En matemáticas , una parábola es una curva plana que es simétrica y está aproximadamente U- forma . Se ajusta a varias descripciones matemáticas superficialmente diferentes , que se puede probar que definen exactamente las mismas curvas.
Una descripción de una parábola involucra un punto (el foco ) y una línea (la directriz ). El foco no está en la directriz. La parábola es el lugar geométrico de los puntos en ese plano que son equidistantes tanto de la directriz como del foco. Otra descripción de una parábola es como una sección cónica , creada a partir de la intersección de una superficie cónica circular derecha y un plano paralelo a otro plano que es tangencial a la superficie cónica. [a]
La línea perpendicular a la directriz y que pasa por el foco (es decir, la línea que divide la parábola por el medio) se llama "eje de simetría". El punto donde la parábola se cruza con su eje de simetría se llama " vértice " y es el punto donde la parábola tiene una curva más pronunciada. La distancia entre el vértice y el foco, medida a lo largo del eje de simetría, es la "distancia focal". El " latus recto " es la cuerda de la parábola que es paralela a la directriz y pasa por el foco. Las parábolas pueden abrirse hacia arriba, hacia abajo, hacia la izquierda, hacia la derecha o en alguna otra dirección arbitraria. Cualquier parábola se puede reposicionar y cambiar de escala para que encaje exactamente en cualquier otra parábola, es decir, todas las parábolas son geométricamente similares .
Las parábolas tienen la propiedad de que, si están hechas de material que refleja la luz , entonces la luz que viaja paralela al eje de simetría de una parábola y golpea su lado cóncavo se refleja en su foco, sin importar en qué lugar de la parábola ocurra la reflexión. Por el contrario, la luz que se origina en una fuente puntual en el foco se refleja en un haz paralelo (" colimado "), dejando la parábola paralela al eje de simetría. Los mismos efectos ocurren con el sonido y otras ondas. Esta propiedad reflectante es la base de muchos usos prácticos de las parábolas.
La parábola tiene muchas aplicaciones importantes, desde una antena parabólica o un micrófono parabólico hasta los reflectores de los faros de los automóviles y el diseño de misiles balísticos . Se utiliza con frecuencia en física , ingeniería y muchas otras áreas.
Historia
El primer trabajo conocido sobre secciones cónicas fue de Menaecmo en el siglo IV a. C. Descubrió una forma de resolver el problema de duplicar el cubo usando parábolas. (La solución, sin embargo, no cumple los requisitos de construcción con compás y regla no graduada .) El área encerrada por una parábola y un segmento de línea, el llamado "segmento de parábola", fue calculada por Arquímedes mediante el método de agotamiento en el siglo III a. C., en su La cuadratura de la parábola . El nombre "parábola" se debe a Apolonio , quien descubrió muchas propiedades de las secciones cónicas. Significa "aplicación", refiriéndose al concepto de "aplicación de áreas", que tiene una conexión con esta curva, como lo había demostrado Apolonio. [1] La propiedad foco-directriz de la parábola y otras secciones cónicas se debe a Pappus .
Galileo demostró que la trayectoria de un proyectil sigue una parábola, consecuencia de la aceleración uniforme debida a la gravedad.
La idea de que un reflector parabólico pudiera producir una imagen ya era bien conocida antes de la invención del telescopio reflector . [2] Los diseños fueron propuestos a principios y mediados del siglo XVII por muchos matemáticos , incluidos René Descartes , Marin Mersenne , [3] y James Gregory . [4] Cuando Isaac Newton construyó el primer telescopio reflector en 1668, se saltó el uso de un espejo parabólico debido a la dificultad de fabricación y optó por un espejo esférico . Los espejos parabólicos se utilizan en la mayoría de los telescopios reflectores modernos y en antenas parabólicas y receptores de radar . [5]
Definición como lugar geométrico de puntos
Una parábola se puede definir geométricamente como un conjunto de puntos ( lugar geométrico de puntos ) en el plano euclidiano:
- Una parábola es un conjunto de puntos, tal que para cualquier punto del conjunto la distancia a un punto fijo , el foco , es igual a la distancia a una línea fija , la directriz :
El punto medio de la perpendicular desde el foco en la directriz se llama vértice , y la líneaes el eje de simetría de la parábola.
En un sistema de coordenadas cartesiano
Eje de simetría paralelo al eje y
Si se introducen coordenadas cartesianas , tales que y la directriz tiene la ecuación , se obtiene por un punto de la ecuacion . Resolviendo para rendimientos
Esta parábola tiene forma de U ( apertura a la parte superior ).
La cuerda horizontal a través del foco (vea la imagen en la sección inicial) se llama latus recto ; la mitad es el recto semi-latus . El recto latus es paralelo a la directriz. El recto semilato se designa con la letra. De la imagen se obtiene
El latus recto se define de manera similar para las otras dos cónicas: la elipse y la hipérbola. El recto latus es la línea trazada a través de un foco de una sección cónica paralela a la directriz y termina en ambos sentidos por la curva. En cualquier caso,es el radio del círculo osculante en el vértice. Para una parábola, el recto semi-latus,, es la distancia entre el foco y la directriz. Usando el parámetro, la ecuación de la parábola se puede reescribir como
De manera más general, si el vértice es , el foco y la directriz , se obtiene la ecuación
- Observaciones
- En el caso de la parábola tiene una apertura hacia abajo.
- La presunción de que el eje es paralelo al eje y permite considerar una parábola como la gráfica de un polinomio de grado 2, y viceversa: la gráfica de un polinomio arbitrario de grado 2 es una parábola (ver la siguiente sección).
- Si uno intercambia y , se obtienen ecuaciones de la forma . Estas parábolas se abren hacia la izquierda (si) oa la derecha (si ).
Caso general
Si el foco es y la directriz , entonces se obtiene la ecuación
(el lado izquierdo de la ecuación usa la forma normal de Hesse de una línea para calcular la distancia).
Para una ecuación paramétrica de una parábola en posición general, ver § Como imagen afín de la parábola unitaria .
La ecuación implícita de una parábola está definida por un polinomio irreducible de grado dos:
tal que o, de manera equivalente, tal que es el cuadrado de un polinomio lineal .
Como gráfica de una función
La sección anterior muestra que cualquier parábola con el origen como vértice y el eje y como eje de simetría se puede considerar como la gráfica de una función.
Para las parábolas se abren hacia arriba, y para se abren hacia abajo (ver imagen). De la sección anterior se obtiene:
- El foco es,
- la distancia focal , el recto semi-latus es,
- el vértice es,
- la directriz tiene la ecuación,
- la tangente en el punto tiene la ecuación .
Para la parábola es la parábola unitaria con ecuación. Su enfoque es, el recto semi-latus , y la directriz tiene la ecuación .
La función general del grado 2 es
- .
Completando los rendimientos cuadrados
que es la ecuación de una parábola con
- el eje (paralelo al eje y ),
- la distancia focal , el recto semi-latus ,
- el vértice ,
- el foco ,
- la directriz ,
- el punto de la parábola que cruza el eje y tiene coordenadas,
- la tangente en un punto del eje y tiene la ecuación.
Similitud con la parábola unitaria
Dos objetos en el plano euclidiano son similares si uno puede transformarse en el otro por una similitud , es decir, una composición arbitraria de movimientos rígidos ( traslaciones y rotaciones ) y escalas uniformes .
Una parábola con vértice puede ser transformado por la traducción a uno con el origen como vértice. Una rotación adecuada alrededor del origen puede transformar la parábola en una que tenga el eje y como eje de simetría. De ahí la parábola se puede transformar mediante un movimiento rígido en una parábola con una ecuación . Una parábola así se puede transformar mediante la escala uniforme en la parábola unitaria con ecuación . Por lo tanto, cualquier parábola se puede asignar a la parábola unitaria mediante una similitud. [6]
También se puede utilizar un enfoque sintético , utilizando triángulos similares, para establecer este resultado. [7]
El resultado general es que dos secciones cónicas (necesariamente del mismo tipo) son similares si y solo si tienen la misma excentricidad. [6] Por lo tanto, solo los círculos (todos con excentricidad 0) comparten esta propiedad con las parábolas (todos con excentricidad 1), mientras que las elipses e hipérbolas generales no.
Hay otras transformaciones afines simples que mapean la parábola en la parábola de la unidad, como . Pero este mapeo no es una similitud, y solo muestra que todas las parábolas son afinamente equivalentes (ver § Como imagen afín de la parábola unitaria ).
Como sección cónica especial
El lápiz de secciones cónicas con el eje x como eje de simetría, un vértice en el origen (0, 0) y el mismo recto semilato puede ser representado por la ecuación
con la excentricidad .
- Para la cónica es un círculo (círculo osculante del lápiz),
- por una elipse ,
- por la parábola con ecuación
- por una hipérbola (ver imagen).
En coordenadas polares
Si p > 0 , la parábola con ecuación(apertura a la derecha) tiene la representación polar
- ( ).
Su vértice es , y su enfoque es .
Si uno cambia el origen al foco, es decir, , se obtiene la ecuación
Observación 1: La inversión de esta forma polar muestra que una parábola es la inversa de un cardioide .
Observación 2: La segunda forma polar es un caso especial de un lápiz de cónicas con foco (ver foto):
- ( es la excentricidad).
Sección cónica y forma cuadrática
Diagrama, descripción y definiciones
El diagrama representa un cono con su eje AV . El punto A es su vértice . Una sección transversal inclinada del cono, que se muestra en rosa, está inclinada desde el eje en el mismo ángulo θ , como el lado del cono. Según la definición de una parábola como sección cónica, el límite de esta EPD de sección transversal rosa es una parábola.
Una sección transversal perpendicular al eje del cono pasa por el vértice P de la parábola. Esta sección transversal es circular, pero parece elíptica cuando se ve oblicuamente, como se muestra en el diagrama. Su centro es V y PK es un diámetro. Llamaremos a su radio r .
Otra sección transversal circular perpendicular al eje del cono está más alejada del vértice A que la que se acaba de describir. Tiene un acorde DE , que une los puntos donde la parábola se cruza con el círculo. Otro acorde BC es la bisectriz perpendicular de DE y, en consecuencia, es un diámetro del círculo. Estos dos acordes y el eje de simetría de la parábola PM se cruzan en el punto M.
Todos los puntos etiquetados, excepto D y E, son coplanares . Están en el plano de simetría de toda la figura. Esto incluye el punto F, que no se menciona anteriormente. Se define y comenta a continuación, en § Posición del foco .
Llamemos a la longitud de DM y de EM x , y la longitud de PM y .
Derivación de ecuación cuadrática
Las longitudes de BM y CM son:
- (el triángulo BPM es isósceles , porque ),
- (PMCK es un paralelogramo ).
Usando el teorema de los acordes que se cruzan en los acordes BC y DE , obtenemos
Sustituyendo:
Reorganizando:
Para cualquier cono dado y parábola, r y θ son constantes, pero x e y son variables que dependen de la altura arbitraria a la que se hace la sección transversal horizontal BECD. Esta última ecuación muestra la relación entre estas variables. Se pueden interpretar como coordenadas cartesianas de los puntos D y E, en un sistema en el plano rosa con P como origen. Dado que x se eleva al cuadrado en la ecuación, el hecho de que D y E estén en lados opuestos del eje y no es importante. Si las horizontales de la sección transversal se mueve hacia arriba o hacia abajo, hacia o lejos desde el vértice del cono, D y E movimiento a lo largo de la parábola, manteniendo siempre la relación entre x y y se muestran en la ecuación. La curva parabólica es, por tanto, el lugar geométrico de los puntos donde se satisface la ecuación, lo que la convierte en un gráfico cartesiano de la función cuadrática en la ecuación.
Longitud focal
En una sección anterior se demuestra que si una parábola tiene su vértice en el origen y se abre en la dirección y positiva , entonces su ecuación es y =x 2/4 f, donde f es su distancia focal. [b] Comparando esto con la última ecuación anterior, se muestra que la distancia focal de la parábola en el cono es r sen θ .
Posición del foco
En el diagrama de arriba, el punto V es el pie de la perpendicular desde el vértice de la parábola al eje del cono. El punto F es el pie de la perpendicular desde el punto V al plano de la parábola. [c] Por simetría, F está en el eje de simetría de la parábola. El ángulo VPF es complementario a θ , y el ángulo PVF es complementario al ángulo VPF, por lo tanto el ángulo PVF es θ . Dado que la longitud de PV es r , la distancia de F desde el vértice de la parábola es r sen θ . Se muestra arriba que esta distancia es igual a la distancia focal de la parábola, que es la distancia desde el vértice al foco. El foco y el punto F están, por tanto, igualmente distantes del vértice, a lo largo de la misma línea, lo que implica que son el mismo punto. Por tanto, el punto F, definido anteriormente, es el foco de la parábola .
Esta discusión comenzó con la definición de una parábola como una sección cónica, pero ahora ha llevado a una descripción como una gráfica de una función cuadrática. Esto muestra que estas dos descripciones son equivalentes. Ambos definen curvas de exactamente la misma forma.
Prueba alternativa con esferas Dandelin
Se puede hacer una prueba alternativa usando esferas Dandelin . Funciona sin cálculo y utiliza únicamente consideraciones geométricas elementales (consulte la derivación a continuación).
La intersección de un cono vertical por un avión. , cuya inclinación desde la vertical es la misma que una generatriz (también conocida como línea generadora, una línea que contiene el ápice y un punto en la superficie del cono) del cono, es una parábola (curva roja en el diagrama).
Esta generatriz es la única generatriz del cono que es paralela al plano . De lo contrario, si hay dos generatrices paralelas al plano de intersección, la curva de intersección será una hipérbola (o hipérbola degenerada , si las dos generatrices están en el plano de intersección). Si no hay una generatriz paralela al plano de intersección, la curva de intersección será una elipse o un círculo (o un punto ).
Deja que el avión ser el plano que contiene el eje vertical del cono y la recta . La inclinación del plano desde la vertical es lo mismo que la línea significa que, visto desde un lado (es decir, el avión es perpendicular al plano ), .
Para probar la propiedad de la directriz de una parábola (ver § Definición como un lugar geométrico de puntos arriba), se usa una esfera de Dandelin , que es una esfera que toca el cono a lo largo de un círculo y avión en el punto . El plano que contiene el círculo se cruza con el plano en línea . Hay una simetría especular en el sistema que consta de plano, Esfera Dandelin y el cono (el plano de simetría es).
Dado que el plano que contiene el círculo es perpendicular al plano , y , su línea de intersección también debe ser perpendicular al plano . Desde linea esta en avion , .
Resulta que es el foco de la parábola, yes la directriz de la parábola.
- Dejar ser un punto arbitrario de la curva de intersección.
- La generatriz del cono que contiene interseca el círculo en el punto .
- Los segmentos de línea y son tangenciales a la esfera , y por lo tanto tienen la misma longitud.
- Generatriz se cruza con el círculo en el punto . Los segmentos de línea y son tangenciales a la esfera , y por lo tanto tienen la misma longitud.
- Deja que la línea ser la línea paralela a y pasando por el punto . Desde, y punto esta en avion , línea debe estar en el avión . Desde, lo sabemos también.
- Dejemos apuntar ser el pie de la perpendicular desde el punto alinear , es decir, es un segmento de línea , y por lo tanto .
- A partir del teorema de la intersección y lo sabemos . Desde, lo sabemos , lo que significa que la distancia desde al foco es igual a la distancia desde a la directriz .
Prueba de la propiedad reflectante
La propiedad reflectante establece que si una parábola puede reflejar la luz, entonces la luz que entra en ella viajando paralelamente al eje de simetría se refleja hacia el foco. Esto se deriva de la óptica geométrica , basada en el supuesto de que la luz viaja en rayos.
Considere la parábola y = x 2 . Dado que todas las parábolas son similares, este simple caso representa a todos los demás.
Construcción y definiciones
El punto E es un punto arbitrario en la parábola. El foco es F, el vértice es A (el origen) y la línea FA es el eje de simetría. La línea EC es paralela al eje de simetría y se cruza con el eje x en D. El punto B es el punto medio del segmento de línea FC .
Deducciones
El vértice A es equidistante del foco F y de la directriz. Como C está en la directriz, las coordenadas y de F y C son iguales en valor absoluto y opuestas en signo. B es el punto medio de FC . Su coordenada x es la mitad de la de D, es decir, x / 2 . La pendiente de la recta BE es el cociente de las longitudes de ED y BD , que esx 2/x / 2= 2 x . Pero 2 x es también la pendiente (primera derivada) de la parábola en E. Por lo tanto, la recta BE es la tangente a la parábola en E.
Las distancias EF y EC son iguales porque E está en la parábola, F es el foco y C está en la directriz. Por lo tanto, dado que B es el punto medio de FC , los triángulos △ FEB y △ CEB son congruentes (tres lados), lo que implica que los ángulos marcados con α son congruentes. (El ángulo sobre E es verticalmente opuesto al ángulo ∠BEC.) Esto significa que un rayo de luz que ingresa a la parábola y llega a E viajando paralelo al eje de simetría será reflejado por la línea BE por lo que viaja a lo largo de la línea EF , como se muestra en rojo en el diagrama (asumiendo que las líneas pueden reflejar la luz de alguna manera). Dado que BE es la tangente a la parábola en E, la misma reflexión se hará mediante un arco infinitesimal de la parábola en E. Por tanto, se refleja la luz que entra en la parábola y llega a E viajando paralelamente al eje de simetría de la parábola. por la parábola hacia su foco.
Esta conclusión sobre la luz reflejada se aplica a todos los puntos de la parábola, como se muestra en el lado izquierdo del diagrama. Ésta es la propiedad reflectante.
Otras consecuencias
Hay otros teoremas que pueden deducirse simplemente del argumento anterior.
Propiedad de bisección de tangente
La prueba anterior y el diagrama adjunto muestran que la tangente BE biseca el ángulo ∠FEC. En otras palabras, la tangente a la parábola en cualquier punto biseca el ángulo entre las líneas que unen el punto al foco y perpendicularmente a la directriz.
Intersección de una tangente y una perpendicular desde el foco
Dado que los triángulos △ FBE y △ CBE son congruentes, FB es perpendicular a la tangente BE . Dado que B está en el eje x , que es la tangente a la parábola en su vértice, se deduce que el punto de intersección entre cualquier tangente a una parábola y la perpendicular desde el foco a esa tangente se encuentra en la línea que es tangencial a la parábola en su vértice. Ver diagrama animado [8] y curva de pedal .
Reflexión de la luz que incide en el lado convexo
Si la luz viaja a lo largo de la línea CE , se mueve paralela al eje de simetría y golpea el lado convexo de la parábola en E. Está claro en el diagrama anterior que esta luz se reflejará directamente lejos del foco, a lo largo de una extensión de el segmento FE .
Pruebas alternativas
Las demostraciones anteriores de las propiedades de bisección reflectante y tangente utilizan una línea de cálculo. Aquí se presenta una demostración geométrica.
En este diagrama, F es el foco de la parábola y T y U se encuentran en su directriz. P es un punto arbitrario de la parábola. PT es perpendicular a la directriz y la línea MP biseca el ángulo ∠FPT. Q es otro punto de la parábola, con QU perpendicular a la directriz. Sabemos que FP = PT y FQ = QU . Claramente, QT > QU , entonces QT > FQ . Todos los puntos de la bisectriz MP son equidistantes de F y T, pero Q está más cerca de F que de T. Esto significa que Q está a la izquierda de MP , es decir, en el mismo lado que el foco. Lo mismo sería cierto si Q estuviera ubicado en cualquier otro lugar de la parábola (excepto en el punto P), por lo que toda la parábola, excepto el punto P, está en el lado del foco de MP . Por lo tanto, MP es la tangente a la parábola en P. Dado que biseca el ángulo ∠FPT, esto prueba la propiedad de bisección de la tangente.
La lógica del último párrafo se puede aplicar para modificar la prueba anterior de la propiedad reflectante. Demuestra efectivamente que la línea BE es la tangente a la parábola en E si los ángulos α son iguales. La propiedad reflectante sigue como se mostró anteriormente.
Construcción de pasadores y cuerdas
La definición de una parábola por su enfoque y directriz se puede utilizar para dibujarla con la ayuda de alfileres y cuerdas: [9]
- Elige el enfoque y la directriz de la parábola.
- Tome un triángulo de un cuadrado y prepare una cuerda con una longitud (ver diagrama).
- Pin un extremo de la cuerda en el punto del triángulo y el otro al foco .
- Coloque el triángulo de manera que el segundo borde del ángulo recto pueda deslizarse libremente a lo largo de la directriz.
- Toma un bolígrafo y sujeta la cuerda apretada al triángulo.
- Mientras mueve el triángulo a lo largo de la directriz, la pluma dibuja un arco de parábola, debido a (ver definición de parábola).
Una parábola se puede considerar como la parte afín de una cónica proyectiva no degenerada con un punto en la linea del infinito , que es la tangente en . Las degeneraciones de 5, 4 y 3 puntos del teorema de Pascal son propiedades de una cónica que trata con al menos una tangente. Si se considera esta tangente como la línea en el infinito y su punto de contacto como el punto en el infinito del eje y , se obtienen tres enunciados para una parábola.
Las siguientes propiedades de una parábola tratan solo con términos conectar , intersecar , paralelos , que son invariantes de similitudes . Entonces, es suficiente probar cualquier propiedad de la parábola unitaria con la ecuación.
Propiedad de 4 puntos
Cualquier parábola se puede describir en un sistema de coordenadas adecuado mediante una ecuación .
- Dejar ser cuatro puntos de la parábola , y la intersección de la recta secante con la linea y deja ser la intersección de la recta secante con la linea (ver foto). Entonces la recta secante es paralelo a la línea .
- (Las líneas y son paralelos al eje de la parábola.)
Prueba: cálculo sencillo para la parábola unitaria.
Aplicación: La propiedad de 4 puntos de una parábola se puede utilizar para la construcción de puntos., tiempo y son dados.
Observación: la propiedad de 4 puntos de una parábola es una versión afín de la degeneración de 5 puntos del teorema de Pascal.
Propiedad 3-points – 1-tangent
Dejar ser tres puntos de la parábola con ecuación y la intersección de la recta secante con la linea y la intersección de la recta secante con la linea (ver foto). Entonces la tangente en el punto es paralelo a la línea . (Las líneas y son paralelos al eje de la parábola.)
Prueba: se puede realizar para la parábola unitaria. Un breve cálculo muestra: línea tiene pendiente que es la pendiente de la tangente en el punto .
Aplicación: La propiedad 3-puntos-1-tangente de una parábola se puede utilizar para la construcción de la tangente en el punto, tiempo son dados.
Observación: La propiedad de 3 puntos 1 tangente de una parábola es una versión afín de la degeneración de 4 puntos del teorema de Pascal.
Propiedad 2-points – 2-tangentes
Dejar ser dos puntos de la parábola con ecuación , y la intersección de la tangente en el punto con la linea , y la intersección de la tangente en el punto con la linea (ver foto). Entonces la secante es paralelo a la línea . (Las líneas y son paralelos al eje de la parábola.)
Prueba: cálculo sencillo para la parábola unitaria.
Aplicación: La propiedad de 2 puntos-2 tangentes se puede utilizar para la construcción de la tangente de una parábola en el punto, Si y la tangente en son dados.
Observación 1: La propiedad de 2 puntos-2 tangentes de una parábola es una versión afín de la degeneración de 3 puntos del teorema de Pascal.
Observación 2: La propiedad de 2 puntos-2 tangentes no debe confundirse con la siguiente propiedad de una parábola, que también trata con 2 puntos y 2 tangentes, pero no está relacionada con el teorema de Pascal.
Dirección del eje
Los enunciados anteriores presuponen el conocimiento de la dirección del eje de la parábola, con el fin de construir los puntos . La siguiente propiedad determina los puntos por dos puntos dados y sus tangentes solamente, y el resultado es que la recta es paralelo al eje de la parábola.
Dejar
- ser dos puntos de la parábola , y sean sus tangentes;
- ser la intersección de las tangentes ,
- ser la intersección de la línea paralela a mediante con la línea paralela a mediante (ver foto).
Entonces la linea es paralelo al eje de la parábola y tiene la ecuación
Prueba: se puede hacer (como las propiedades anteriores) para la parábola unitaria.
Aplicación: Esta propiedad se puede utilizar para determinar la dirección del eje de una parábola, si se dan dos puntos y sus tangentes. Una forma alternativa es determinar los puntos medios de dos acordes paralelos, consulte la sección sobre acordes paralelos .
Observación: esta propiedad es una versión afín del teorema de dos triángulos en perspectiva de una cónica no degenerada. [10]
Generación Steiner
Parábola
Steiner estableció el siguiente procedimiento para la construcción de una cónica no degenerada (ver cónica de Steiner ):
- Dado dos lápices de líneas en dos puntos (todas las líneas que contienen y respectivamente) y un mapeo proyectivo pero no de perspectiva de sobre , los puntos de intersección de las líneas correspondientes forman una sección cónica proyectiva no degenerada.
Este procedimiento se puede utilizar para una construcción simple de puntos en la parábola. :
- Considere el lápiz en el vértice y el conjunto de lineas que son paralelas al eje y .
- Dejar ser un punto en la parábola, y , .
- El segmento de línea se divide en n segmentos igualmente espaciados, y esta división se proyecta (en la dirección) en el segmento de línea (ver figura). Esta proyección da lugar a un mapeo proyectivo de lapiz en el lapiz .
- La intersección de la línea y la i -ésima paralela al eje y es un punto en la parábola.
Prueba: cálculo sencillo.
Observación: La generación de Steiner también está disponible para elipses e hipérbolas .
Parábola dual
Una parábola dual consiste en el conjunto de tangentes de una parábola ordinaria.
La generación Steiner de una cónica se puede aplicar a la generación de una cónica dual cambiando los significados de puntos y líneas:
- Sea dado dos conjuntos de puntos en dos líneas , y un mapeo proyectivo pero no de perspectiva entre estos conjuntos de puntos, las líneas de conexión de los puntos correspondientes forman una cónica dual no degenerada.
Para generar elementos de una parábola dual, se comienza con
- Tres puntos no en una linea,
- divide las secciones de línea y cada uno en segmentos de línea igualmente espaciados y agrega números como se muestra en la imagen.
- Entonces las lineas son tangentes de una parábola, por lo tanto, elementos de una parábola dual.
- La parábola es una curva de Bezier de grado 2 con los puntos de control.
La demostración es una consecuencia del algoritmo de Casteljau para una curva de Bezier de grado 2.
Ángulos inscritos y forma de 3 puntos
Una parábola con ecuación está determinado de forma única por tres puntos con diferentes coordenadas x . El procedimiento habitual para determinar los coeficientes.consiste en insertar las coordenadas del punto en la ecuación. El resultado es un sistema lineal de tres ecuaciones, que puede resolverse mediante eliminación de Gauss o la regla de Cramer , por ejemplo. Una forma alternativa utiliza el teorema del ángulo inscrito para las parábolas.
A continuación, el ángulo de dos líneas se medirá por la diferencia de las pendientes de la línea con respecto a la directriz de la parábola. Es decir, para una parábola de ecuación el ángulo entre dos líneas de ecuaciones es medido por
De manera análoga al teorema del ángulo inscrito para círculos, se tiene el teorema del ángulo inscrito para parábolas : [11] [12]
- Cuatro puntos con diferentes coordenadas x (ver imagen) están en una parábola con ecuación si y solo si los ángulos en y tienen la misma medida, como se definió anteriormente. Es decir,
(Prueba: cálculo sencillo: si los puntos están en una parábola, se pueden traducir las coordenadas para tener la ecuación , entonces uno tiene si los puntos están en la parábola.)
Una consecuencia es que la ecuación (en ) de la parábola determinada por 3 puntos con diferentes coordenadas x es (si dos coordenadas x son iguales, no hay parábola con directriz paralela al eje x , que pasa por los puntos)
Multiplicar por los denominadores que dependen de se obtiene la forma más estándar
Relación polo-polar
En un sistema de coordenadas adecuado, cualquier parábola puede describirse mediante una ecuación . La ecuación de la tangente en un punto. es
Uno obtiene la función
sobre el conjunto de puntos de la parábola sobre el conjunto de tangentes.
Obviamente, esta función se puede extender al conjunto de todos los puntos de a una biyección entre los puntos de y las rectas con ecuaciones . El mapeo inverso es
- línea → punto .
Esta relación se llama relación polo-polar de la parábola , donde el punto es el polo y la línea correspondiente es polar .
Mediante cálculo, se comprueban las siguientes propiedades de la relación polo-polar de la parábola:
- Para un punto (polo) en la parábola, el polar es la tangente en este punto (ver imagen:).
- Por un poste fuera de la parábola los puntos de intersección de su polar con la parábola son los puntos de contacto de las dos tangentes que pasan (ver foto: ).
- Para un punto dentro de la parábola, el polar no tiene ningún punto con la parábola en común (ver imagen: y ).
- El punto de intersección de dos líneas polares (por ejemplo, ) es el polo de la línea de conexión de sus polos (en el ejemplo: ).
- El foco y la directriz de la parábola son un par polo-polar.
Observación: Las relaciones polo-polar también existen para elipses e hipérbolas.
Propiedades de la tangente
Deje que la línea de simetría interseque la parábola en el punto Q, y denote el foco como punto F y su distancia desde el punto Q como f . Deje que la perpendicular a la línea de simetría, a través del foco, interseque la parábola en un punto T.Entonces (1) la distancia de F a T es 2 f , y (2) una tangente a la parábola en el punto T interseca la línea de simetría en un ángulo de 45 °. [13] : pág . 26
Propiedad ortóptica
Si dos tangentes a una parábola son perpendiculares entre sí, entonces se cruzan en la directriz. Por el contrario, dos tangentes que se cruzan en la directriz son perpendiculares.
Teorema de lambert
Deje que tres tangentes a una parábola formen un triángulo. Luego, el teorema de Lambert establece que el foco de la parábola se encuentra en la circunferencia del triángulo. [14] [8] : Corolario 20
El recíproco de Tsukerman al teorema de Lambert establece que, dadas tres líneas que delimitan un triángulo, si dos de las líneas son tangentes a una parábola cuyo foco se encuentra en la circunferencia del triángulo, entonces la tercera línea también es tangente a la parábola. [15]
Longitud focal calculada a partir de los parámetros de un acorde
Suponga que una cuerda cruza una parábola perpendicular a su eje de simetría. Deje que la longitud de la cuerda entre los puntos donde se cruza la parábola sea c y la distancia desde el vértice de la parábola a la cuerda, medida a lo largo del eje de simetría, ser d . La distancia focal, f , de la parábola está dada por
- Prueba
Suponga que se usa un sistema de coordenadas cartesianas de manera que el vértice de la parábola está en el origen y el eje de simetría es el eje y . La parábola se abre hacia arriba. En otra parte de este artículo se muestra que la ecuación de la parábola es 4 fy = x 2 , donde f es la distancia focal. En el extremo x positivo de la cuerda, x = C/2e y = d . Dado que este punto está en la parábola, estas coordenadas deben satisfacer la ecuación anterior. Por tanto, por sustitución,. De esto,.
Área encerrada entre una parábola y un acorde
El área encerrada entre una parábola y una cuerda (ver diagrama) es dos tercios del área de un paralelogramo que la rodea. Un lado del paralelogramo es la cuerda y el lado opuesto es una tangente a la parábola. [16] [17] La pendiente de los otros lados paralelos es irrelevante para el área. A menudo, como aquí, se dibujan en paralelo con el eje de simetría de la parábola, pero esto es arbitrario.
Un teorema equivalente a este, pero diferente en detalles, fue derivado por Arquímedes en el siglo III a. C. Usó las áreas de triángulos, en lugar de las del paralelogramo. [d] Ver La cuadratura de la parábola .
Si la cuerda tiene longitud b y es perpendicular al eje de la parábola de simetría, y si la distancia perpendicular desde el vértice de la parábola a la cuerda es h , el paralelogramo es un rectángulo, con lados de b y h . El área A del segmento parabólico encerrado por la parábola y la cuerda es por lo tanto
Esta fórmula se puede comparar con el área de un triángulo: 1/2bh .
En general, el área encerrada se puede calcular de la siguiente manera. Primero, ubique el punto en la parábola donde su pendiente es igual a la de la cuerda. Esto se puede hacer con cálculo o usando una línea que sea paralela al eje de simetría de la parábola y pase por el punto medio de la cuerda. El punto requerido es donde esta línea se cruza con la parábola. [e] Luego, usando la fórmula dada en Distancia de un punto a una línea , calcule la distancia perpendicular desde este punto a la cuerda. Multiplique esto por la longitud de la cuerda para obtener el área del paralelogramo, luego por 2/3 para obtener el área cerrada requerida.
Corolario sobre los puntos medios y extremos de los acordes
Un corolario de la discusión anterior es que si una parábola tiene varias cuerdas paralelas, todos sus puntos medios se encuentran en una línea paralela al eje de simetría. Si se dibujan tangentes a la parábola a través de los puntos finales de cualquiera de estas cuerdas, las dos tangentes se cruzan en esta misma línea paralela al eje de simetría (ver Dirección del eje de una parábola ). [F]
Longitud de arco
Si un punto X está ubicado en una parábola con distancia focal f , y si p es la distancia perpendicular desde X al eje de simetría de la parábola, entonces las longitudes de los arcos de la parábola que terminan en X se pueden calcular a partir de f y p como sigue, asumiendo que todos se expresan en las mismas unidades. [gramo]
Esta cantidad s es la longitud del arco entre X y el vértice de la parábola.
La longitud del arco entre X y el punto simétricamente opuesto al otro lado de la parábola es 2 s .
A la distancia perpendicular p se le puede dar un signo positivo o negativo para indicar en qué lado del eje de simetría X está situado. La inversión de la señal de p invierte los signos de h y s sin cambiar sus valores absolutos. Si estas cantidades están firmadas, la longitud del arco entre dos puntos cualesquiera de la parábola siempre se muestra por la diferencia entre sus valores de s . El cálculo se puede simplificar utilizando las propiedades de los logaritmos:
Esto puede ser útil, por ejemplo, para calcular el tamaño del material necesario para hacer un reflector parabólico o un cilindro parabólico .
Este cálculo se puede utilizar para una parábola en cualquier orientación. No se limita a la situación en la que el eje de simetría es paralelo al eje y .
Una construcción geométrica para encontrar un área de sector.
S es el foco y V es el vértice principal de la parábola VG. Dibuja VX perpendicular a SV.
Tome cualquier punto B en VG y suelte un BQ perpendicular de B a VX. Dibuje ST perpendicular que cruce BQ, extendido si es necesario, en T. En B, dibuje el BJ perpendicular, intersecando VX en J.
Para la parábola, el segmento VBV, el área encerrada por la cuerda VB y el arco VB, es igual a ∆VBQ / 3, también .
El área del sector parabólico SVB = ∆SVB + ∆VBQ / 3.
Dado que los triángulos TSB y QBJ son similares,
Por tanto, el área del sector parabólico y se puede encontrar a partir de la longitud de VJ, como se encuentra arriba.
Un círculo a través de S, V y B también pasa por J.
Por el contrario, si se encuentra un punto B en la parábola VG de modo que el área del sector SVB sea igual a un valor especificado, determine el punto J en VX y construya un círculo a través de S, V y J. Dado que SJ es el diámetro, el centro del círculo está en su punto medio, y se encuentra en la bisectriz perpendicular de SV, una distancia de la mitad VJ de SV. El punto requerido B es donde este círculo se cruza con la parábola.
Si un cuerpo sigue la trayectoria de la parábola debido a una fuerza inversa al cuadrado dirigida hacia S, el área SVB aumenta a una tasa constante a medida que el punto B avanza. De ello se deduce que J se mueve a velocidad constante a lo largo de VX cuando B se mueve a lo largo de la parábola.
Si la rapidez del cuerpo en el vértice donde se mueve perpendicularmente a SV es v , entonces la rapidez de J es igual a 3 v / 4.
La construcción se puede ampliar simplemente para incluir el caso en el que ninguno de los radios coincide con el eje SV de la siguiente manera. Sea A un punto fijo en VG entre V y B, y el punto H sea la intersección en VX con la perpendicular a SA en A. De lo anterior, el área del sector parabólico.
Por el contrario, si se requiere encontrar el punto B para un área en particular SAB, encuentre el punto J desde HJ y el punto B como antes. Según el Libro 1, Proposición 16, Corolario 6 de los Principia de Newton , la velocidad de un cuerpo que se mueve a lo largo de una parábola con una fuerza dirigida hacia el foco es inversamente proporcional a la raíz cuadrada del radio. Si la rapidez en A es v , entonces en el vértice V es, y el punto J se mueve a una rapidez constante de .
La construcción anterior fue ideada por Isaac Newton y se puede encontrar en el Libro 1 de Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica como Proposición 30.
Longitud focal y radio de curvatura en el vértice
La distancia focal de una parábola es la mitad de su radio de curvatura en su vértice.
- Prueba
La imagen está invertida. AB es el eje x . C es origen. O es el centro. A es ( x , y ) . OA = OC = R . PA = x . CP = y . OP = ( R - y ) . Otros puntos y líneas son irrelevantes para este propósito.
El radio de curvatura en el vértice es el doble de la distancia focal. Las medidas que se muestran en el diagrama anterior están en unidades del latus recto, que es cuatro veces la distancia focal.
Considere un punto ( x , y ) en un círculo de radio R y con centro en el punto (0, R ) . El círculo pasa por el origen. Si el punto está cerca del origen, el teorema de Pitágoras muestra que
Pero si ( x , y ) está extremadamente cerca del origen, dado que el eje x es tangente al círculo, y es muy pequeño en comparación con x , por lo que y 2 es insignificante en comparación con los otros términos. Por tanto, muy cerca del origen
- (1)
Compare esto con la parábola
- (2)
que tiene su vértice en el origen, se abre hacia arriba y tiene una distancia focal f (consulte las secciones anteriores de este artículo).
Las ecuaciones (1) y (2) son equivalentes si R = 2 f . Por lo tanto, esta es la condición para que el círculo y la parábola coincidan en el origen y muy cerca del mismo. El radio de curvatura en el origen, que es el vértice de la parábola, es el doble de la distancia focal.
- Corolario
Un espejo cóncavo que es un pequeño segmento de una esfera se comporta aproximadamente como un espejo parabólico, enfocando luz paralela a un punto a medio camino entre el centro y la superficie de la esfera.
Como imagen afín de la parábola unitaria
Otra definición de parábola usa transformaciones afines :
- Cualquier parábola es la imagen afín de la parábola unitaria con ecuación.
- representación paramétrica
Una transformación afín del plano euclidiano tiene la forma , dónde es una matriz regular (el determinante no es 0), yes un vector arbitrario. Si son los vectores columna de la matriz , la unidad de parábola está mapeado en la parábola
dónde
- es un punto de la parábola,
- es un vector tangente en el punto ,
- es paralelo al eje de la parábola (eje de simetría que pasa por el vértice).
- vértice
En general, los dos vectores no son perpendiculares, y no es el vértice, a menos que la transformación afín sea una similitud .
El vector tangente en el punto es . En el vértice, el vector tangente es ortogonal a. De ahí el parámetro del vértice es la solución de la ecuación
cual es
y el vértice es
- distancia focal y enfoque
La distancia focal se puede determinar mediante una transformación de parámetro adecuada (que no cambia la forma geométrica de la parábola). La distancia focal es
Por tanto, el foco de la parábola es
- representación implícita
Resolviendo la representación paramétrica para por la regla de Cramer y usando, se obtiene la representación implícita
- .
- parábola en el espacio
La definición de parábola en esta sección da una representación paramétrica de una parábola arbitraria, incluso en el espacio, si se permite ser vectores en el espacio.
Como curva de Bézier cuadrática
Una curva de Bézier cuadrática es una curva definido por tres puntos , y , llamados sus puntos de control :
Esta curva es un arco de una parábola (ver § Como imagen afín de la parábola unitaria ).
Integracion numerica
En un método de integración numérica se reemplaza la gráfica de una función por arcos de parábolas e integra los arcos de parábola. Una parábola está determinada por tres puntos. La fórmula para un arco es
El método se llama regla de Simpson .
Como sección plana de cuadric
Las siguientes cuadrículas contienen parábolas como secciones planas:
- cono elíptico ,
- cilindro parabólico ,
- paraboloide elíptico ,
- paraboloide hiperbólico,
- hiperboloide de una hoja,
- hiperboloide de dos hojas.
Cono elíptico
Cilindro parabólico
Paraboloide elíptico
Paraboloide hiperbólico
Hiperboloide de una hoja
Hiperboloide de dos hojas
Como trisectrix
Una parábola se puede utilizar como trisectriz , es decir, permite la trisección exacta de un ángulo arbitrario con regla y compás. Esto no está en contradicción con la imposibilidad de una trisección de ángulo con construcciones de compás y regla solo, ya que el uso de parábolas no está permitido en las reglas clásicas para construcciones de compás y regla.
Trisecar , coloca su pierna en el eje x de modo que el vérticeestá en el origen del sistema de coordenadas. El sistema de coordenadas también contiene la parábola. El círculo unitario con radio 1 alrededor del origen se cruza con el otro lado del ángulo., y desde este punto de intersección dibuje la perpendicular sobre el eje y . El paralelo al eje y que pasa por el punto medio de esa perpendicular y la tangente en el círculo unitario en se cruzan en . El circulo alrededor con radio intersecta la parábola en . La perpendicular desdeen el eje x se cruza con el círculo unitario en, y es exactamente un tercio de .
La exactitud de esta construcción se puede ver mostrando que la coordenada x de es . Resolver el sistema de ecuaciones dado por el círculo alrededor y la parábola conduce a la ecuación cúbica . La fórmula del triple ángulo luego muestra que es de hecho una solución de esa ecuación cúbica.
Esta trisección se remonta a René Descartes , quien la describió en su libro La Géométrie (1637). [18]
Generalizaciones
Si uno reemplaza los números reales por un campo arbitrario , muchas propiedades geométricas de la parábola siguen siendo válidos:
- Una línea se cruza como máximo en dos puntos.
- En cualquier punto la línea es la tangente.
Esencialmente surgen nuevos fenómenos, si el campo tiene la característica 2 (es decir, ): las tangentes son todas paralelas.
En geometría algebraica , la parábola se generaliza mediante las curvas normales racionales , que tienen coordenadas ( x , x 2 , x 3 ,…, x n ) ; la parábola estándar es el caso n = 2 , y el caso n = 3 se conoce como cúbico retorcido . La variedad Veronese da una generalización adicional , cuando hay más de una variable de entrada.
En la teoría de formas cuadráticas , la parábola es la gráfica de la forma cuadrática x 2 (u otras escalas), mientras que el paraboloide elíptico es la gráfica de la forma cuadrática positiva-definida x 2 + y 2 (o escalas), y la El paraboloide hiperbólico es la gráfica de la forma cuadrática indefinida x 2 - y 2 . Las generalizaciones a más variables producen más objetos de este tipo.
Las curvas y = x p para otros valores de p se conocen tradicionalmente como las parábolas más altas y fueron tratados originalmente implícitamente, en la forma x p = ky q para p y q ambos números enteros positivos, en los que la forma que se observa que son algebraica curvas. Estos corresponden a la fórmula explícita y = x p / q para una potencia fraccionaria positiva de x . Las potencias fraccionarias negativas corresponden a la ecuación implícita x p y q = k y tradicionalmente se las conoce como hipérbolas superiores . Analíticamente, x también puede elevarse a una potencia irracional (para valores positivos de x ); las propiedades analíticas son análogas a cuando x se eleva a potencias racionales, pero la curva resultante ya no es algebraica y no puede analizarse mediante geometría algebraica.
En el mundo fisico
En la naturaleza, las aproximaciones de parábolas y paraboloides se encuentran en muchas situaciones diversas. El ejemplo más conocido de parábola en la historia de la física es la trayectoria de una partícula o cuerpo en movimiento bajo la influencia de un campo gravitacional uniforme sin resistencia del aire (por ejemplo, una bola que vuela por el aire, despreciando la fricción del aire ).
La trayectoria parabólica de los proyectiles fue descubierta experimentalmente a principios del siglo XVII por Galileo , quien realizó experimentos con bolas rodando en planos inclinados. Más tarde, también demostró esto matemáticamente en su libro Diálogo sobre dos nuevas ciencias . [19] [h] Para los objetos que se extienden en el espacio, como un buzo que salta de un trampolín, el objeto en sí sigue un movimiento complejo mientras gira, pero el centro de masa del objeto, no obstante, se mueve a lo largo de una parábola. Como en todos los casos en el mundo físico, la trayectoria es siempre una aproximación de una parábola. La presencia de resistencia del aire, por ejemplo, siempre distorsiona la forma, aunque a bajas velocidades, la forma es una buena aproximación a una parábola. A velocidades más altas, como en balística, la forma está muy distorsionada y no se parece a una parábola.
Otra situación hipotética en la que podrían surgir parábolas, según las teorías de la física descritas en los siglos XVII y XVIII por Sir Isaac Newton , es en órbitas de dos cuerpos , por ejemplo, la trayectoria de un pequeño planetoide u otro objeto bajo la influencia de la gravitación del sol . Las órbitas parabólicas no ocurren en la naturaleza; las órbitas simples más comúnmente se parecen a hipérbolas o elipses . La órbita parabólica es el caso intermedio degenerado entre esos dos tipos de órbita ideal. Un objeto que sigue una órbita parabólica viajaría a la velocidad de escape exacta del objeto que orbita; los objetos en órbitas elípticas o hiperbólicas viajan a una velocidad menor o mayor que la de escape, respectivamente. Los cometas de períodos prolongados viajan cerca de la velocidad de escape del Sol mientras se mueven a través del sistema solar interior, por lo que sus trayectorias son casi parabólicas.
También se encuentran aproximaciones de parábolas en la forma de los cables principales en un simple puente colgante . La curva de las cadenas de un puente colgante es siempre una curva intermedia entre una parábola y una catenaria , pero en la práctica la curva suele estar más cerca de una parábola debido a que el peso de la carga (es decir, la carretera) es mucho mayor que los cables. ellos mismos, y en los cálculos se utiliza la fórmula polinomial de segundo grado de una parábola. [20] [21] Bajo la influencia de una carga uniforme (como una plataforma suspendida horizontal), el cable de otra manera en forma de catenaria se deforma hacia una parábola (ver Catenaria # Curva de puente colgante ). A diferencia de una cadena inelástica, un resorte que cuelga libremente de longitud cero sin tensión toma la forma de una parábola. Los cables del puente colgante están, idealmente, puramente en tensión, sin tener que soportar otras fuerzas, por ejemplo, doblarse. Del mismo modo, las estructuras de los arcos parabólicos están puramente en compresión.
Los paraboloides también surgen en varias situaciones físicas. El ejemplo más conocido es el reflector parabólico , que es un espejo o dispositivo reflectante similar que concentra la luz u otras formas de radiación electromagnética en un punto focal común o, por el contrario, colima la luz de una fuente puntual en el foco en un haz paralelo. El principio del reflector parabólico puede haber sido descubierto en el siglo III a. C. por el geómetra Arquímedes , quien, según una leyenda dudosa, [22] construyó espejos parabólicos para defender Siracusa de la flota romana , concentrando los rayos del sol para prender fuego. a las cubiertas de los barcos romanos. El principio se aplicó a los telescopios en el siglo XVII. En la actualidad, los reflectores paraboloides se pueden observar comúnmente en gran parte del mundo en antenas de recepción y transmisión de microondas y antenas parabólicas.
En los micrófonos parabólicos , se utiliza un reflector parabólico para enfocar el sonido en un micrófono, lo que le otorga un rendimiento altamente direccional.
Los paraboloides también se observan en la superficie de un líquido confinado a un recipiente y girado alrededor del eje central. En este caso, la fuerza centrífuga hace que el líquido trepe por las paredes del recipiente, formando una superficie parabólica. Este es el principio detrás del telescopio de espejo líquido .
Las aeronaves utilizadas para crear un estado ingrávido con fines de experimentación, como el " Cometa Vomit " de la NASA , siguen una trayectoria verticalmente parabólica durante breves períodos para trazar el curso de un objeto en caída libre , lo que produce el mismo efecto que cero. gravedad para la mayoría de los propósitos.
Galería
Una pelota que rebota capturada con un flash estroboscópico a 25 imágenes por segundo. La pelota se vuelve significativamente no esférica después de cada rebote, especialmente después del primero. Eso, junto con la resistencia al giro y al aire , hace que la curva barrida se desvíe ligeramente de la parábola perfecta esperada.
Trayectorias parabólicas del agua en una fuente.
El camino (en rojo) del cometa Kohoutek a su paso por el sistema solar interior, mostrando su forma casi parabólica. La órbita azul es la de la Tierra.
Los cables de soporte de los puentes colgantes siguen una curva intermedia entre una parábola y una catenaria .
El Puente Arcoíris sobre el río Niágara , que conecta Canadá (izquierda) con Estados Unidos (derecha). El arco parabólico está en compresión y soporta el peso de la carretera.
Arcos parabólicos utilizados en arquitectura
Forma parabólica formada por una superficie líquida en rotación. Dos líquidos de diferentes densidades llenan por completo un espacio estrecho entre dos láminas de plástico transparente. El espacio entre las hojas se cierra en la parte inferior, laterales y superior. Todo el conjunto gira alrededor de un eje vertical que pasa por el centro. (Ver horno rotatorio )
Cocina solar con reflector parabólico
Antena parabólica
Micrófono parabólico con reflector de plástico ópticamente transparente utilizado en un partido de fútbol americano universitario.
Matriz de colectores cilindroparabólicos para recolectar energía solar
El reflector de Edison , montado en un carro. La luz tenía un reflector parabólico.
El físico Stephen Hawking en un avión que vuela una trayectoria parabólica para simular la gravedad cero
Ver también
- Cónica degenerada
- Domo parabólico
- Ecuación diferencial parcial parabólica
- Ecuación cuadrática
- Función cuadrática
- Constante parabólica universal
Notas al pie
- ^ El plano tangencial apenas toca la superficie cónica a lo largo de una línea que pasa por el vértice del cono.
- ^ Como se indicó anteriormente en la introducción, la distancia focal de una parábola es la distancia entre su vértice y el foco.
- ^ El punto V es el centro de la sección transversal circular más pequeña del cono. El punto F está en el plano (rosa) de la parábola y la línea VF es perpendicular al plano de la parábola.
- ↑ Arquímedes demostró que el área del segmento parabólico encerrado era 4/3 del tamaño de un triángulo que inscribió dentro del segmento encerrado. Se puede demostrar fácilmente que el paralelogramo tiene el doble del área del triángulo, por lo que la prueba de Arquímedes también prueba el teorema con el paralelogramo.
- ^ Este método puede demostrarse fácilmente mediante cálculo. También era conocido y utilizado por Arquímedes, aunque vivió casi 2000 años antes de que se inventara el cálculo.
- ^ Una prueba de esta oración se puede inferir de la prueba de la propiedad ortóptica , anterior. Se muestra allí que las tangentes a la parábola y = x 2 en ( p , p 2 ) y ( q , q 2 ) se cortan en un punto cuya x coordenada es la media de p y q . Por lo tanto, si hay una cuerda entre estos dos puntos, el punto de intersección de las tangentes tiene la mismacoordenada x que el punto medio de la cuerda.
- ^ En este cálculo, la raíz cuadrada q debe ser positiva. La cantidad ln a es el logaritmo natural de a .
- ^ Sin embargo, esta forma parabólica, como reconoció Newton, es solo una aproximación de la forma elíptica real de la trayectoria y se obtiene asumiendo que la fuerza gravitacional es constante (no apunta hacia el centro de la Tierra) en el área de interés. A menudo, esta diferencia es insignificante y conduce a una fórmula más simple para rastrear el movimiento.
Referencias
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Otras lecturas
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enlaces externos
- "Parábola" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
- Weisstein, Eric W. "Parábola" . MathWorld .
- Enfoque interactivo de parábola-arrastre, ver eje de simetría, directriz, formas estándar y de vértice
- Triángulo de Arquímedes y cuadratura de la parábola al cortar el nudo
- Dos tangentes a la parábola al cortar el nudo
- Parábola como envolvente de líneas rectas al cortar el nudo
- Espejo parabólico al cortar el nudo
- Tres tangentes de parábola al cortar el nudo
- Propiedades focales de la parábola al cortar el nudo
- Parábola As Envelope II al cortar el nudo
- La similitud de la parábola en Dynamic Geometry Sketches , boceto interactivo de geometría dinámica.
- Frans van Schooten: Mathematische Oeffeningen , 1659