En matemáticas , el análisis armónico no conmutativo es el campo en el que los resultados del análisis de Fourier se extienden a grupos topológicos que no son conmutativos . [1] Dado que los grupos abelianos localmente compactos tienen una teoría bien entendida, la dualidad de Pontryagin , que incluye las estructuras básicas de las series de Fourier y las transformadas de Fourier , el principal negocio del análisis armónico no conmutativo generalmente se considera la extensión de la teoría a todos los grupos G que son localmente compactos . El caso deSe entiende que los grupos compactos , cualitativamente y según el teorema de Peter-Weyl de la década de 1920, son generalmente análogos al de los grupos finitos y su teoría del carácter .
La tarea principal es, por tanto, el caso de G que es localmente compacto, no compacto y no conmutativo. Los ejemplos interesantes incluyen muchos grupos de Lie y también grupos algebraicos sobre campos p-ádicos . Estos ejemplos son de interés y se aplican con frecuencia en la física matemática y la teoría de números contemporánea , en particular las representaciones automórficas .
Qué esperar se conoce como el resultado del trabajo básico de John von Neumann . Mostró que si el álgebra de grupo de von Neumann de G es de tipo I, entonces L 2 ( G ) como representación unitaria de G es una integral directa de representaciones irreductibles. Por lo tanto, está parametrizado por el dual unitario , el conjunto de clases de isomorfismo de tales representaciones, al que se le da la topología del núcleo del casco . El análogo del teorema de Plancherel se da de forma abstracta mediante la identificación de una medida en el dual unitario, la medida de Plancherel , con respecto a la cual se toma la integral directa. (Para la dualidad de Pontryagin, la medida de Plancherel es una medida de Haar en el grupo dual a G , por lo que el único problema es su normalización). Para grupos generales localmente compactos, o incluso grupos discretos contables, el álgebra de grupo de von Neumann no necesita ser de tipo I y la representación regular de G no puede escribirse en términos de representaciones irreductibles, aunque sea unitaria y completamente reducible. Un ejemplo donde esto sucede es el grupo simétrico infinito, donde el álgebra de grupo de von Neumann es el factor hiperfinito de tipo II 1 . La teoría adicional divide la medida de Plancherel en una parte discreta y una continua. Para grupos semisimples y clases de grupos de Lie con solución , se encuentra disponible una teoría muy detallada. [2]
Ver también
Referencias
- "Análisis armónico no conmutativo: en honor a Jacques Carmona", Jacques Carmona, Patrick Delorme, Michèle Vergne; Editorial Springer, 2004 ISBN 0-8176-3207-7 [3]
- Yurii I. Lyubich. Introducción a la teoría de las representaciones de grupos de Banach . Traducido de la edición en ruso de 1985 (Jarkov, Ucrania). Birkhäuser Verlag. 1988.
Notas
- ^ Gross, Kenneth I. (1978). "Sobre la evolución del análisis armónico no conmutativo" . Amer. Matemáticas. Mensual . 85 (7): 525–548. doi : 10.2307 / 2320861 . JSTOR 2320861 .
- ^ Taylor, Michael E. (agosto de 1986). Análisis armónico no conmutativo . ISBN 9780821873823.
- ^ Análisis armónico no conmutativo: en honor a Jacques Carmona