- Consulte el cálculo de Ricci y la notación de Van der Waerden para conocer la notación.
En la teoría cuántica de campos , la ecuación de Dirac no lineal es un modelo de fermiones de Dirac que interactúan con ellos mismos . Este modelo se considera ampliamente en física cuántica como un modelo de juguete de electrones que interactúan por sí mismos . [1] [2] [3] [4] [5]
La ecuación de Dirac no lineal aparece en la teoría de la gravedad de Einstein-Cartan- Sciama-Kibble, que extiende la relatividad general a la materia con momento angular intrínseco ( espín ). [6] [7] Esta teoría elimina una restricción de la simetría de la conexión afín y trata su parte antisimétrica, el tensor de torsión , como una variable en la variación de la acción. En las ecuaciones de campo resultantes, el tensor de torsión es una función lineal homogénea del tensor de espín . El acoplamiento mínimo entre la torsión y los espinores de Dirac genera una interacción axial-axial, espín-espín en fermiónica.materia, que se vuelve significativa solo a densidades extremadamente altas. En consecuencia, la ecuación de Dirac se vuelve no lineal (cúbica) en el campo espinor, [8] [9] lo que hace que los fermiones se extiendan espacialmente y puedan eliminar la divergencia ultravioleta en la teoría cuántica de campos. [10]
Modelos
Dos ejemplos comunes son el modelo Thirring masivo y el modelo Soler .
Modelo sediento
El modelo Thirring [11] se formuló originalmente como un modelo en (1 + 1) dimensiones espacio-temporales y se caracteriza por la densidad lagrangiana
donde ψ ∈ ℂ 2 es el campo de espinor , ψ = ψ * γ 0 es el espinor adjunto de Dirac ,
( Notación de slash se utiliza), g es la constante de acoplamiento , m es la masa , y gamma μ son los dos -dimensional matrices gamma , finalmente μ = 0, 1 es un índice .
Modelo Soler
El modelo de Soler [12] se formuló originalmente en (3 + 1) dimensiones de espacio-tiempo. Se caracteriza por la densidad lagrangiana
usando las mismas notaciones anteriores, excepto
es ahora el de cuatro gradiente operador contratado con el cuatro -dimensional Dirac gamma matrices gamma μ , por lo que en ella μ = 0, 1, 2, 3 .
Teoría de Einstein-Cartan
En la teoría de Einstein-Cartan, la densidad lagrangiana para un campo de espinor de Dirac está dada por ()
dónde
es la derivada covariante de Fock-Ivanenko de un espinor con respecto a la conexión afín,es la conexión de giro ,es el determinante del tensor métrico , y las matrices de Dirac satisfacen
Las ecuaciones de campo de Einstein-Cartan para la conexión de espín producen una restricción algebraica entre la conexión de espín y el campo espinor en lugar de una ecuación diferencial parcial , lo que permite que la conexión de espín se elimine explícitamente de la teoría. El resultado final es una ecuación de Dirac no lineal que contiene una auto-interacción efectiva "espín-espín",
dónde es la derivada covariante relativista general de un espinor, y es la constante gravitacional de Einstein, . El término cúbico en esta ecuación se vuelve significativo en densidades del orden de.
Ver también
- Ecuación de Dirac
- Ecuación de Dirac en el álgebra del espacio físico
- Modelo Gross – Neveu
- Matrices gamma de mayor dimensión
- Ecuación de Schrödinger no lineal
- Identidad de Pokhozhaev para la ecuación de Dirac no lineal estacionaria
- Modelo Soler
- Modelo sediento
Referencias
- ^ Д.Д. Иваненко (1938). "Замечание к теории взаимодействия через частицы" [traducido en: DD Ivanenko, Notas a la teoría de la interacción a través de partículas, Sov. Phys. JETP 13 (1938), 141)] (PDF) . ЖЭТФ . 8 : 260-266.
- ^ R. Finkelstein; R. LeLevier y M. Ruderman (1951). "Campos de espino no lineales". Phys. Rev . 83 (2): 326–332. Código Bibliográfico : 1951PhRv ... 83..326F . doi : 10.1103 / PhysRev.83.326 .
- ^ R. Finkelstein; C. Fronsdal y P. Kaus (1956). "Campo Spinor no lineal". Phys. Rev . 103 (5): 1571-1579. Código bibliográfico : 1956PhRv..103.1571F . doi : 10.1103 / PhysRev.103.1571 .
- ^ W. Heisenberg (1957). "Teoría cuántica de campos y partículas elementales". Rev. Mod. Phys . 29 (3): 269–278. Código bibliográfico : 1957RvMP ... 29..269H . doi : 10.1103 / RevModPhys.29.269 .
- ^ Gross, David J. y Neveu, André (1974). "Simetría dinámica rompiendo en teorías de campo libre asintóticamente". Phys. Rev. D . 10 (10): 3235–3253. Código Bibliográfico : 1974PhRvD..10.3235G . doi : 10.1103 / PhysRevD.10.3235 .CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )
- ^ Dennis W. Sciama , "La estructura física de la relatividad general" . Rev. Mod. Phys. 36 , 463 - 469 (1964).
- ^ Tom WB Kibble , "invariancia de Lorentz y el campo gravitacional" . J. Math. Phys. 2 , 212 - 221 (1961).
- ^ FW Hehl y BK Datta (1971). "Ecuación de espino no lineal y conexión asimétrica en la relatividad general". J. Math. Phys . 12 (7): 1334-1339. Código bibliográfico : 1971JMP .... 12.1334H . doi : 10.1063 / 1.1665738 .
- ^ Friedrich W. Hehl; Paul von der Heyde; G. David Kerlick y James M. Nester (1976). "Relatividad general con espín y torsión: fundamentos y perspectivas". Rev. Mod. Phys . 48 (3): 393–416. Código Bibliográfico : 1976RvMP ... 48..393H . doi : 10.1103 / RevModPhys.48.393 .
- ^ Nikodem J. Popławski (2010). "Partículas de Dirac no singulares en el espacio-tiempo con torsión". Phys. Letón. B . 690 (1): 73–77. arXiv : 0910.1181 . Código Bibliográfico : 2010PhLB..690 ... 73P . doi : 10.1016 / j.physletb.2010.04.073 .
- ^ Walter Thirring (1958). "Una teoría de campo relativista soluble". Annals of Physics . 3 (1): 91-112. Código Bibliográfico : 1958AnPhy ... 3 ... 91T . doi : 10.1016 / 0003-4916 (58) 90015-0 .
- ^ Mario Soler (1970). "Campo de espino clásico, estable, no lineal con energía de reposo positiva". Phys. Rev. D . 1 (10): 2766–2769. Código Bibliográfico : 1970PhRvD ... 1.2766S . doi : 10.1103 / PhysRevD.1.2766 .