En matemáticas , una representación en serie discreta es una representación unitaria irreductible de un grupo topológico localmente compacto G que es una subrepresentación de la representación regular izquierda de G en L² ( G ). En la medida de Plancherel , tales representaciones tienen medida positiva. El nombre proviene del hecho de que son exactamente las representaciones que ocurren discretamente en la descomposición de la representación regular.
Propiedades
Si G es unimodular , una representación unitaria irreducible ρ de G está en la serie discreta si y solo si un coeficiente de matriz (y por lo tanto todos)
con v , w vectores distintos de cero es cuadrado integrable en G , con respecto a la medida de Haar .
Cuando G es unimodular, la representación en serie discreta tiene una dimensión formal d , con la propiedad de que
para v , w , x , y en la representación. Cuando G es compacto, esto coincide con la dimensión cuando la medida de Haar en G está normalizada de modo que G tiene medida 1.
Grupos semisimple
Harish-Chandra ( 1965 , 1966 ) clasifica las representaciones serie discreta de conectados grupos semisimples G . En particular, un grupo tal tiene representaciones serie discreta si y sólo si tiene el mismo rango que un subgrupo compacto maximal K . En otras palabras, un máximo toroide T en K debe ser un subgrupo de Cartan en G . (Este resultado requería que el centro de G fuera finito, descartando grupos como la cubierta simplemente conectada de SL (2, R ).) Se aplica en particular a grupos lineales especiales ; de estos, solo SL (2, R ) tiene una serie discreta (para esto, ver la teoría de representación de SL (2, R ) ).
La clasificación de Harish-Chandra de las representaciones en series discretas de un grupo de Lie conectado semisimplemente se da de la siguiente manera. Si L es la red de peso del toro máximo T , una subred de la misma donde t es el álgebra de Lie de T , entonces hay una representación en serie discreta para cada vector v de
- L + ρ,
donde ρ es el vector Weyl de G , que no es ortogonal a ninguna raíz de G . Toda representación de series discretas ocurre de esta manera. Dos de tales vectores v corresponden a la misma representación serie discreta si y sólo si son conjugado bajo el grupo Weyl W K del subgrupo compacto maximal K . Si fijamos una cámara fundamental para el grupo de Weyl de K , entonces la representación serie discreta están en correspondencia 1: 1 con los vectores de L + ρ en esta cámara Weyl que no son ortogonales a ninguna raíz de G . El carácter infinitesimal de la representación de mayor peso viene dado por v (mod el grupo de Weyl W G de G ) bajo la correspondencia Harish-Chandra que identifica los caracteres infinitesimales de G con puntos de
- t ⊗ C / W G .
Entonces, para cada representación de serie discreta, hay exactamente
- | W G | / | W K |
representaciones de series discretas con el mismo carácter infinitesimal.
Harish-Chandra pasó a demostrar un análogo de estas representaciones de la fórmula del carácter de Weyl . En el caso de que G no sea compacto, las representaciones tienen dimensión infinita, por lo que la noción de carácter es más sutil de definir ya que es una distribución de Schwartz (representada por una función integrable localmente), con singularidades.
El carácter está dado en el toro máximo T por
Cuando G es compacto, esto se reduce a la fórmula del carácter de Weyl, con v = λ + ρ para λ el peso más alto de la representación irreducible (donde el producto está sobre las raíces α que tienen un producto interno positivo con el vector v ).
El teorema de regularidad de Harish-Chandra implica que el carácter de una representación en serie discreta es una función localmente integrable en el grupo.
Límite de representaciones de series discretas
Los puntos v en la clase lateral L + ρ ortogonales a las raíces de G no corresponden a representaciones de series discretas, pero los que no son ortogonales a las raíces de K están relacionados con ciertas representaciones irreducibles llamadas representaciones de límite de series discretas . Existe tal representación para cada par ( v , C ) donde v es un vector de L + ρ ortogonal a alguna raíz de G pero no ortogonal a cualquier raíz de K correspondiente a una pared de C , y C es una cámara de Weyl de G que contiene v . (En el caso de representaciones de series discretas, solo hay una cámara de Weyl que contiene v, por lo que no es necesario incluirla explícitamente.) Dos pares ( v , C ) dan el mismo límite de representación de series discretas si y solo si están conjugadas bajo el grupo de Weyl de K . Al igual que para las representaciones de series discretas, v da el carácter infinitesimal. Hay como máximo | W G | / | W K | límite de representaciones de series discretas con cualquier carácter infinitesimal dado.
El límite de las representaciones de series discretas son las representaciones templadas , lo que significa, a grandes rasgos, que sólo fallan en ser representaciones de series discretas.
Construcciones de la serie discreta
La construcción original de Harish-Chandra de la serie discreta no fue muy explícita. Varios autores encontraron más tarde realizaciones más explícitas de la serie discreta.
- Narasimhan y Okamoto (1970) construyeron la mayoría de las representaciones de series discretas en el caso en que el espacio simétrico de G es hermitiano.
- Parthasarathy (1972) construyó muchas de las representaciones de series discretas para G arbitrario .
- Langlands (1966) conjeturó, y Schmid (1976) demostró, un análogo geométrico del teorema de Borel-Bott-Weil , para la serie discreta, utilizando la cohomología L 2 en lugar de la cohomología de gavilla coherente utilizada en el caso compacto.
- Una aplicación del teorema del índice , Atiyah y Schmid (1977) construyeron todas las representaciones de series discretas en espacios de espinores armónicos . A diferencia de la mayoría de las construcciones anteriores de representaciones, el trabajo de Atiyah y Schmid no utilizó los resultados de existencia de Harish-Chandra en sus pruebas.
- También se pueden construir representaciones en series discretas mediante inducción parabólica cohomológica utilizando functores de Zuckerman .
Ver también
Referencias
- Atiyah, Michael ; Schmid, Wilfried (1977), "Una construcción geométrica de la serie discreta para grupos de Lie semisimple", Inventiones Mathematicae , 42 : 1–62, doi : 10.1007 / BF01389783 , ISSN 0020-9910 , MR 0463358
- Bargmann, V (1947), "Representaciones unitarias irreductibles del grupo de Lorentz", Annals of Mathematics , Second Series, 48 : 568–640, doi : 10.2307 / 1969129 , ISSN 0003-486X , JSTOR 1969129 , MR 0021942
- Harish-Chandra (1965), "Series discretas para grupos de Lie semisimple. I. Construcción de eigendistributions invariantes", Acta Mathematica , 113 : 241–318, doi : 10.1007 / BF02391779 , ISSN 0001-5962 , 0219665
- Harish-Chandra (1966), "Series discretas para grupos de Lie semisimple. II. Determinación explícita de los caracteres", Acta Mathematica , 116 : 1–111, doi : 10.1007 / BF02392813 , ISSN 0001-5962 , MR 0219666
- Langlands, RP (1966), "Dimensión de espacios de formas automórficas", Grupos algebraicos y subgrupos discontinuos (Proc. Sympos. Pure Math., Boulder, Colorado, 1965) , Providence, RI: American Mathematical Society , págs. 253– 257, MR 0212135
- Narasimhan, MS; Okamoto, Kiyosato (1970), "Análogo del teorema de Borel-Weil-Bott para pares simétricos hermitianos de tipo no compacto", Annals of Mathematics , Second Series, 91 : 486–511, doi : 10.2307 / 1970635 , ISSN 0003 -486X , JSTOR 1.970.635 , MR 0274657
- Parthasarathy, R. (1972), "Dirac operator and the discrete series", Annals of Mathematics , Second Series, 96 : 1–30, doi : 10.2307 / 1970892 , ISSN 0003-486X , JSTOR 1970892 , MR 0318398
- Schmid, Wilfried (1976), "L²-cohomology and the discrete series", Annals of Mathematics , Second Series, 103 (2): 375–394, doi : 10.2307 / 1970944 , ISSN 0003-486X , JSTOR 1970944 , MR 0396856
- Schmid, Wilfried (1997), "Serie discreta", en Bailey, TN; Knapp, Anthony W. (eds.), Teoría de la representación y formas automórficas (Edimburgo, 1996) , Proc. Simpos. Pure Math., 61 , Providence, RI: American Mathematical Society , págs. 83-113, doi : 10.1090 / pspum / 061/1476494 , ISBN 978-0-8218-0609-8, Señor 1476494
- AI Shtern (2001) [1994], "Serie discreta de representación" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
enlaces externos
- Garrett, Paul (2004), Algunos hechos sobre series discretas (holomorfas, cuaterniónicas) (PDF)