En matemáticas, específicamente en teoría espectral , un autovalor de un operador lineal cerrado se llama normal si el espacio admite una descomposición en una suma directa de un autoespacio generalizado de dimensión finita y un subespacio invariante dondetiene un inverso acotado. El conjunto de valores propios normales coincide con el espectro discreto .
Raíz lineal
Dejar ser un espacio de Banach . La raíz lineal de un operador lineal con dominio correspondiente al valor propio Se define como
dónde es el operador de identidad en . Este conjunto es una variedad lineal pero no necesariamente un espacio vectorial , ya que no está necesariamente cerrado en. Si este conjunto es cerrado (por ejemplo, cuando es de dimensión finita), se denomina espacio propio generalizado de correspondiente al valor propio .
Definición
Un valor propio de un operador lineal cerrado en el espacio Banach con dominio se llama normal (en la terminología original,corresponde a un subespacio raíz de dimensión finita normalmente dividido ), si se cumplen las dos condiciones siguientes:
- La multiplicidad algebraica de es finito: , dónde es la raíz lineal de correspondiente al valor propio ;
- El espacio podría descomponerse en una suma directa , dónde es un subespacio invariante de en el cual tiene un inverso acotado.
Es decir, la restricción de sobre es un operador con dominio y con la gama que tiene un inverso acotado. [1] [2] [3]
Definiciones equivalentes de valores propios normales
Dejar ser un operador lineal cerrado densamente definido en el espacio de Banach. Las siguientes afirmaciones son equivalentes [4] (Teorema III.88):
- es un valor propio normal;
- es un punto aislado en y es semi-Fredholm ;
- es un punto aislado en y es Fredholm ;
- es un punto aislado en y es Fredholm de índice cero;
- es un punto aislado en y el rango del proyector Riesz correspondiente es finito;
- es un punto aislado en , su multiplicidad algebraica es finito, y el rango de está cerrado . (Gohberg-Kerin 1957, 1960, 1969).
Si es un valor propio normal, entonces coincide con la gama del proyector Riesz, (Gohberg – Kerin 1969).
Relación con el espectro discreto
La equivalencia anterior muestra que el conjunto de valores propios normales coincide con el espectro discreto , definido como el conjunto de puntos aislados del espectro con rango finito del correspondiente proyector de Riesz. [5]
Descomposición del espectro de operadores no autoadjuntos
El espectro de un operador cerrado en el espacio Banach se puede descomponer en la unión de dos conjuntos disjuntos, el conjunto de valores propios normales y el quinto tipo del espectro esencial :
Ver también
Referencias
- ↑ Gohberg, I. C; Kreĭn, MG (1957). "Основные положения о дефектных числах, корневых числах и индексах линейных операторов" [ Operadores fundamentales y números de índices de defectos]. Uspekhi Mat. Nauk [ Amer. Matemáticas. Soc. Transl. (2) ]. Series nuevas. 12 (2 (74)): 43-118.
- ^ Gohberg, I. C; Kreĭn, MG (1960). "Aspectos fundamentales de los números de defectos, números de raíz e índices de operadores lineales" . Traducciones de la Sociedad Americana de Matemáticas . 13 : 185-264.
- ^ Gohberg, I. C; Kreĭn, MG (1969). Introducción a la teoría de operadores lineales no autoadjuntos . Sociedad Americana de Matemáticas, Providence, RI
- ^ Boussaid, N .; Comech, A. (2019). Ecuación de Dirac no lineal. Estabilidad espectral de ondas solitarias . Sociedad Americana de Matemáticas, Providence, RI ISBN 978-1-4704-4395-5.
- ^ Reed, M .; Simon, B. (1978). Métodos de física matemática moderna, vol. IV. Análisis de operadores . Prensa académica [Harcourt Brace Jovanovich Publishers], Nueva York.