En teoría de números , la suma de los primeros n cubos es el cuadrado del n- ésimo número triangular . Es decir,
La misma ecuación se puede escribir de forma más compacta utilizando la notación matemática para la suma :
Esta identidad a veces se llama teorema de Nicomachus , en honor a Nicomachus de Gerasa (c. 60 - c. 120 EC).
Historia
Nicomachus, al final del capítulo 20 de su Introducción a la aritmética , señaló que si uno escribe una lista de los números impares, el primero es el cubo de 1, la suma de los dos siguientes es el cubo de 2, la suma de los siguientes tres son el cubo de 3, y así sucesivamente. No va más allá de esto, pero de esto se sigue que la suma de los primeros n cubos es igual a la suma de los primeros números impares, es decir, los números impares del 1 al . El promedio de estos números es obviamente, y aquí están de ellos, por lo que su suma es
Muchos de los primeros matemáticos han estudiado y proporcionado pruebas del teorema de Nicomachus. Stroeker (1995) afirma que "todo estudiante de teoría de números seguramente debe haberse maravillado de este hecho milagroso". Pengelley (2002) encuentra referencias a la identidad no solo en las obras de Nicomachus en lo que hoy es Jordania en el siglo I d.C., sino también en las de Aryabhata en la India en el siglo V, y en las de Al-Karaji hacia 1000 en Persia . Bressoud (2004) menciona varios trabajos matemáticos tempranos adicionales sobre esta fórmula, de Al-Qabisi (Arabia del siglo X), Gersonides (hacia 1300 Francia) y Nilakantha Somayaji (hacia 1500 India); reproduce la prueba visual de Nilakantha.
Valores numéricos; interpretación geométrica y probabilística
La secuencia de números triangulares cuadrados es [1]
Estos números pueden verse como números figurados , una generalización hiperpiramidal de cuatro dimensiones de los números triangulares y los números piramidales cuadrados .
Como observa Stein (1971) , estos números también cuentan el número de rectángulos con lados horizontales y verticales formados en una cuadrícula de n × n . Por ejemplo, los puntos de una cuadrícula de 4 × 4 (o un cuadrado formado por tres cuadrados más pequeños en un lado) pueden formar 36 rectángulos diferentes. El número de cuadrados en una cuadrícula cuadrada se cuenta de manera similar por los números piramidales cuadrados.
La identidad también admite una interpretación probabilística natural como sigue. Sean X , Y , Z , W cuatro números enteros elegidos de forma independiente y uniforme al azar entre 1 y n . Entonces, la probabilidad de que W es el mayor de los cuatro números es igual a la probabilidad de que Y es al menos tan grande como X y que W es al menos tan grande como Z . Es decir,. Para cualquier valor particular de W , las combinaciones de X , Y y Z que hacen que W sea más grande forman un cubo 1 ≤ X , Y , Z ≤ n entonces (sumando el tamaño de este cubo sobre todas las opciones de W ) el número de combinaciones de X , Y , Z , W para el que W es mayor es una suma de cubos, el lado izquierdo de la identidad de Nichomachus. Los conjuntos de pares ( X , Y ) con X ≤ Y y de pares ( Z , W ) con Z ≤ W forman triángulos rectángulos isósceles, y el conjunto contado por el lado derecho de la ecuación de probabilidades es el producto cartesiano de estos dos triángulos, por lo que su tamaño es el cuadrado de un número triangular en el lado derecho de la identidad de Nichomachus. Las probabilidades en sí son, respectivamente, los lados izquierdo y derecho de la identidad de Nichomachus, normalizados para hacer probabilidades dividiendo ambos lados por n 4 .
Pruebas
Charles Wheatstone ( 1854 ) da una derivación particularmente simple, al expandir cada cubo de la suma en un conjunto de números impares consecutivos. Comienza dando la identidad
Row (1893) obtiene otra prueba sumando los números en una tabla de multiplicar al cuadrado de dos formas diferentes. La suma de lala fila es multiplicado por un número triangular, de lo cual se sigue que la suma de todas las filas es el cuadrado de un número triangular. Alternativamente, se puede descomponer la tabla en una secuencia de gnomones anidados , cada uno de los cuales consta de productos en los que el mayor de los dos términos es un valor fijo. La suma dentro de cada gmonon es un cubo, por lo que la suma de toda la tabla es una suma de cubos.
En la literatura matemática más reciente, Edmonds (1957) proporciona una demostración usando la suma por partes . Stein (1971) utiliza la interpretación de recuento de rectángulos de estos números para formar una prueba geométrica de la identidad (véase también Benjamin, Quinn y Wurtz 2006 ); observa que también puede demostrarse fácilmente (pero sin información) por inducción, y afirma que Toeplitz (1963) proporciona "una prueba árabe antigua interesante". Kanim (2004) proporciona una prueba puramente visual, Benjamin y Orrison (2002) proporcionan dos pruebas adicionales y Nelsen (1993) proporciona siete pruebas geométricas.
Generalizaciones
Un resultado similar al teorema de Nicomachus es válido para todas las sumas de potencia , a saber, que las sumas de potencia impares (sumas de potencias impares) son un polinomio en números triangulares. Estos se denominan polinomios de Faulhaber , de los cuales la suma de cubos es el ejemplo más simple y elegante. Sin embargo, en ningún otro caso una potencia suma un cuadrado a otra. [2]
Stroeker (1995) estudia condiciones más generales bajo las cuales la suma de una secuencia consecutiva de cubos forma un cuadrado. Garrett y Hummel (2004) y Warnaar (2004) estudian polinomios análogos de la fórmula del número triangular cuadrado, en la que series de polinomios se suman al cuadrado de otro polinomio.
Notas
- ^ Sloane, N. J. A. (ed.), "Secuencia A000537" , La enciclopedia en línea de secuencias de enteros , Fundación OEIS
- ^ Edmonds (1957) .
Referencias
- Benjamin, Arthur T .; Orrison, ME (2002), "Dos pruebas combinatorias rápidas de ∑ k 3 = ( norte + 1 2 ) 2 {\ Displaystyle \ textstyle \ sum k ^ {3} = {n + 1 \ elige 2} ^ {2}} " (PDF) , College Mathematics Journal , 33 (5): 406–408, doi : 10.2307 / 1559017 , JSTOR 1559017.
- Benjamin, Arthur T .; Quinn, Jennifer J .; Wurtz, Calyssa (2006), "Sumar cubos contando rectángulos" (PDF) , College Mathematics Journal , 37 (5): 387–389, doi : 10.2307 / 27646391 , JSTOR 27646391.
- Bressoud, David (2004), Cálculo antes de Newton y Leibniz, Parte III (PDF) , AP Central.
- Edmonds, Sheila M. (1957), "Sumas de potencias de los números naturales", The Mathematical Gazette , 41 : 187–188, doi : 10.2307 / 3609189 , JSTOR 3609189 , MR 0096615
- Garrett, Kristina C .; Hummel, Kristen (2004), "Una prueba combinatoria de la suma de q -cubes" , Electronic Journal of Combinatorics , 11 (1), Documento de investigación 9, doi : 10.37236 / 1762 , MR 2034423.
- Gulley, Ned (4 de marzo de 2010), Shure, Loren (ed.), Teorema de Nicomachus , Matlab Central.
- Kanim, Katherine (2004), "Pruebas sin palabras: La suma de cubos: una extensión de la suma de cuadrados de Arquímedes", Revista de matemáticas , 77 (4): 298-299, doi : 10.2307 / 3219288 , JSTOR 3219288.
- Nelsen, Roger B. (1993), Pruebas sin palabras , Cambridge University Press, ISBN 978-0-88385-700-7.
- Pengelley, David (2002), "El puente entre lo continuo y lo discreto a través de fuentes originales", Study the Masters: The Abel-Fauvel Conference (PDF) , Centro Nacional de Educación Matemática, Univ. de Gotemburgo, Suecia.
- Row, T. Sundara (1893), Ejercicios geométricos en el plegado de papel , Madras: Addison, págs. 47–48.
- Stein, Robert G. (1971), "Una prueba combinatoria de que ", Revista de matemáticas , 44 (3): 161-162, doi : 10.2307 / 2688231 , JSTOR 2688231.
- Stroeker, RJ (1995), "Sobre la suma de cubos consecutivos siendo un cuadrado perfecto" , Compositio Mathematica , 97 (1-2): 295-307, MR 1355130.
- Toeplitz, Otto (1963), El cálculo, un enfoque genético , University of Chicago Press, ISBN 978-0-226-80667-9.
- Warnaar, S. Ole (2004), "Sobre el q -análogo de la suma de cubos" , Electronic Journal of Combinatorics , 11 (1), Nota 13, doi : 10.37236 / 1854 , MR 2114194.
- Wheatstone, C. (1854), "Sobre la formación de poderes a partir de progresiones aritméticas" (PDF) , Actas de la Royal Society of London , 7 : 145-151, doi : 10.1098 / rspl.1854.0036.
enlaces externos
- Weisstein, Eric W. , "Teorema de Nicomachus" , MathWorld
- Una prueba visual del teorema de Nicomachus