En la asignatura matemática de la teoría de grupos , un grupo de un relator es un grupo dado por una presentación grupal con una única relación definitoria. Los grupos de un relator juegan un papel importante en la teoría de grupos geométricos al proporcionar muchos ejemplos explícitos de grupos presentados de manera finita.
Definicion formal
Un grupo de un relator es un grupo G que admite una presentación grupal del formulario
( 1 )
donde X es un conjunto (en general posiblemente infinito), y donde es una palabra que se reduce libre y cíclicamente.
Si Y es el conjunto de todas las letrasque aparecen en r y luego
Por esa razón, generalmente se asume que X en ( 1 ) es finito cuando se discuten los grupos de un relator, en cuyo caso ( 1 ) se puede reescribir más explícitamente como
( 2 )
dónde por algún entero
Freiheitssatz
Sea G un grupo de un relator dado por la presentación ( 1 ) anterior. Recuerde que r es una palabra que se reduce libre y cíclicamente en F ( X ). Dejar ser una carta tal que o aparece en r . Dejar. El subgrupose llama un subgrupo Magnus de G .
Un famoso teorema de 1930 de Wilhelm Magnus , [1] conocido como Freiheitssatz , establece que en esta situación H es generada libremente por, es decir, . Ver también [2] [3] para otras pruebas.
Propiedades de los grupos de un relator
Aquí asumimos que un grupo de un relator G viene dado por la presentación ( 2 ) con un conjunto generador finito y una relación definitoria no trivial libre y cíclicamente reducida .
- Un grupo G de un relator está libre de torsión si y solo si no es un poder adecuado.
- Cada grupo G de un relator está virtualmente libre de torsión, es decir, admite un subgrupo libre de torsión de índice finito . [4]
- Una presentación de un relator es esquemáticamente asférica. [5]
- Si no es una potencia adecuada, entonces el complejo de presentación P para la presentación ( 2 ) es un complejo finito de Eilenberg-MacLane . [6]
- Si no es un poder adecuado, entonces un grupo de un relator G tiene una dimensión cohomológica .
- Un grupo de un relator G es libre si y solo sies un elemento primitivo ; en este caso G está libre del rango n - 1. [7]
- Supongamos que el elemento es de longitud mínima bajo la acción de y supongamos que para cada ya sea o ocurre en r . Entonces el grupo G es libremente indecomponible . [8]
- Si no es un poder adecuado, entonces un grupo de un relator G es localmente indicable , es decir, cada subgrupo de G no trivial generado finitamente admite un homomorfismo de grupo en. [9]
- Cada grupo G de un relator tiene un problema verbal que se puede resolver algorítmicamente . [10]
- Si G es un grupo de un relator yes un subgrupo Magnus, entonces el problema de pertenencia al subgrupo para H en G es decidible. [10]
- Se desconoce si los grupos de un relator tienen un problema de conjugación solucionable .
- Se desconoce si el problema del isomorfismo es decidible para la clase de grupos de un solo relator.
- Un grupo de un relator G dado por la presentación ( 2 ) tiene rango n (es decir, no puede ser generado por menos de n elementos) a menos quees un elemento primitivo. [11]
- Sea G un grupo de un relator dado por la presentación ( 2 ). Sientonces el centro de G es trivial,. Siy G es no abeliano con centro no trivial, entonces el centro de G es cíclico infinito . [12]
- Dejar dónde . Dejar y ser los cierres normales de r y s en F ( X ) en consecuencia. Luego si y solo si es conjugado a o en F ( X ). [13] [14]
- Existe un grupo de un relator generado finitamente que no es hopfiano y, por lo tanto, no es residualmente finito , por ejemplo, el grupo Baumslag-Solitar . [15]
- Sea G un grupo de un relator dado por la presentación ( 2 ). Entonces G satisface la siguiente versión de la alternativa de Tetas . Si G está libre de torsión, entonces cada subgrupo de G contiene un grupo libre de rango 2 o se puede resolver . Si G tiene torsión no trivial, entonces cada subgrupo de G contiene un grupo libre de rango 2, o es cíclico , o es diedro infinito . [dieciséis]
- Sea G un grupo de un relator dado por la presentación ( 2 ). Entonces el subgrupo normal admite una base libre de la forma para alguna familia de elementos . [17]
Grupos de un relator con torsión
Suponga un grupo de un relator G dado por la presentación ( 2 ) donde dónde y donde no es una potencia adecuada (y por lo tanto s también se reduce libre y cíclicamente). Entonces la siguiente espera:
- El elemento s tiene orden m en G , y todo elemento de orden finito en G está conjugado a una potencia de s . [18]
- Cada subgrupo finito de G se conjuga a un subgrupo deen G . Además, el subgrupo de G generado por todos los elementos de torsión es un producto libre de una familia de conjugados deen G . [4]
- G admite un subgrupo normal libre de torsión de índice finito. [4]
- "Teorema de ortografía" de Newman [19] [20] Sea ser una palabra libremente reducida de modo que en G . Entonces w contiene una subpalabra v tal que v también es una subpalabra de o de longitud . Desde Eso significa que y la presentación ( 2 ) de G es una presentación de Dehn .
- G tiene dimensión cohomológica virtual. [21]
- G es un grupo hiperbólico de palabras . [22]
- G tiene un problema de conjugación decidible . [19]
- G es coherente , es decir, cada subgrupo de G generado de forma finita es presentable de manera finita. [23]
- El problema del isomorfismo es decidible para los grupos de un relator generados finitamente con torsión, en virtud de su hiperbolicidad. [24]
- G es residualmente finito . [25]
Método Magnus-Moldavansky
Comenzando con el trabajo de Magnus en la década de 1930, la mayoría de los resultados generales sobre grupos de un relator se prueban por inducción en la longitud | r | del relator definitorio r . La siguiente presentación sigue la Sección 6 del Capítulo II de Lyndon y Schupp [26] y la Sección 4.4 de Magnus, Karrass y Solitar [27] para el enfoque original de Magnus y la Sección 5 del Capítulo IV de Lyndon y Schupp [28] para la HNN de Moldavansky -versión de extensión de ese enfoque. [29]
Sea G un grupo de un relator dado por la presentación ( 1 ) con un conjunto generador X finito . Suponga también que todo generador de X ocurre realmente en r .
Por lo general, se puede asumir que (ya que, de lo contrario, G es cíclico y cualquier afirmación que se esté probando sobre G suele ser obvia).
El caso principal a considerar cuando algún generador, digamos t , de X ocurre en r con una suma de exponentes 0 en t . Deciren este caso. Para cada generador uno denota dónde . Entonces r se puede reescribir como una palabra en estos nuevos generadores con .
Por ejemplo, si luego .
Dejar ser el alfabeto que consiste en la parte de dado por todos con dónde son los subíndices mínimo y máximo con los que ocurre en .
Magnus observó que el subgrupo es en sí mismo un grupo de un relator con la presentación de un relator . Tenga en cuenta que desde, normalmente se puede aplicar la hipótesis inductiva a al probar una declaración particular acerca de G .
Además, si por luego es también un grupo de un relator, donde se obtiene de cambiando todos los subíndices por . Entonces el cierre normal de en G es
El enfoque original de Magnus explotó el hecho de que N es en realidad un producto amalgamado iterado de los grupos, amalgamados a lo largo de subgrupos libres de Magnus adecuadamente elegidos. Su prueba de Freiheitssatz y de la solución del problema verbal para grupos de un solo relator se basó en este enfoque.
Más tarde Moldavansky simplifica el marco y tomó nota de que en este caso G en sí es una HNN-extensión de L con subgrupos asociados siendo Magnus subgrupos libres de L .
Si por cada generador de sus subíndices mínimo y máximo en son iguales entonces y el paso inductivo suele ser fácil de manejar en este caso.
Supongamos entonces que algún generador de ocurre en con al menos dos subíndices distintos. Nosotros ponemos para ser el conjunto de todos los generadores de con subíndices no máximos y ponemos para ser el conjunto de todos los generadores de con subíndices no máximos. (Por lo tanto, cada generador de y de ocurre en con un subíndice no único). y son subgrupos de Magnus libres de L y. Moldavansky observó que en esta situación
es un HNN-extensión de L . Este hecho permite a menudo que demuestra algo acerca de G usando la hipótesis de inducción sobre el grupo de una sola relator L a través de la utilización de métodos en forma normal y las propiedades algebraicas estructurales para el HNN-extensión G .
El caso general, tanto en la configuración original de Magnus como en la simplificación de Moldavansky, requiere tratar la situación en la que no ocurre ningún generador de X con una suma de exponente 0 en r . Supongamos que letras distintasocurren en r con exponentes distintos de cerorespectivamente. Considere un homomorfismo dada por y la fijación de los otros generadores de X . Entonces parala suma del exponente en y es igual a 0. El mapa f induce un homomorfismo de grupo que resulta ser una incrustación. El grupo de un relator G ' puede entonces tratarse utilizando el enfoque de Moldavansky. Cuándose divide como una extensión HNN de un grupo de un relator L , el relator definitoriode L todavía resulta ser más corto que r , lo que permite que prosigan los argumentos inductivos. El enfoque original de Magnus utilizó una versión similar de un truco de incrustación para lidiar con este caso.
Grupos de dos generadores y un relator
Resulta que muchos grupos de dos generadores y un relator se dividen como productos semidirectos. . Este hecho fue observado por Ken Brown al analizar el invariante BNS de los grupos de un relator utilizando el método Magnus-Moldavansky.
Es decir, sea G un grupo de un relator dado por la presentación ( 2 ) con y deja ser un epimorfismo. Entonces uno puede cambiar una base libre de a una base tal que y reescribir la presentación de G en estos generadores como
dónde es una palabra que se reduce libre y cíclicamente.
Desde , la suma del exponente en t en r es igual a 0. De nuevo, poniendo, podemos reescribir r como una palabra en Dejar ser los subíndices mínimo y máximo de los generadores que ocurren en . Brown mostró [30] que se genera finitamente si y solo si y ambos y ocurrir exactamente una vez en , y además, en ese caso el grupo está libre. Por tanto, sies un epimorfismo con un núcleo generado finita, luego G se divide como dónde es un grupo libre de rango finito .
Más tarde, Dunfield y Thurston demostraron [31] que si un grupo de dos generadores de un relatorse elige "al azar" (es decir, una palabra r cíclicamente reducida de longitud n en se elige uniformemente al azar) entonces la probabilidad que un homomorfismo de G sobre con un kernel generado finitamente existe satisface
para todo lo suficientemente grande n . Además, sus datos experimentales indican que el valor límite para esta cerca de .
Ejemplos de grupos de un relator
- Grupo abeliano libre
- Grupo Baumslag – Solitar dónde .
- Grupo de nudos de toro dónde son enteros coprimos .
- Grupo Baumslag-Gersten
- Grupo de superficies orientadas dónde y donde .
- Grupo de superficies no orientadas , dónde .
Generalizaciones y problemas abiertos
- Si A y B son dos grupos, yes un elemento en su producto gratuito , uno puede considerar un producto de un relator .
- La llamada conjetura de Kervaire, también conocida como conjetura de Kervaire-Laudenbach, pregunta si es cierto que si A es un grupo no trivial y es cíclico infinito entonces para cada el producto de un relator no es trivial. [32]
- Klyachko demostró la conjetura de Kervaire para el caso en el que A está libre de torsión. [33]
- Una conjetura atribuida a Gersten [22] dice que un grupo de un relator generado finitamente es hiperbólico de palabras si y sólo si no contiene subgrupos Baumslag-Solitar.
- Si G es un grupo de un relator generado finitamente (con o sin torsión), es un subgrupo libre de torsión de índice finito y es un epimorfismo entonces tiene dimensión cohomológica 1 y por tanto, por resultado de Stallings, es localmente libre. [34] Baumslag , con coautores, demostró que en muchos casos, mediante una elección adecuada de H y uno puede probar que eso es realmente gratis (de rango infinito). [35] [36] Estos resultados llevaron a la conjetura [22] de que cada grupo de un relator generado finitamente con torsión es libre por cíclico.
Ver también
- 3 colectores
- Topología geométrica
- Teoría de la pequeña cancelación
Fuentes
- Wilhelm Magnus , Abraham Karrass, Donald Solitar, teoría de grupos combinatorios. Presentaciones de grupos en términos de generadores y relaciones , Reimpresión de la segunda edición de 1976, Dover Publications, Inc., Mineola, NY, 2004. ISBN 0-486-43830-9 . SEÑOR2109550
- Lyndon, Roger C .; Schupp, Paul E. (2001). Teoría de grupos combinatoria . Clásicos de las matemáticas. Springer-Verlag, Berlín. ISBN 3-540-41158-5. Señor 1812024 .
Referencias
- ^ Magnus, Wilhelm (1930). "Über diskontinuierliche Gruppen mit einer definierenden Relation. (Der Freiheitssatz)". Journal für die reine und angewandte Mathematik . 1930 (163): 141-165. doi : 10.1515 / crll.1930.163.141 . Señor 1581238 .
- ^ Lyndon, Roger C. (1972). "En el Freiheitssatz". Revista de la Sociedad Matemática de Londres . Segunda Serie. 5 : 95-101. doi : 10.1112 / jlms / s2-5.1.95 . Señor 0294465 .
- ^ Weinbaum, CM (1972). "Sobre relatores y diagramas para grupos con una relación definitoria" . Revista de Matemáticas de Illinois . 16 (2): 308–322. doi : 10.1215 / ijm / 1256052287 . Señor 0297849 .
- ^ a b c Fischer, J .; Karrass, A .; Solitar, D. (1972). "Sobre grupos de un relator que tienen elementos de orden finito" . Actas de la American Mathematical Society . 33 (2): 297-301. doi : 10.2307 / 2038048 . JSTOR 2038048 . Señor 0311780 .
- ^ Lyndon y Schupp, cap. III, Sección 11, Proposición 11.1, p. 161
- ^ Dyer, Eldon; Vásquez, AT (1973). "Algunos pequeños espacios asféricos" . Revista de la Sociedad Matemática Australiana . 16 (3): 332–352. doi : 10.1017 / S1446788700015147 . Señor 0341476 .
- ^ Magnus, Karrass y Solitar, Teorema N3, p. 167
- ^ Shenitzer, Abe (1955). "Descomposición de un grupo con una única relación definitoria en un producto libre" . Actas de la American Mathematical Society . 6 (2): 273–279. doi : 10.2307 / 2032354 . JSTOR 2032354 . Señor 0069174 .
- ^ Howie, James (1980). "Sobre grupos indicables localmente". Mathematische Zeitschrift . 182 (4): 445–461. doi : 10.1007 / BF01214717 . Señor 0667000 .
- ↑ a b Magnus, Karrass y Solitar, Teorema 4.14, p. 274
- ^ Lyndon y Schupp, cap. II, Sección 5, Proposición 5.11
- ^ Murasugi, Kunio (1964). "El centro de un grupo con una única relación definitoria". Mathematische Annalen . 155 (3): 246-251. doi : 10.1007 / BF01344162 . Señor 0163945 .
- ^ Magnus, Wilhelm (1931). "Untersuchungen über einige unendliche diskontinuierliche Gruppen". Mathematische Annalen . 105 (1): 52–74. doi : 10.1007 / BF01455808 . Señor 1512704 .
- ^ Lyndon y Schupp, p. 112
- ^ Gilbert Baumslag; Donald Solitar (1962). "Algunos grupos no Hopfianos de dos generadores y un relator" . Boletín de la American Mathematical Society . 68 (3): 199–201. doi : 10.1090 / S0002-9904-1962-10745-9 . Señor 0142635 .
- ^ Chebotarʹ, AA (1971). "Subgrupos de grupos con una relación definitoria que no contienen subgrupos libres de rango 2" (PDF) . Álgebra i Logika . 10 (5): 570–586. Señor 0313404 .
- ^ Cohen, Daniel E .; Lyndon, Roger C. (1963). "Bases libres para subgrupos normales de grupos libres" . Transacciones de la American Mathematical Society . 108 (3): 526–537. doi : 10.1090 / S0002-9947-1963-0170930-9 . Señor 0170930 .
- ^ Karrass, A .; Magnus, W .; Solitar, D. (1960). "Elementos de orden finito en grupos con una única relación definitoria". Comunicaciones sobre Matemática Pura y Aplicada . 13 : 57–66. doi : 10.1002 / cpa.3160130107 . Señor 0124384 .
- ^ a b Newman, BB (1968). "Algunos resultados en grupos de un relator" . Boletín de la American Mathematical Society . 74 (3): 568–571. doi : 10.1090 / S0002-9904-1968-12012-9 . Señor 0222152 .
- ^ Lyndon y Schupp, cap. IV, Teorema 5.5, pág. 205
- ^ Howie, James (1984). "Cohomología de productos de un relator de grupos localmente indicables". Revista de la Sociedad Matemática de Londres . 30 (3): 419–430. doi : 10.1112 / jlms / s2-30.3.419 . Señor 0810951 .
- ^ a b c Baumslag, Gilbert; Bien, Benjamín; Rosenberger, Gerhard (2019). "Grupos de un relator: una visión general" . Grupos St Andrews 2017 en Birmingham . London Math. Soc. Lecture Note Ser. 455 . Prensa de la Universidad de Cambridge. págs. 119-157. ISBN 978-1-108-72874-4. Señor 3931411 .
- ^ Más fuerte, Larsen; Wilton, Henry (2020). "Los grupos de un relator con torsión son coherentes". Cartas de investigación matemática . 27 (5): 1499-1512. arXiv : 1805.11976 . doi : 10.4310 / MRL.2020.v27.n5.a9 . Señor 4216595 .
- ^ Dahmani, Francois; Guirardel, Vincent (2011). "El problema del isomorfismo para todos los grupos hiperbólicos" . Análisis geométrico y funcional . 21 (2): 223–300. doi : 10.1007 / s00039-011-0120-0 . Señor 2795509 .
- ^ Wise, Daniel T. (2009). "Anuncio de investigación: la estructura de grupos con una jerarquía cuasiconvexa" . Anuncios electrónicos de investigación en ciencias matemáticas . 16 : 44–55. doi : 10.3934 / era.2009.16.44 . Señor 2558631 .
- ^ Lyndon y Schupp, Capítulo II, Sección 6, págs. 111-113
- ↑ Magnus, Karrass y Solitar, Sección 4.4
- ^ Lyndon y Schupp, Capítulo IV, Sección 5, págs. 198-205
- ^ Moldavanskii, DI (1967). "Ciertos subgrupos de grupos con una relación definitoria". Revista matemática de Siberia . 8 : 1370-1384. doi : 10.1007 / BF02196411 . Señor 0220810 .
- ^ Brown, Kenneth S. (1987). "Árboles, valoraciones e invariante de Bieri-Neumann-Strebel". Inventiones Mathematicae . 90 (3): 479–504. Código Bibliográfico : 1987InMat..90..479B . doi : 10.1007 / BF01389176 . Señor 0914847 ., Teorema 4.3
- ^ Dunfield, Nathan; Thurston, Dylan (2006). "Un túnel aleatorio número uno 3-múltiple no atraviesa el círculo" . Geometría y topología . 10 (4): 2431–2499. doi : 10.2140 / gt.2006.10.2431 . Señor 2284062 ., Teorema 6.1
- ^ Gersten, SM (1987). "Ecuaciones no singulares de pequeño peso sobre grupos". Teoría y topología combinatoria de grupos (Alta, Utah, 1984) . Anales de estudios matemáticos. 111 . Prensa de la Universidad de Princeton. págs. 121-144. doi : 10.1515 / 9781400882083-007 . ISBN 0-691-08409-2. Señor 0895612 .
- ^ Klyachko, AA (1993). "Una propiedad divertida de la esfera y las ecuaciones sobre grupos". Comunicaciones en álgebra . 21 (7): 2555-2575. doi : 10.1080 / 00927879308824692 . Señor 1218513 .
- ^ John R. Stallings (1968). "Los grupos de dimensión 1 son localmente gratuitos" . Boletín de la American Mathematical Society . 74 (2): 361–364. doi : 10.1090 / S0002-9904-1968-11955-X . Señor 0223439 .
- ^ Baumslag, Gilbert; Bien, Benjamín; Miller, Charles F., III; Troeger, Douglas (2009). "Propiedades virtuales de grupos de un relator cíclicamente pinzados". Revista Internacional de Álgebra y Computación . 19 (2): 213-227. doi : 10.1142 / S0218196709005032 . Señor 2512551 .
- ^ Baumslag, Gilbert; Troeger, Douglas (2008). "Virtualmente libre por grupos cíclicos de un relator. I.". Aspectos de grupos infinitos . Álgebra y Matemática Discreta. 1 . Publicaciones científicas mundiales. ISBN 978-981-279-340-9. Señor 2571508 .
enlaces externos
- Notas de Andrew Putman sobre los grupos de un solo relator , Universidad de Notre Dame