En geometría , el problema del anillo de servilleta implica encontrar el volumen de una "banda" de altura especificada alrededor de una esfera , es decir, la parte que queda después de perforar un agujero en forma de cilindro circular en el centro de la esfera. Es un hecho contrario a la intuición que este volumen no depende del radio de la esfera original, sino solo de la altura de la banda resultante.
El problema se llama así porque después de quitar un cilindro de la esfera, la banda restante se asemeja a la forma de un anillo de servilleta .
Declaración
Suponga que el eje de un cilindro circular recto pasa por el centro de una esfera de radio R y que h representa la altura (definida como la distancia en una dirección paralela al eje) de la parte del cilindro que está dentro de la esfera. La "banda" es la parte de la esfera que está fuera del cilindro. El volumen de la banda depende de h pero no de R :
A medida que el radio R de la esfera se contrae, el diámetro del cilindro también debe contraerse para que h pueda permanecer igual. La banda se vuelve más gruesa y esto aumentaría su volumen. Pero también se acorta en circunferencia, y esto disminuiría su volumen. Los dos efectos se anulan exactamente entre sí. En el caso extremo de la esfera más pequeña posible, el cilindro desaparece (su radio se vuelve cero) y la altura h es igual al diámetro de la esfera. En este caso, el volumen de la banda es el volumen de toda la esfera , que coincide con la fórmula dada anteriormente.
Un primer estudio de este problema fue escrito por el matemático japonés del siglo XVII Seki Kōwa . Según Smith y Mikami (1914) , Seki llamó a este sólido un anillo de arco, o en japonés kokan o kokwan .
Prueba
Suponga que el radio de la esfera es y la longitud del cilindro (o el túnel) es .
Según el teorema de Pitágoras , el radio del cilindro es
y el radio de la sección transversal horizontal de la esfera a la altura y por encima del "ecuador" es
La sección transversal de la banda con el plano a la altura y es la región dentro del círculo más grande de radio dado por (2) y fuera del círculo más pequeño de radio dado por (1). El área de la sección transversal es, por lo tanto, el área del círculo más grande menos el área del círculo más pequeño:
El radio R no aparece en la última cantidad. Por lo tanto, el área de la sección transversal horizontal a la altura y no depende de R , siempre que y ≤h/2≤ R . El volumen de la banda es
y que no depende de R .
Esta es una aplicación del principio de Cavalieri : los volúmenes con secciones transversales correspondientes de igual tamaño son iguales. De hecho, el área de la sección transversal es la misma que la de la sección transversal correspondiente de una esfera de radio h / 2, que tiene volumen
Ver también
- Cálculo visual , una forma intuitiva de resolver este tipo de problema, originalmente aplicado para encontrar el área de un anillo , dada solo su longitud de cuerda.
- Cuerda que rodea la Tierra , otro problema en el que el radio de una esfera o círculo es irrelevante en sentido contrario a la intuición
Referencias
- Devlin, Keith (2008), The Serpkin Ring Problem , Mathematical Association of America , archivado desde el original el 11 de agosto de 2011 , consultado el 25 de febrero de 2009
- Devlin, Keith (2008), Lockhart's Lament , Mathematical Association of America , archivado desde el original el 11 de agosto de 2011 , consultado el 25 de febrero de 2009
- Gardner, Martin (1994), "Hole in the Sphere", Mis mejores acertijos matemáticos y lógicos , Publicaciones de Dover , p. 8
- Jones, Samuel I. (1912), Arrugas matemáticas para profesores y estudiantes privados , Norwood, MA: JB Cushing Co. El problema 132 pregunta por el volumen de una esfera con un agujero cilíndrico perforado a través de ella, pero no nota la invariancia del problema bajo cambios de radio.
- Levi, Mark (2009), "6.3 ¿Cuánto oro hay en un anillo de bodas?", El mecánico matemático: uso del razonamiento físico para resolver problemas , Princeton University Press, págs. 102-104, ISBN 978-0-691-14020-9. Levi argumenta que el volumen depende solo de la altura del agujero basándose en el hecho de que el anillo puede ser barrido por un medio disco con la altura como su diámetro.
- Lines, L. (1965), geometría sólida: con capítulos sobre celosías espaciales, paquetes de esferas y cristales , Dover. Reimpresión de la edición de 1935. Un problema de la página 101 describe la forma formada por una esfera con un cilindro quitado como "servilletero" y pide una prueba de que el volumen es el mismo que el de una esfera con un diámetro igual a la longitud del agujero.
- Pólya, George (1990), Matemáticas y razonamiento plausible , vol. I: Inducción y analogía en matemáticas , Princeton University Press, págs. 191-192. Reimpresión de la edición de 1954.
- Smith, David E .; Mikami, Yoshio (1914), A History of Japanese Mathematics , Open Court Publishing Company, págs. 121-123. Reeditado por Dover, 2004, ISBN 0-486-43482-6 . Smith y Mikami discutir el problema anillo de servilleta en el contexto de dos manuscritos de Seki en la medición de sólidos, Kyuseki y Kyuketsu Hengyo Así .