En matemáticas , más específicamente en teoría de grupos , el carácter de una representación de grupo es una función sobre el grupo que asocia a cada elemento del grupo la traza de la matriz correspondiente . El personaje lleva la información esencial sobre la representación en una forma más condensada. Georg Frobenius desarrolló inicialmente la teoría de la representación de grupos finitos basada enteramente en los personajes, y sin ninguna realización matricial explícita de las representaciones mismas. Esto es posible porque una representación compleja de un grupo finitoestá determinada (hasta el isomorfismo ) por su carácter. La situación con las representaciones sobre un campo de características positivas , las llamadas "representaciones modulares", es más delicada, pero Richard Brauer desarrolló una poderosa teoría de los personajes también en este caso. Muchos teoremas profundos sobre la estructura de grupos finitos utilizan caracteres de representaciones modulares .
Los caracteres de representaciones irreductibles codifican muchas propiedades importantes de un grupo y, por lo tanto, pueden usarse para estudiar su estructura. La teoría de caracteres es una herramienta esencial en la clasificación de grupos simples finitos . Cerca de la mitad de la demostración del teorema de Feit-Thompson implica cálculos intrincados con valores de caracteres. Los resultados más fáciles, pero aún esenciales, que usan la teoría del carácter incluyen el teorema de Burnside (desde entonces se ha encontrado una prueba puramente teórica de grupos del teorema de Burnside, pero esa prueba llegó más de medio siglo después de la prueba original de Burnside), y un teorema de Richard Brauer y Michio Suzuki afirmando que un grupo simple finitono puede tener un grupo de cuaterniones generalizada como su Sylow 2 -subgroup .
Deje que V sea una dimensión finita espacio vectorial sobre un campo F y dejar que ρ : G → GL ( V ) sea una representación de un grupo G en V . El carácter de ρ es la función χ ρ : G → F dada por
Un carácter χ ρ se llama irreducible o simple si ρ es una representación irreducible . El grado del carácter χ es la dimensión de ρ ; en la característica cero es igual al valor χ (1) . Un carácter de grado 1 se llama lineal . Cuando G es finito y F tiene característica cero, el núcleo del carácter χ ρ es el subgrupo normal :
que es precisamente el núcleo de la representación ρ . Sin embargo, el personaje no es un homomorfismo de grupo en general.
donde ρ ⊕ σ es la suma directa , ρ ⊗ σ es el producto tensorial , ρ ∗ denota la transpuesta conjugada de ρ , y Alt 2 es el producto alterno Alt 2 ρ = ρ ∧ ρ y Sym 2 es el cuadrado simétrico , que es determinado por