número que es el multiplicador de una variable o expresión (por ejemplo, el 3 en 3 xy 2 ) se llama coeficiente .
El resultado de una multiplicación se llama producto . Un producto de números enteros es un múltiplo de cada factor. Por ejemplo, 15 es el producto de 3 y 5, y es tanto un múltiplo de 3 como un múltiplo de 5.
Cálculo
Los métodos comunes para multiplicar números usando lápiz y papel requieren una tabla de multiplicar de productos de números pequeños memorizados o consultados (típicamente dos números del 0 al 9), sin embargo, un método, el algoritmo de multiplicación campesina , no lo hace.
Multiplicar números a más de un par de lugares decimales a mano es tedioso y propenso a errores. Los logaritmos comunes se inventaron para simplificar dichos cálculos, ya que sumar logaritmos equivale a multiplicar. La regla de cálculo permitió que los números se multiplicaran rápidamente hasta aproximadamente tres lugares de precisión. A principios del siglo XX, las calculadoras mecánicas , como la Marchant , multiplicaron de forma automática números de hasta 10 dígitos. Las computadoras y calculadoras electrónicas modernas han reducido en gran medida la necesidad de multiplicar a mano.
Algoritmos históricos
Los métodos de multiplicación se documentaron en los escritos de las antiguas civilizaciones egipcia , griega , india y china .
El hueso de Ishango , que data de aproximadamente 18.000 a 20.000 a. C., puede insinuar un conocimiento de la multiplicación en la era del Paleolítico superior en África central , pero esto es especulativo.
Egipcios
El método egipcio de multiplicación de números enteros y fracciones, documentado en el Papiro de Ahmes , fue mediante sucesivas adiciones y duplicaciones. Por ejemplo, para encontrar el producto de 13 y 21, uno tenía que duplicar 21 tres veces, obteniendo 2 × 21 = 42 , 4 × 21 = 2 × 42 = 84 , 8 × 21 = 2 × 84 = 168 . El producto completo se puede encontrar agregando los términos apropiados que se encuentran en la secuencia de duplicación:
- 13 × 21 = (1 + 4 + 8) × 21 = (1 × 21) + (4 × 21) + (8 × 21) = 21 + 84 + 168 = 273.
Babilonios
Los babilonios utilizaron un sistema numérico posicional sexagesimal , análogo al sistema decimal moderno . Por lo tanto, la multiplicación babilónica era muy similar a la multiplicación decimal moderna. Debido a la relativa dificultad de recordar 60 × 60 productos diferentes, los matemáticos babilónicos emplearon tablas de multiplicar . Estas tablas consistían en una lista de los primeros veinte múltiplos de un cierto número principal n : n , 2 n , ..., 20 n ; seguido de los múltiplos de 10 n : 30 n 40 n y 50 n . Luego, para calcular cualquier producto sexagesimal, digamos 53 n , solo se necesita sumar 50 n y 3 n calculados a partir de la tabla.
chino
En el texto matemático Zhoubi Suanjing , fechado antes del 300 a. C., y los Nueve Capítulos sobre el Arte Matemático , los cálculos de multiplicación se escribieron en palabras, aunque los primeros matemáticos chinos emplearon el cálculo de Rod que incluía la suma, resta, multiplicación y división del valor posicional. Los chinos ya estaban usando una tabla de multiplicar decimales al final del período de los Reinos Combatientes . [7]
Métodos modernos
El método moderno de multiplicación basado en el sistema numérico hindú-árabe fue descrito por primera vez por Brahmagupta . Brahmagupta dio reglas para la suma, resta, multiplicación y división. Henry Burchard Fine , entonces profesor de Matemáticas en la Universidad de Princeton , escribió lo siguiente:
- Los indios son los inventores no sólo del sistema decimal posicional en sí, sino de la mayoría de los procesos involucrados en el cálculo elemental del sistema. La suma y la resta se realizaron tal como se realizan hoy en día; la multiplicación la llevaron a cabo de muchas maneras, la nuestra entre ellas, pero la división lo hicieron de manera engorrosa. [8]
Estos algoritmos aritméticos decimales de valor posicional fueron introducidos en los países árabes por Al Khwarizmi a principios del siglo IX y popularizados en el mundo occidental por Fibonacci en el siglo XIII.
Método de cuadrícula
La multiplicación por método de cuadrícula o el método de caja se utiliza en las escuelas primarias de Inglaterra y Gales y en algunas áreas de los Estados Unidos para ayudar a enseñar a comprender cómo funciona la multiplicación de varios dígitos. Un ejemplo de multiplicar 34 por 13 sería colocar los números en una cuadrícula como:
30 4 10 300 40 3 90 12
y luego agregue las entradas.
Algoritmos informáticos
El método clásico de la multiplicación de dos n números de dígitos requiere n 2 multiplicaciones dígitos. Se han diseñado algoritmos de multiplicación que reducen considerablemente el tiempo de cálculo al multiplicar números grandes. Los métodos basados en la transformada discreta de Fourier reducen la complejidad computacional a O ( n log n log log n ) . Recientemente, el factor log log n ha sido reemplazado por una función que aumenta mucho más lentamente aunque todavía no es constante (como es de esperar). [9]
En marzo de 2019, David Harvey y Joris van der Hoeven presentaron un artículo que presentaba un algoritmo de multiplicación de enteros con una supuesta complejidad de [10] Se conjetura que el algoritmo, también basado en la transformada rápida de Fourier, es asintóticamente óptimo. [11] El algoritmo no se considera prácticamente útil, ya que sus ventajas solo aparecen cuando se multiplican números extremadamente grandes (que tienen más de 2 1729 12 bits). [12]
Productos de medidas
Solo se pueden sumar o restar cantidades del mismo tipo de manera significativa, pero las cantidades de diferentes tipos se pueden multiplicar o dividir sin problemas. Por ejemplo, cuatro bolsas con tres canicas cada una se pueden considerar como: [1]
- [4 bolsas] × [3 canicas por bolsa] = 12 canicas.
Cuando se multiplican dos medidas juntas, el producto es de un tipo que depende de los tipos de medidas. La teoría general viene dada por análisis dimensional . Este análisis se aplica habitualmente en física, pero también tiene aplicaciones que se encuentran en finanzas y otros campos aplicados.
Un ejemplo común en física es el hecho de que multiplicar la velocidad por el tiempo da distancia . Por ejemplo:
- 50 kilómetros por hora × 3 horas = 150 kilómetros.
En este caso, las unidades de hora se cancelan, dejando el producto con solo unidades de kilómetro.
Otros ejemplos de multiplicación con unidades incluyen:
- 2.5 metros × 4.5 metros = 11.25 metros cuadrados
- 11 metros / segundos × 9 segundos = 99 metros
- 4.5 residentes por casa × 20 casas = 90 residentes
Producto de una secuencia
Notación pi mayúscula
El producto de una secuencia de factores se puede escribir con el símbolo del producto, que deriva de la letra mayúscula. (pi) en el alfabeto griego (muy parecido a la letra mayúscula(sigma) se utiliza en el contexto de la suma ). [13] [14] [15] La posición Unicode U + 220F (∏) contiene un glifo para denotar tal producto, distinto de U + 03A0 (Π), la letra. El significado de esta notación viene dado por:
es decir
El subíndice da el símbolo de una variable ligada ( i en este caso), llamado "índice de multiplicación", junto con su límite inferior ( 1 ), mientras que el superíndice (aquí 4 ) da su límite superior. Los límites inferior y superior son expresiones que denotan números enteros. Los factores del producto se obtienen tomando la expresión que sigue al operador del producto, con valores enteros sucesivos sustituidos por el índice de multiplicación, comenzando desde el límite inferior e incrementado en 1 hasta (incluido) el límite superior. Por ejemplo:
De manera más general, la notación se define como
donde m y n son números enteros o expresiones que se evalúan como enteros. En el caso en que m = n , el valor del producto es el mismo que el del factor único x m ; si m > n , el producto es un producto vacío cuyo valor es 1, independientemente de la expresión de los factores.
Propiedades
Si todos los términos son idénticos, una secuencia de productos equivale a exponenciación.
Productos infinitos
También se pueden considerar productos de infinitos términos; estos se llaman productos infinitos . Notacionalmente, esto consiste en reemplazar n arriba por el símbolo de Infinito ∞. El producto de tal secuencia infinita se define como el límite del producto de los primeros n términos, ya que n crece sin límite. Es decir,
De manera similar, se puede reemplazar m con infinito negativo y definir:
siempre que existan ambos límites.
Propiedades
Para los números reales y complejos , que incluyen, por ejemplo , números naturales , enteros y fracciones , la multiplicación tiene ciertas propiedades:
- Propiedad conmutativa
- El orden en el que se multiplican dos números no importa:
- Propiedad asociativa
- Las expresiones que involucran únicamente multiplicación o suma son invariantes con respecto al orden de las operaciones :
- Propiedad distributiva
- Se mantiene con respecto a la multiplicación sobre la suma. Esta identidad es de primordial importancia para simplificar expresiones algebraicas:
- Elemento de identidad
- La identidad multiplicativa es 1; cualquier cosa multiplicada por 1 es ella misma. Esta característica de 1 se conoce como propiedad de identidad :
- Propiedad de 0
- Cualquier número multiplicado por 0 es 0. Esto se conoce como la propiedad cero de la multiplicación:
- Negación
- −1 veces cualquier número es igual al inverso aditivo de ese número.
- dónde
- –1 por –1 es 1.
- Elemento inverso
- Todo número x , excepto 0 , tiene un inverso multiplicativo , , tal que .
- Conservación de pedidos
- La multiplicación por un número positivo conserva el orden :
- Para a > 0 , si b > c entonces ab > ac .
- La multiplicación por un número negativo invierte el orden:
- Para a <0 , si b > c entonces ab < ac .
- Los números complejos no tienen orden.
Es posible que otros sistemas matemáticos que incluyen una operación de multiplicación no tengan todas estas propiedades. Por ejemplo, la multiplicación no es, en general, conmutativa para matrices y cuaterniones .
Axiomas
En el libro Arithmetices principia, nova methodo exposita , Giuseppe Peano propuso axiomas para la aritmética basándose en sus axiomas para los números naturales. [16] La aritmética de Peano tiene dos axiomas para la multiplicación:
Aquí S ( y ) representa el sucesor de y , o el número natural que sigue a y . Las diversas propiedades como la asociatividad se pueden demostrar a partir de estos y otros axiomas de la aritmética de Peano, incluida la inducción . Por ejemplo, S (0), denotado por 1, es una identidad multiplicativa porque
Los axiomas para números enteros los definen típicamente como clases de equivalencia de pares ordenados de números naturales. El modelo se basa en el tratamiento de ( x , Y ) como equivalente a x - Y cuando x y y son tratados como números enteros. Por tanto, tanto (0,1) como (1,2) son equivalentes a -1. El axioma de multiplicación para enteros definidos de esta manera es
La regla de que −1 × −1 = 1 se puede deducir de
La multiplicación se extiende de manera similar a los números racionales y luego a los números reales .
Multiplicación con teoría de conjuntos
El producto de números enteros no negativos se puede definir con la teoría de conjuntos utilizando números cardinales o los axiomas de Peano . Vea a continuación cómo extender esto para multiplicar números enteros arbitrarios y luego números racionales arbitrarios. El producto de números reales se define en términos de productos de números racionales, ver construcción de números reales .
Multiplicación en teoría de grupos
Hay muchos conjuntos que, bajo la operación de multiplicación, satisfacen los axiomas que definen la estructura del grupo . Estos axiomas son cierre, asociatividad y la inclusión de un elemento de identidad e inversos.
Un ejemplo simple es el conjunto de números racionales distintos de cero . Aquí tenemos la identidad 1, a diferencia de los grupos bajo la suma donde la identidad es típicamente 0. Tenga en cuenta que con los racionales, debemos excluir el cero porque bajo la multiplicación, no tiene un inverso: no hay un número racional que pueda multiplicarse por cero para dar como resultado 1. En este ejemplo tenemos un grupo abeliano , pero no siempre es así.
Para ver esto, considere el conjunto de matrices cuadradas invertibles de una dimensión dada sobre un campo dado . Aquí, es sencillo verificar el cierre, la asociatividad y la inclusión de la identidad (la matriz de identidad ) y las inversas. Sin embargo, la multiplicación de matrices no es conmutativa, lo que muestra que este grupo no es abeliano.
Otro hecho que vale la pena notar es que los números enteros bajo la multiplicación no son un grupo, incluso si excluimos el cero. Esto se ve fácilmente por la inexistencia de una inversa para todos los elementos distintos de 1 y -1.
La multiplicación en la teoría de grupos generalmente se anota con un punto o por yuxtaposición (la omisión de un símbolo de operación entre elementos). Entonces, multiplicar el elemento a por el elemento b podría anotarse como un b o ab . Cuando se hace referencia a un grupo mediante la indicación de conjunto y funcionamiento, se utiliza el punto. Por ejemplo, nuestro primer ejemplo podría estar indicado por.
Multiplicación de diferentes tipos de números.
Los números pueden contar (3 manzanas), ordenar (la tercera manzana) o medir (3,5 pies de alto); A medida que la historia de las matemáticas ha progresado desde contar con los dedos hasta modelar la mecánica cuántica, la multiplicación se ha generalizado a tipos de números más complejos y abstractos, y a cosas que no son números (como matrices ) o que no se parecen mucho a los números ( como cuaterniones ).
- Enteros
- es la suma de N copias de M cuando N y M son números enteros positivos. Esto da el número de cosas en una matriz N de ancho y M de alto. La generalización a números negativos se puede hacer mediante
- y
- Las mismas reglas de signos se aplican a los números racionales y reales.
- Numeros racionales
- Generalización a fracciones es multiplicando los numeradores y denominadores respectivamente: . Esto da el área de un rectángulo alto y de ancho, y es el mismo que el número de cosas en una matriz cuando los números racionales son números enteros.
- Numeros reales
- Los números reales y sus productos se pueden definir en términos de secuencias de números racionales .
- Números complejos
- Considerando números complejos y como pares ordenados de números reales y , el producto es . Esto es lo mismo que para los reales, , cuando las partes imaginarias y son cero.
- Equivalente, denotando como , tenemos
- Más generalizaciones
- Consulte Multiplicación en teoría de grupos , arriba, y Grupo multiplicativo , que por ejemplo incluye la multiplicación de matrices. Un concepto muy general y abstracto de multiplicación es como la operación binaria "denotada multiplicativamente" (segunda) en un anillo . Un ejemplo de un anillo que no es ninguno de los sistemas numéricos anteriores es un anillo polinomial (puede sumar y multiplicar polinomios, pero los polinomios no son números en ningún sentido habitual).
- División
- A menudo división, , es lo mismo que multiplicar por un inverso, . La multiplicación de algunos tipos de "números" puede tener una división correspondiente, sin inversas; en un dominio integral x puede no tener inversa " " pero puede definirse. En un anillo de división hay inversas, pero puede ser ambiguo en anillos no conmutativos ya que no necesita ser lo mismo que .
Exponenciación
Cuando se repite la multiplicación, la operación resultante se conoce como exponenciación . Por ejemplo, el producto de tres factores de dos (2 × 2 × 2) es "dos elevado a la tercera potencia", y se denota por 2 3 , un dos con un superíndice tres. En este ejemplo, el número dos es la base y el tres es el exponente . En general, el exponente (o superíndice) indica cuántas veces aparece la base en la expresión, de modo que la expresión
Indica que n copias de la base de un han de ser multiplicados entre sí. Esta notación se puede utilizar siempre que se sepa que la multiplicación es asociativa de potencia .
Ver también
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Notas
- ↑ a b c Devlin, Keith (enero de 2011). "¿Qué es exactamente la multiplicación?" . Asociación Matemática de América . Archivado desde el original el 27 de mayo de 2017 . Consultado el 14 de mayo de 2017 .
Con la multiplicación tienes un multiplicando (escrito en segundo lugar) multiplicado por un multiplicador (escrito primero)
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- ^ Khan Academy (2012-09-06), ¿Por qué no usamos el signo de multiplicación? | Introducción al álgebra | Álgebra I | Khan Academy , archivado desde el original el 27 de marzo de 2017 , consultado el 7 de marzo de 2017
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Referencias
- Boyer, Carl B. (revisado por Merzbach, Uta C. ) (1991). Historia de las Matemáticas . John Wiley and Sons, Inc. ISBN 978-0-471-54397-8.CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )
enlaces externos
- Operaciones aritméticas y de multiplicación en varios sistemas numéricos al cortar el nudo
- Técnicas modernas de multiplicación china en un ábaco