En matemáticas , específicamente en la teoría de operadores , un operador densamente definido o un operador parcialmente definido es un tipo de función parcialmente definida . En un sentido topológico , es un operador lineal que se define " casi en todas partes ". Los operadores densamente definidos a menudo surgen en el análisis funcional como operaciones que a uno le gustaría aplicar a una clase más grande de objetos que aquellos para los que a priori "tienen sentido".
Definición
Un operador lineal densamente definidodesde un espacio vectorial topológico , a otro, es un operador lineal que se define en un subespacio lineal denso de y toma valores en escrito A veces esto se abrevia como T : X → Y cuando el contexto deja claro quepodría no ser el dominio de la teoría de conjuntos de
Ejemplos de
Considere el espacio de todos los valores reales- , funciones continuas definidas en el intervalo de la unidad; dejardenotar el subespacio que consta de todas las funciones continuamente diferenciables . Equiparcon la norma supremum ; Esto haceen un espacio real de Banach . El operador de diferenciación dada por
La integral de Paley-Wiener , por otro lado, es un ejemplo de una extensión continua de un operador densamente definido. En cualquier espacio abstracto de Wiener con adjunto hay un operador lineal continuo natural (de hecho es la inclusión, y es una isometría ) de a bajo el cual va a la clase de equivalencia de en Se puede demostrar que es denso en Dado que la inclusión anterior es continua, existe una extensión lineal continua única de la inclusión a la totalidad de Esta extensión es el mapa Paley-Wiener.
Ver también
- Teorema del gráfico cerrado (análisis funcional) : teoremas para deducir la continuidad del gráfico de una función
- Función parcial : función cuyo dominio real de definición puede ser más pequeño que su dominio aparente