En matemáticas , el número plástico ρ (también conocido como la constante plástica , la relación plástica , el número mínimo de Pisot , el número platino , [2] el número de Siegel o, en francés, el nombre radiante ) es una constante matemática que es la única solución real de la ecuación cúbica
Binario | 1.0101 0011 0010 0000 1011 … |
Decimal | 1.32471 79572 44746 02596 … |
Hexadecimal | 1.5320 B74E CA44 ADAC 1788 … |
Fracción continuada [1] | [1; 3, 12, 1, 1, 3, 2, 3, 2, 4, 2, 141, 80 ...] Note que esta fracción continua no es finita ni periódica . (Mostrado en notación lineal ) |
Forma algebraica |
Tiene el valor exacto [3]
Su expansión decimal comienza con 1.32471 79572 44746 02596 09088 54… . [4]
Propiedades
Recurrencias
Las potencias del número plástico A ( n ) = ρ n satisfacen la relación de recurrencia lineal de tercer orden A ( n ) = A ( n - 2) + A ( n - 3) para n > 2 . Por lo tanto, es la razón límite de los términos sucesivos de cualquier secuencia entera (distinta de cero) que satisfaga esta recurrencia, como los números de Cordonnier (más conocidos como la secuencia de Padovan), los números de Perrin y los números de Van der Laan , y tiene relaciones con estos secuencias similares a las relaciones de la proporción áurea con los números de Fibonacci y Lucas de segundo orden , similares a las relaciones entre la proporción de plata y los números de Pell . [5]
El número plástico satisface la recurrencia de radicales anidados [6]
Teoría de los números
Debido a que el número plástico tiene el polinomio mínimo x 3 - x - 1 = 0, también es una solución de la ecuación polinomial p ( x ) = 0 para cada polinomio p que es un múltiplo de x 3 - x - 1, pero no para cualquier otro polinomio con coeficientes enteros. Dado que el discriminante de su polinomio mínimo es −23, su campo de división sobre los racionales es ℚ ( √ −23 , ρ ). Este campo también es un campo de clase de Hilbert de ℚ ( √ −23 ) .
El número de plástico es el número Pisot-Vijayaraghavan más pequeño . Sus conjugados algebraicos son
de valor absoluto ≈ 0,868837 (secuencia A191909 en la OEIS ). Este valor también es 1 / √ ρ porque el producto de las tres raíces del polinomio mínimo es 1.
Trigonometría
El número plástico se puede escribir usando el coseno hiperbólico ( cosh ) y su inverso:
(Consulte Función cúbica # Método trigonométrico (e hiperbólico) .)
Geometría
Hay exactamente tres formas de dividir un cuadrado en tres rectángulos similares: [7] [8]
- La solución trivial dada por tres rectángulos congruentes con una relación de aspecto de 3: 1.
- La solución en la que dos de los tres rectángulos son congruentes y el tercero tiene el doble de longitud lateral que los otros dos, donde los rectángulos tienen una relación de aspecto de 3: 2.
- La solución en la que los tres rectángulos son mutuamente no congruentes (todos de diferentes tamaños) y donde tienen una relación de aspecto ρ 2 . Las proporciones de los tamaños lineales de los tres rectángulos son: ρ (grande: mediano); ρ 2 (mediano: pequeño); y ρ 3 (grande: pequeño). El borde largo interno del rectángulo más grande (la línea de falla del cuadrado) divide dos de los cuatro bordes del cuadrado en dos segmentos, cada uno de los cuales están uno frente al otro en la relación ρ. El borde corto interno y coincidente del rectángulo mediano y el borde largo del rectángulo pequeño dividen uno del otro del cuadrado, dos bordes en dos segmentos que están uno frente al otro en la proporción ρ 4 .
El hecho de que un rectángulo de relación de aspecto ρ 2 pueda usarse para disecciones de un cuadrado en rectángulos similares es equivalente a una propiedad algebraica del número ρ 2 relacionada con el teorema de Routh-Hurwitz : todos sus conjugados tienen parte real positiva. [9] [10]
Historia
Nombre
El arquitecto holandés y monje benedictino Dom Hans van der Laan dio el nombre de número plástico ( holandés : het plastische getal ) a este número en 1928. En 1924, cuatro años antes del bautizo del nombre del número por van der Laan, el ingeniero francés Gérard Cordonnier
ya había descubierto el número y se refirió a él como el número radiante (en francés : le nombre radiant ). A diferencia de los nombres de proporción áurea y proporción de plata , van der Laan no pretendía que la palabra plástico se refiriera a una sustancia específica, sino en su sentido adjetivo, es decir, algo a lo que se le puede dar una forma tridimensional. [11] Esto, según Richard Padovan , se debe a que las proporciones características del número, 3/4 y 1/7, se relacionan con los límites de la percepción humana al relacionar un tamaño físico con otro. Van der Laan diseñó la iglesia de la abadía de St. Benedictusberg de 1967 con estas proporciones de números de plástico. [12]El número de plástico también se llama a veces el número de plata , un nombre que le dio Midhat J. Gazalé [13] y posteriormente utilizado por Martin Gardner , [14] pero ese nombre se usa más comúnmente para la proporción de plata 1 + √ 2 , una de las proporciones de la familia de los medios metálicos descrita por primera vez por Vera W. de Spinadel en 1998. [15]
Martin Gardner ha sugerido referirse acomo "phi alto", y Donald Knuth creó una marca tipográfica especial para este nombre, una variante de la letra griega phi ("φ") con su círculo central elevado, que se asemeja a la letra georgiana pari ("Ⴔ"). [dieciséis]
Ver también
- Icosidodecadodecaedro desaire
- Proporción superdorada
Notas
- ^ Secuencia OEIS : A072117 en la OEIS
- ^ Choulet, Richard (enero-febrero de 2010). "¿Alors argent ou pas? Euh ... je serais assez platine" (PDF) . Vierta chercher et approfondir. Le Bulletin Vert . Association des Professeurs de Mathématiques de l'Enseignement Public (APMEP) París (486): 89–96. ISSN 0240-5709 . OCLC 477016293 . Archivado desde el original (PDF) el 14 de noviembre de 2017 . Consultado el 14 de noviembre de 2017 .
- ^ Weisstein, Eric W. "Plastic Constant" . MathWorld .
- ^ Secuencia OEIS : A060006 en la OEIS .
- ^ ; Shannon, Anderson y Horadam (2006) .
- ^ Piezas, Tito III; van Lamoen, Floor & Weisstein, Eric W. "Plastic Constant" . MathWorld .
- ^ Ian Stewart, Una guía para las citas por computadora (comentarios), Scientific American, vol. 275, núm. 5, noviembre de 1996, pág. 118
- ^ de Spinadel, Vera W .; Antonia, Redondo Buitrago (2009), "Towards van der Laan's plastic number in the plane" (PDF) , Journal for Geometry and Graphics , 13 (2): 163-175.
- ^ Freiling, C .; Rinne, D. (1994), "Mosaico de un cuadrado con rectángulos similares", Mathematical Research Letters , 1 (5): 547–558, doi : 10.4310 / MRL.1994.v1.n5.a3 , MR 1295549
- ^ Laczkovich, M .; Szekeres, G. (1995), "Mosaicos del cuadrado con rectángulos similares", Geometría discreta y computacional , 13 (3–4): 569–572, doi : 10.1007 / BF02574063 , MR 1318796
- ^ Padovan (2002) ; Shannon, Anderson y Horadam (2006) .
- ^ Padovan (2002) .
- ^ Gazalé, Midhat J. (19 de abril de 1999). "Capítulo VII: El Número de Plata". Gnomon: de los faraones a los fractales . Princeton, Nueva Jersey: Princeton University Press. págs. 135-150. ISBN 9780691005140. OCLC 40298400 .
- ^ Martin Gardner , Entrenamiento de A Gardner (2001), Capítulo 16, págs. 121-128.
- ^ de Spinadel, Vera W. (1998). Williams, Kim (ed.). "Los medios metálicos y el diseño" . Nexus II: Arquitectura y Matemáticas . Fucecchio (Florencia): Edizioni dell'Erba: 141-157.
- ^ "Seis desafiantes tareas de disección" (PDF) . Quantum . 4 (5): 26-27. Mayo-junio de 1994.
Referencias
- Aarts, J .; Fokkink, R .; Kruijtzer, G. (2001), "Números mórficos" (PDF) , Nieuw Arch. Wiskd. , 5, 2 (1): 56–58.
- Gazalé, Midhat J. (1999), Gnomon , Princeton University Press.
- Padovan, Richard (2002), "Dom Hans Van Der Laan y el número plástico", Nexus IV: Arquitectura y matemáticas , Kim Williams Books, págs. 181-193.
- Shannon, AG; Anderson, PG; Horadam, AF (2006), "Propiedades de los números Cordonnier, Perrin y Van der Laan", Revista Internacional de Educación Matemática en Ciencia y Tecnología , 37 (7): 825–831, doi : 10.1080 / 00207390600712554.
enlaces externos
- Cuentos de un número olvidado por Ian Stewart
- Rectángulo de plástico y secuencia de Padovan en Tartapelago por Giorgio Pietrocola
- Harriss, Edmund. "La relación plástica" (video) . youtube . Brady Haran . Consultado el 15 de marzo de 2019 .