En electromagnetismo y aplicaciones, una ecuación de onda electromagnética no homogénea , o ecuación de onda electromagnética no homogénea , es una de un conjunto de ecuaciones de onda que describen la propagación de ondas electromagnéticas generadas por cargas y corrientes de fuentes distintas de cero . Los términos fuente en las ecuaciones de onda hacen que las ecuaciones diferenciales parciales no sean homogéneas , si los términos fuente son cero, las ecuaciones se reducen a las ecuaciones de onda electromagnética homogéneas . Las ecuaciones se derivan de las ecuaciones de Maxwell .
Ecuaciones de Maxwell
Como referencia, las ecuaciones de Maxwell se resumen a continuación en unidades SI y unidades gaussianas . Gobiernan el campo eléctrico E y el campo magnético B debido a una densidad de carga de la fuente ρ y una densidad de corriente J :
Nombre Unidades SI Unidades gaussianas Ley de Gauss Ley de Gauss para el magnetismo Ecuación de Maxwell-Faraday ( ley de inducción de Faraday ) Ley circuital de Ampère (con la adición de Maxwell)
donde ε 0 es la permitividad al vacío y μ 0 es la permeabilidad al vacío . A lo largo, la relación
también se utiliza.
Unidades SI
Campos E y B
Las ecuaciones de Maxwell pueden dar directamente ecuaciones de onda no homogéneas para el campo eléctrico E y el campo magnético B . [1] Sustituyendo la electricidad por la ley de Gauss en el rizo de la ley de inducción de Faraday y usando el rizo de la identidad del rizo ∇ × (∇ × X ) = ∇ (∇ ⋅ X ) - ∇ 2 X (el último término en el el lado derecho es el vector Laplaciano , no Laplaciano aplicado en funciones escalares.) da la ecuación de onda para el campo eléctrico E :
De manera similar, al sustituir la ley de Gauss por el magnetismo en el rizo de la ley circuital de Ampère (con el término adicional dependiente del tiempo de Maxwell), y al usar el rizo de la identidad del rizo, se obtiene la ecuación de onda para el campo magnético B :
Los lados izquierdos de cada ecuación corresponden al movimiento de las olas (el operador de D'Alembert que actúa sobre los campos), mientras que los lados derechos son las fuentes de las olas. Las ecuaciones implican que las ondas EM se generan si hay gradientes en la densidad de carga ρ , circulaciones en la densidad de corriente J , densidad de corriente variable en el tiempo o cualquier combinación de estas.
Estas formas de las ecuaciones de onda no se utilizan a menudo en la práctica, ya que los términos fuente son inconvenientemente complicados. Una formulación más simple que se encuentra con más frecuencia en la literatura y se usa en teoría utiliza la formulación de potencial electromagnético , que se presenta a continuación.
Campos potenciales A y φ
Introduciendo el potencial eléctrico φ (un potencial escalar ) y el potencial magnético A (un potencial vectorial ) definido a partir de los campos E y B por:
Las cuatro ecuaciones de Maxwell en un vacío con carga ρ y fuentes de corriente J se reducen a dos ecuaciones, la ley de Gauss para la electricidad es:
dónde aquí está el Laplaciano aplicado en funciones escalares, y la ley de Ampère-Maxwell es:
dónde aquí está el vector Laplaciano aplicado en campos vectoriales. Los términos fuente son ahora mucho más simples, pero los términos de onda son menos obvios. Dado que los potenciales no son únicos, pero tienen libertad de calibre , estas ecuaciones se pueden simplificar mediante la fijación de calibre . Una opción común es la condición del calibre de Lorenz :
Entonces, las ecuaciones de onda no homogéneas se desacoplan y simétricas en los potenciales:
Como referencia, en unidades cgs, estas ecuaciones son
con la condición de calibre de Lorenz
Forma covariante de la ecuación de onda no homogénea
Las ecuaciones relativistas de Maxwell se pueden escribir en forma covariante como
dónde
es el operador de d'Alembert ,
es la corriente de cuatro ,
es el gradiente 4 , y
es el cuatro potencial electromagnético con la condición de calibre de Lorenz
Espacio-tiempo curvo
La ecuación de onda electromagnética se modifica de dos formas en el espacio-tiempo curvo , la derivada se reemplaza por la derivada covariante y aparece un nuevo término que depende de la curvatura (unidades SI).
dónde
es el tensor de curvatura de Ricci . Aquí el punto y coma indica diferenciación covariante. Para obtener la ecuación en unidades cgs, reemplace la permeabilidad con 4 π / c .
Se asume la condición de calibre de Lorenz en el espacio-tiempo curvo:
Soluciones a la ecuación de onda electromagnética no homogénea
En el caso de que no haya límites alrededor de las fuentes, las soluciones (unidades cgs) de las ecuaciones de onda no homogéneas son
y
dónde
es una función delta de Dirac .
Estas soluciones se conocen como potenciales de calibre de Lorenz retardados . Representan una superposición de ondas de luz esféricas que viajan hacia afuera desde las fuentes de las ondas, desde el presente hacia el futuro.
También existen soluciones avanzadas (unidades cgs)
y
Estos representan una superposición de ondas esféricas que viajan desde el futuro al presente.
Ver también
- Ecuación de onda
- Soluciones de onda plana sinusoidal de la ecuación de onda electromagnética
- Fórmula de Larmor
- Formulación de las ecuaciones de Maxwell en relatividad especial
- Ecuaciones de Maxwell en el espacio-tiempo curvo
- Fuerza Abraham-Lorentz
- Función de Green
Referencias
- ^ Electrodinámica clásica, Jackson, 3ª edición, p. 246
Electromagnética
artículos periodísticos
- James Clerk Maxwell, " Una teoría dinámica del campo electromagnético ", Transacciones filosóficas de la Royal Society of London 155 , 459-512 (1865). (Este artículo acompañó a una presentación del 8 de diciembre de 1864 de Maxwell a la Royal Society).
Libros de texto de nivel universitario
- Griffiths, David J. (1998). Introducción a la electrodinámica (3ª ed.) . Prentice Hall. ISBN 0-13-805326-X.
- Tipler, Paul (2004). Física para científicos e ingenieros: electricidad, magnetismo, luz y física moderna elemental (5ª ed.) . WH Freeman. ISBN 0-7167-0810-8.
- Edward M. Purcell, Electricidad y magnetismo (McGraw-Hill, Nueva York, 1985).
- Hermann A. Haus y James R. Melcher, Campos electromagnéticos y energía (Prentice-Hall, 1989) ISBN 0-13-249020-X
- Banesh Hoffman, La relatividad y sus raíces (Freeman, Nueva York, 1983).
- David H. Staelin, Ann W. Morgenthaler y Jin Au Kong, Ondas electromagnéticas (Prentice-Hall, 1994) ISBN 0-13-225871-4
- Charles F. Stevens, Las seis teorías fundamentales de la física moderna , (MIT Press, 1995) ISBN 0-262-69188-4 .
Libros de texto de nivel de posgrado
- Jackson, John D. (1998). Electrodinámica clásica (3ª ed.) . Wiley. ISBN 0-471-30932-X.
- Landau, LD , The Classical Theory of Fields (Curso de Física Teórica: Volumen 2), (Butterworth-Heinemann: Oxford, 1987).
- Maxwell, James C. (1954). Tratado sobre electricidad y magnetismo . Dover. ISBN 0-486-60637-6.
- Charles W. Misner, Kip S. Thorne , John Archibald Wheeler , Gravitation , (1970) WH Freeman, Nueva York; ISBN 0-7167-0344-0 . (Proporciona un tratamiento de las ecuaciones de Maxwell en términos de formas diferenciales).
Cálculo vectorial
- HM Schey, Div Grad Curl y todo eso: un texto informal sobre cálculo vectorial , cuarta edición (WW Norton & Company, 2005) ISBN 0-393-92516-1 .