En matemáticas, el espectro de una C * -algebra o dual de un C * -algebra A , denotado  , es el conjunto de equivalencia unitarias clases de irreducibles -representations * de A . A -Representación * π de A en un espacio de Hilbert H es irreducible si, y sólo si, no hay cerrado subespacio K diferente de H y {0} que es invariante bajo todos los operadores pi ( x ) con x ∈ A . Suponemos implícitamente que la representación irreductible significarepresentación irreductible no nula , excluyendo así representaciones triviales (es decir, idénticamente 0) en espacios unidimensionales . Como se explica a continuación, el espectro  también es, naturalmente, un espacio topológico ; esto es similar a la noción de espectro de un anillo .
Una de las aplicaciones más importantes de este concepto es proporcionar una noción de objeto dual para cualquier grupo localmente compacto . Este objeto dual es adecuado para formular una transformada de Fourier y un teorema de Plancherel para grupos localmente compactos unimodulares separables de tipo I y un teorema de descomposición para representaciones arbitrarias de grupos localmente compactos separables de tipo I. La teoría de la dualidad resultante para grupos localmente compactos es sin embargo mucho más débil que la teoría de la dualidad de Tannaka-Kerin para grupos topológicos compactos o la dualidad de Pontryagin para grupos abelianos localmente compactos , los cuales son invariantes completos. Que el dual no es un invariante completo se ve fácilmente como el dual de cualquier álgebra de matriz completa de dimensión finita M n ( C ) consta de un solo punto.
Espectro primitivo
La topología de  se puede definir de varias formas equivalentes. Primero lo definimos en términos del espectro primitivo .
El espectro primitivo de A es el conjunto de ideales primitivos Prim ( A ) de A , donde un ideal primitivo es el núcleo de una representación * irreducible. El conjunto de ideales primitivos es un espacio topológico con la topología del núcleo del casco (o topología de Jacobson ). Esto se define de la siguiente manera: si X es un conjunto de ideales primitivos, su cierre del núcleo del casco es
El cierre del núcleo del casco se muestra fácilmente como una operación idempotente , es decir
y se puede demostrar que satisface los axiomas de cierre de Kuratowski . Como consecuencia, se puede demostrar que hay una τ topología única en Prim ( A ) de tal manera que el cierre de un conjunto X con respecto a τ es idéntica a la de cierre casco-kernel de X .
Dado que las representaciones unitariamente equivalentes tienen el mismo núcleo, el mapa π ↦ ker (π) factoriza a través de un mapa sobreyectivo
Usamos el mapa k para definir la topología en  de la siguiente manera:
Definición . Los conjuntos abiertos de  son imágenes inversas k −1 ( U ) de subconjuntos abiertos U de Prim ( A ). De hecho, esta es una topología.
La topología de núcleo de casco es análoga a los anillos no conmutativos de la topología de Zariski para anillos conmutativos.
La topología en  inducida de la topología casco-kernel tiene otras caracterizaciones en términos de estados de A .
Ejemplos de
C * conmutativas -álgebras
El espectro de un C * -álgebra A conmutativa coincide con el dual Gelfand de A (que no debe confundirse con el dual A ' del espacio A de Banach ). En particular, suponga que X es un espacio compacto de Hausdorff . Entonces hay un homeomorfismo natural
Este mapeo está definido por
I ( x ) es un ideal máximo cerrado en C ( X ) por lo que de hecho es primitivo. Para obtener detalles de la prueba, consulte la referencia de Dixmier. Para un álgebra C * conmutativa,
El álgebra C * de operadores acotados
Sea H un espacio de Hilbert de dimensión infinita separable . L ( H ) tiene dos ideales * de norma cerrada: I 0 = {0} y el ideal K = K ( H ) de operadores compactos. Por tanto, como conjunto, Prim ( L ( H )) = { I 0 , K }. Ahora
- { K } es un subconjunto cerrado de Prim ( L ( H )).
- El cierre de { I 0 } es Prim ( L ( H )).
Por tanto, Prim ( L ( H )) es un espacio que no es de Hausdorff.
El espectro de L ( H ) por otro lado es mucho mayor. Hay muchas representaciones irreducibles inequivalentes con kernel K ( H ) o con kernel {0}.
C * -álgebras de dimensión finita
Suponga que A es un C * -álgebra de dimensión finita. Se sabe que A es isomorfo a una suma directa finita de álgebras matriciales completas:
donde min ( A ) son las proyecciones centrales mínimas de A . El espectro de A es canónicamente isomorfo a min ( A ) con la topología discreta . Para C * -álgebras de dimensión finita, también tenemos el isomorfismo
Otras caracterizaciones del espectro
La topología del núcleo del casco es fácil de describir de manera abstracta, pero en la práctica para las C * -algebras asociadas a grupos topológicos localmente compactos , son deseables otras caracterizaciones de la topología en el espectro en términos de funciones definidas positivas.
De hecho, la topología en  está íntimamente relacionada con el concepto de contención débil de representaciones, como se muestra a continuación:
- Teorema . Sea S un subconjunto de  . Entonces los siguientes son equivalentes para una representación irreducible π;
- La clase de equivalencia de π en  está en el cierre de S
- Cada estado asociado a π, que es uno de la forma
- con || ξ || = 1, es el límite débil de los estados asociados a las representaciones en S .
La segunda condición significa exactamente que π está contenida débilmente en S .
La construcción GNS es una receta para asociar estados de un C * -algebra A a representaciones de A . Según uno de los teoremas básicos asociados a la construcción GNS, un estado f es puro si y solo si la representación asociada π f es irreducible. Además, el mapeo κ: PureState ( A ) → Â definido por f ↦ π f es un mapa sobreyectivo.
A partir del teorema anterior, se puede probar fácilmente lo siguiente;
- Teorema El mapeo
- dada por la construcción GNS es continua y abierta.
El espacio Irr n ( A )
Existe otra caracterización de la topología en  que surge al considerar el espacio de representaciones como un espacio topológico con una topología de convergencia puntual adecuada. Más precisamente, sea n un número cardinal y sea H n el espacio canónico de Hilbert de dimensión n .
Irr n ( A ) es el espacio de representaciones * irreductibles de A en H n con la topología de punto débil. En términos de convergencia de redes, esta topología está definida por π i → π; si y solo si
Resulta que esta topología en Irr n ( A ) es la misma que la topología de punto fuerte, es decir, π i → π si y solo si
- Teorema . Sea  n el subconjunto de  que consta de clases de equivalencia de representaciones cuyo espacio de Hilbert subyacente tiene dimensión n . El mapa canónico Irr n ( A ) →  n es continuo y abierto. En particular,  n puede considerarse como el cociente espacio topológico de Irr n ( A ) bajo equivalencia unitaria.
Observación . El ensamblaje de los distintos  n puede resultar bastante complicado.
Estructura Mackey-Borel
 es un espacio topológico y, por tanto, también puede considerarse un espacio Borel . Una famosa conjetura de G. Mackey propuso que un grupo localmente compacto separable es de tipo I si y solo si el espacio Borel es estándar, es decir, es isomorfo (en la categoría de espacios Borel) al espacio Borel subyacente de un espacio métrico separable completo. . Mackey llamó espacios Borel con esta propiedad suave . Esta conjetura fue probada por James Glimm para álgebras C * separables en el artículo de 1961 que se enumera en las referencias siguientes.
Definición . Una representación no degenerada * π de un C * -álgebra A separable es una representación factorial si y solo si el centro del álgebra de von Neumann generado por π ( A ) es unidimensional. AC * -álgebra A es de tipo I si y solo si cualquier representación de factor separable de A es un múltiplo finito o contable de uno irreducible.
Los ejemplos de grupos localmente compactos separables G tal que C * ( G ) es de tipo I están conectado (reales) nilpotentes grupos de Lie y reales conectados semi-simples grupos de Lie. Así, los grupos de Heisenberg son todos de tipo I. Los grupos compactos y abelianos también son de tipo I.
- Teorema . Si A es separable, Â es suave si y solo si A es de tipo I.
El resultado implica una generalización de gran alcance de la estructura de representaciones de álgebras de tipo IC * separables y, en consecuencia, de grupos compactos localmente separables de tipo I.
Espectros primitivos algebraicos
Dado que un C * -álgebra A es un anillo , también podemos considerar el conjunto de ideales primitivos de A , donde A se considera algebraicamente. Para un anillo, un ideal es primitivo si y solo si es el aniquilador de un módulo simple . Resulta que para un C * -álgebra A , un ideal es algebraicamente primitivo si y solo si es primitivo en el sentido definido anteriormente.
- Teorema . Sea A un C * -álgebra. Cualquier representación algebraicamente irreducible de A en un espacio vectorial complejo es algebraicamente equivalente a una representación topológicamente irreducible * en un espacio de Hilbert. Las representaciones topológicamente irreductibles * en un espacio de Hilbert son algebraicamente isomórficas si y solo si son unitariamente equivalentes.
Este es el Corolario del Teorema 2.9.5 de la referencia de Dixmier.
Si G es un grupo localmente compacto, la topología en el espacio dual del grupo C * -álgebra C * ( G ) de G se denomina topología Fell , que lleva el nombre de JMG Fell .
Referencias
- J. Dixmier, Les C * -algèbres et leurs représentations , Gauthier-Villars, 1969.
- J. Glimm, Type IC * -algebras , Annals of Mathematics, vol 73, 1961.
- G. Mackey, The Theory of Group Representations , The University of Chicago Press, 1955.