Clasificando el espacio para U ( n )

En matemáticas , el espacio de clasificación para el grupo unitario U ( n ) es un espacio BU ( n ) junto con un paquete universal EU ( n ) tal que cualquier paquete hermitiano en un espacio paracompacto X es el retroceso de EU ( n ) por un mapa X → BU ( n ) único hasta homotopía.

Este espacio con su fibración universal se puede construir como

1. el Grassmanniano de n- planos en un espacio de Hilbert complejo de dimensión infinita ; o,
2. el límite directo, con la topología inducida, de Grassmannianos de n planos.

Ambas construcciones se detallan aquí.

La construcción como un Grassmanniano infinito

El espacio total EU ( n ) del paquete universal viene dado por

${\displaystyle EU(n)=\left\{e_{1},\ldots ,e_{n}\ :\ (e_{i},e_{j})=\delta _{ij},e_{i}\in H\right\}.}$

Aquí, H denota un espacio de Hilbert complejo de dimensión infinita, los e _i son vectores en H , y${\displaystyle \delta _{ij}}$es el delta de Kronecker . El símbolo${\displaystyle (\cdot ,\cdot )}$es el producto interno en H . Así, tenemos que la UE ( n ) es el espacio de ortonormal n -frames en H .

La acción grupal de U ( n ) en este espacio es la natural. El espacio base es entonces

${\displaystyle BU(n)=EU(n)/U(n)}$

y es el conjunto de Grassmannian n subespacios -dimensional (o n -planes) en H . Eso es,

${\displaystyle BU(n)=\{V\subset H\ :\ \dim V=n\}}$

de modo que V es un espacio vectorial n- dimensional.

Caso de paquetes de líneas

Para n = 1, se tiene EU (1) = S ^∞ , que se sabe que es un espacio contráctil . El espacio base es entonces BU (1) = CP ^∞ , el espacio proyectivo complejo de dimensión infinita . Por lo tanto, el conjunto de clases de isomorfismo de haces circulares sobre una variedad M están en correspondencia uno a uno con las clases de homotopía de mapas de M a CP ^∞ .

Uno también tiene la relación que

${\displaystyle BU(1)=PU(H),}$

es decir, BU (1) es el grupo unitario proyectivo de dimensión infinita . Consulte ese artículo para obtener información y propiedades adicionales.

Para un toroide T , que es abstracta isomorfo a T (1) × ... × U (1), pero no tiene por qué tener una identificación elegido, uno escribe B T .

El K-teoría topológica K ₀ (B T ) viene dada por polinomios numéricos ; más detalles a continuación.

La construcción como límite inductivo

Sea F _n ( C ^k ) el espacio de familias ortonormales de n vectores en C ^k y sea G _n ( C ^k ) el Grassmanniano de los espacios subvectores n -dimensionales de C ^k . El espacio total del paquete universal puede tomarse como el límite directo de F _n ( C ^k ) cuando k → ∞, mientras que el espacio base es el límite directo de G _n ( C ^k ) como k → ∞.

Validez de la construcción

En esta sección, definiremos la topología de EU ( n ) y demostraremos que EU ( n ) es de hecho contraíble.

El grupo U ( n ) actúa libremente sobre F _n ( C ^k ) y el cociente es el Grassmanniano G _n ( C ^k ). El mapa

${\displaystyle {\begin{aligned}F_{n}(\mathbf {C} ^{k})&\longrightarrow \mathbf {S} ^{2k-1}\\(e_{1},\ldots ,e_{n})&\longmapsto e_{n}\end{aligned}}}$

es un haz de fibras de fibra F _{n −1} ( C ^{k −1} ). Así porque${\displaystyle \pi _{p}(\mathbf {S} ^{2k-1})}$es trivial y debido a la larga secuencia exacta de la fibración , tenemos

${\displaystyle \pi _{p}(F_{n}(\mathbf {C} ^{k}))=\pi _{p}(F_{n-1}(\mathbf {C} ^{k-1}))}$

cuando sea ${\displaystyle p\leq 2k-2}$. Tomando k lo suficientemente grande, precisamente para${\displaystyle k>{\tfrac {1}{2}}p+n-1}$, podemos repetir el proceso y obtener

${\displaystyle \pi _{p}(F_{n}(\mathbf {C} ^{k}))=\pi _{p}(F_{n-1}(\mathbf {C} ^{k-1}))=\cdots =\pi _{p}(F_{1}(\mathbf {C} ^{k+1-n}))=\pi _{p}(\mathbf {S} ^{k-n}).}$

Este último grupo es trivial para k  >  n  +  p . Dejar

${\displaystyle EU(n)={\lim _{\to }}\;_{k\to \infty }F_{n}(\mathbf {C} ^{k})}$

ser el límite directo de todos los F _n ( C ^k ) (con la topología inducida). Dejar

${\displaystyle G_{n}(\mathbf {C} ^{\infty })={\lim _{\to }}\;_{k\to \infty }G_{n}(\mathbf {C} ^{k})}$

ser el límite directo de todos los G _n ( C ^k ) (con la topología inducida).

Lema: El grupo${\displaystyle \pi _{p}(EU(n))}$es trivial para todo p ≥ 1.

Prueba: Sea γ: S ^p → EU ( n ), dado que S ^p es compacto , existe k tal que γ ( S ^p ) está incluido en F _n ( C ^k ). Al tomar k lo suficientemente grande, vemos que γ es homotópico, con respecto al punto base, al mapa constante.${\displaystyle \Box }$

Además, U ( n ) actúa libremente sobre EU ( n ). Los espacios F _n ( C ^k ) y G _n ( C ^k ) son complejos CW . Se puede encontrar una descomposición de estos espacios en complejos CW de manera que la descomposición de F _n ( C ^k ), resp. G _n ( C ^k ), es inducida por la restricción de la de F _n ( C ^{k +1} ), resp. G _n ( C ^{k +1}). Por tanto, EU ( n ) (y también G _n ( C ^∞ )) es un complejo CW. Según el teorema de Whitehead y el lema anterior, EU ( n ) es contractible.

Cohomología de BU ( n )

Proposición: La cohomología del espacio clasificador H * (BU ( n )) es un anillo de polinomios en n variables c ₁ , ..., c _n donde c _p es de grado 2 p .

Prueba: Consideremos primero el caso n = 1. En este caso, U (1) es el círculo S ¹ y el paquete universal es S ^∞ → CP ^∞ . Es bien sabido ^[1] que la cohomología de CP ^k es isomorfa a${\displaystyle \mathbf {R} \lbrack c_{1}\rbrack /c_{1}^{k+1}}$, donde c ₁ es la clase de Euler del paquete U (1) S ^{2 k +1} → CP ^k , y que las inyecciones CP ^k → CP ^{k +1} , para k ∈ N *, son compatibles con estas presentaciones del cohomología de los espacios proyectivos. Esto prueba la Proposición para n = 1.

Hay secuencias de fibras de homotopía.

${\displaystyle \mathbb {S} ^{2n-1}\to BU(n-1)\to BU(n)}$

Concretamente, un punto del espacio total ${\displaystyle BU(n-1)}$ viene dado por un punto del espacio base ${\displaystyle BU(n)}$ clasificar un espacio vectorial complejo ${\displaystyle V}$, junto con un vector unitario ${\displaystyle u}$ en ${\displaystyle V}$; juntos clasifican${\displaystyle u^{\perp }<V}$ mientras la división ${\displaystyle V=(\mathbb {C} u)\oplus u^{\perp }}$, trivializado por ${\displaystyle u}$, se da cuenta del mapa ${\displaystyle BU(n-1)\to BU(n)}$ representando suma directa con ${\displaystyle \mathbb {C} .}$

Aplicando la secuencia de Gysin , se tiene una secuencia larga y exacta

${\displaystyle H^{p}(BU(n)){\overset {\smile d_{2n}\eta }{\longrightarrow }}H^{p+2n}(BU(n)){\overset {j^{*}}{\longrightarrow }}H^{p+2n}(BU(n-1)){\overset {\partial }{\longrightarrow }}H^{p+1}(BU(n))\longrightarrow \cdots }$

donde ${\displaystyle \eta }$es la clase fundamental de la fibra${\displaystyle \mathbb {S} ^{2n-1}}$. Por propiedades de la secuencia de Gysin ^{[ cita requerida ]} ,${\displaystyle j^{*}}$es un homomorfismo multiplicativo; por inducción,${\displaystyle H^{*}BU(n-1)}$ es generado por elementos con ${\displaystyle p<-1}$, donde ${\displaystyle \partial }$ debe ser cero, y por tanto donde ${\displaystyle j^{*}}$debe ser sobreyectiva. Resulta que${\displaystyle j^{*}}$debe ser siempre sobreyectiva: por la propiedad universal de los anillos polinomiales , una elección de preimagen para cada generador induce una división multiplicativa. Por tanto, por exactitud,${\displaystyle \smile d_{2n}\eta }$siempre debe ser inyectable . Por lo tanto, tenemos secuencias cortas y exactas divididas por un homomorfismo de anillo.

${\displaystyle 0\to H^{p}(BU(n)){\overset {\smile d_{2n}\eta }{\longrightarrow }}H^{p+2n}(BU(n)){\overset {j^{*}}{\longrightarrow }}H^{p+2n}(BU(n-1))\to 0}$

Así concluimos ${\displaystyle H^{*}(BU(n))=H^{*}(BU(n-1))[c_{2n}]}$ donde ${\displaystyle c_{2n}=d_{2n}\eta }$. Esto completa la inducción.

Teoría K de BU ( n )

Considere la teoría K del complejo topológico como la teoría de cohomología representada por el espectro ${\displaystyle KU}$. En este caso,${\displaystyle KU^{*}(BU(n))\cong \mathbb {Z} [t,t^{-1}][[c_{1},...,c_{n}]]}$, ^[2] y${\displaystyle KU_{*}(BU(n))}$ es el libre ${\displaystyle \mathbb {Z} [t,t^{-1}]}$ módulo en ${\displaystyle \beta _{0}}$ y ${\displaystyle \beta _{i_{1}}\ldots \beta _{i_{r}}}$ por ${\displaystyle n\geq i_{j}>0}$ y ${\displaystyle r\leq n}$. ^[3] En esta descripción, la estructura del producto en${\displaystyle KU_{*}(BU(n))}$ proviene de la estructura del espacio H de ${\displaystyle BU}$dada por la suma de Whitney de paquetes de vectores. Este producto se llama producto Pontryagin .

La teoría K topológica se conoce explícitamente en términos de polinomios simétricos numéricos .

La teoría K se reduce a calcular K ₀ , ya que la teoría K es 2-periódica según el teorema de periodicidad de Bott , y BU ( n ) es un límite de variedades complejas, por lo que tiene una estructura CW con solo celdas en dimensiones pares, tan extraña teoría-K se desvanece.

Por lo tanto ${\displaystyle K_{*}(X)=\pi _{*}(K)\otimes K_{0}(X)}$, donde ${\displaystyle \pi _{*}(K)=\mathbf {Z} [t,t^{-1}]}$, donde t es el generador de Bott.

K ₀ (BU (1)) es el anillo de polinomios numéricos en w , considerado como un subanillo de H _∗ (BU (1); Q ) = Q [ w ], donde w es el elemento dual del paquete tautológico.

Para n -torus, K ₀ (B T ⁿ ) son polinomios numéricos en n variables. El mapa K ₀ (B T ⁿ ) → K ₀ (BU ( n )) está sobre, a través de un principio de división , ya que T ⁿ es el toro máximo de U ( n ). El mapa es el mapa de simetrización

${\displaystyle f(w_{1},\dots ,w_{n})\mapsto {\frac {1}{n!}}\sum _{\sigma \in S_{n}}f(x_{\sigma (1)},\dots ,x_{\sigma (n)})}$

y la imagen se puede identificar como los polinomios simétricos que satisfacen la condición de integralidad que

${\displaystyle {n \choose n_{1},n_{2},\ldots ,n_{r}}f(k_{1},\dots ,k_{n})\in \mathbf {Z} }$

donde

${\displaystyle {n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}={\frac {n!}{k_{1}!\,k_{2}!\cdots k_{m}!}}}$

es el coeficiente multinomial y${\displaystyle k_{1},\dots ,k_{n}}$contiene r enteros distintos, repetidos${\displaystyle n_{1},\dots ,n_{r}}$ veces, respectivamente.

Ver también

• Clasificando el espacio para O ( n )
• Teoría K topológica
• Teorema de Atiyah-Jänich

Notas

1. R. Bott, LW Tu-- Formas diferenciales en topología algebraica , Textos de posgrado en matemáticas 82, Springer
2. Adams 1974, p. 49
3. Adams 1974, p. 47

Referencias

• JF Adams (1974), Homotopía estable y homología generalizada , University Of Chicago Press, ISBN 0-226-00524-0 Contiene cálculo de ${\displaystyle KU^{*}(BU(n))}$ y ${\displaystyle KU_{*}(BU(n))}$.
• S. Ochanine; L. Schwartz (1985), "Une remarque sur les générateurs du cobordisme complex", Math. Z. , 190 (4): 543–557, doi : 10.1007 / BF01214753 Contiene una descripción de ${\displaystyle K_{0}(BG)}$ como un ${\displaystyle K_{0}(K)}$- módulo para cualquier grupo Lie compacto y conectado.
• L. Schwartz (1983), "K-théorie et homotopie stable", Tesis , Université de Paris-VII Descripción explícita de ${\displaystyle K_{0}(BU(n))}$
• Un panadero; F. Clarke; N. Ray; L. Schwartz (1989), "Sobre las congruencias de Kummer y la homotopía estable de BU ", Trans. Amer. Matemáticas. Soc. , American Mathematical Society, 316 (2): 385–432, doi : 10.2307 / 2001355 , JSTOR  2001355