Electrodinámica cuántica

Teoría relativista de campos cuánticos del electromagnetismo

Teoría cuántica de campos
Diagrama de Feynman
Historia
Fondo Teoría de campo Electromagnetismo Fuerza débil Fuerza potente Mecánica cuántica Relatividad especial Relatividad general Teoría del calibre
Simetrías Simetría en mecánica cuántica Simetría C Simetría p Simetría en T Simetría de traslación espacial Time translation symmetry Rotation symmetry Lorentz symmetry Poincaré symmetry Gauge symmetry Explicit symmetry breaking Spontaneous symmetry breaking Yang–Mills theory Noether charge Topological charge
Instrumentos Anomaly Crossing Effective field theory Expectation value Faddeev–Popov ghosts Feynman diagram Lattice gauge theory LSZ reduction formula Partition function Propagator Quantization Regularization Renormalization Vacuum state Wick's theorem Wightman axioms
Ecuaciones Dirac equation Klein–Gordon equation Proca equations Wheeler–DeWitt equation Bargmann–Wigner equations
Modelo estandar Quantum electrodynamics Electroweak interaction Quantum chromodynamics Higgs mechanism
Teorías incompletas Topological quantum field theory String theory Supersymmetry Technicolor Theory of everything Quantum gravity
Científicos C. D. Anderson P. W. Anderson Bethe Bjorken Bogoliubov Brout Callan Coleman DeWitt Dirac Dyson Englert Fermi Feynman Fierz Fock Fröhlich Glashow Gell-Mann Gross Guralnik Heisenberg Higgs Haag Hagen 't Hooft Jordan Kendall Kibble Lamb Landau Lee Majorana Mills Nambu Nishijima Parisi Polyakov Salam Schwinger Skyrme Sudarshan Tomonaga Veltman Ward Weinberg Weisskopf Weyl Wilczek Wilson Yang Yukawa
v t mi

En física de partículas , la electrodinámica cuántica ( QED ) es la teoría relativista de campos cuánticos de la electrodinámica . En esencia, describe cómo interactúan la luz y la materia y es la primera teoría en la que se logra un acuerdo total entre la mecánica cuántica y la relatividad especial . QED describe matemáticamente todos los fenómenos que involucran partículas cargadas eléctricamente que interactúan mediante el intercambio de fotones y representa la contraparte cuántica del electromagnetismo clásico. dando una descripción completa de la interacción entre la materia y la luz.

En términos técnicos, QED puede describirse como una teoría de perturbación del vacío cuántico electromagnético . Richard Feynman lo llamó "la joya de la física" por sus predicciones extremadamente precisas de cantidades como el momento magnético anómalo del electrón y el desplazamiento de Lamb de los niveles de energía del hidrógeno . ^{[1] : Ch1}

Historia

Paul Dirac

La primera formulación de una teoría cuántica que describe la interacción entre la radiación y la materia se atribuye al científico británico Paul Dirac , quien (durante la década de 1920) pudo calcular el coeficiente de emisión espontánea de un átomo . ^[2]

Dirac describió la cuantificación del campo electromagnético como un conjunto de osciladores armónicos con la introducción del concepto de operadores de creación y aniquilación de partículas. En los años siguientes, con las contribuciones de Wolfgang Pauli , Eugene Wigner , Pascual Jordan , Werner Heisenberg y una elegante formulación de la electrodinámica cuántica de Enrico Fermi , ^{[3] los} físicos llegaron a creer que, en principio, sería posible realizar cualquier cálculo para cualquier proceso físico que involucre fotones y partículas cargadas. Sin embargo, estudios adicionales de Felix Blochcon Arnold Nordsieck , ^[4] y Victor Weisskopf , ^[5] en 1937 y 1939, revelaron que tales cálculos eran confiables solo en un primer orden de la teoría de la perturbación , un problema ya señalado por Robert Oppenheimer . ^[6] En los órdenes superiores de la serie surgieron infinitos, lo que hizo que tales cálculos no tuvieran sentido y arrojaran serias dudas sobre la consistencia interna de la teoría misma. Sin una solución para este problema conocida en ese momento, parecía que existía una incompatibilidad fundamental entre la relatividad especial y la mecánica cuántica .

Hans Bethe

Las dificultades con la teoría aumentaron hasta finales de la década de 1940. Las mejoras en la tecnología de microondas hicieron posible tomar medidas más precisas del desplazamiento de los niveles de un átomo de hidrógeno , ^[7] ahora conocido como desplazamiento de Lamb y momento magnético del electrón. ^[8] Estos experimentos expusieron discrepancias que la teoría no pudo explicar.

Hans Bethe dio una primera indicación de una posible salida en 1947, ^[9] después de asistir a la Shelter Island Conference . ^[10] Mientras viajaba en tren desde la conferencia a Schenectady , hizo el primer cálculo no relativista del desplazamiento de las líneas del átomo de hidrógeno medido por Lamb y Retherford . ^[9] A pesar de las limitaciones del cálculo, la concordancia fue excelente. La idea era simplemente adjuntar infinitos a las correcciones de masa y carga.que en realidad se fijaron a un valor finito mediante experimentos. De esta manera, los infinitos se absorben en esas constantes y producen un resultado finito que coincide con los experimentos. Este procedimiento se denominó renormalización .

Feynman (centro) y Oppenheimer (derecha) en Los Alamos .

Basada en la intuición y fundamentales papeles de Bethe sobre el tema por Shin'ichiro Tomonaga , ^[11] Julian Schwinger , ^{[12] [13]} Richard Feynman ^{[14] [15] [16]} y Freeman Dyson , ^{[17] [18]} se Finalmente fue posible obtener formulaciones completamente covariantes que eran finitas en cualquier orden en una serie de perturbaciones de la electrodinámica cuántica. Shin'ichirō Tomonaga, Julian Schwinger y Richard Feynman fueron galardonados conjuntamente con el Premio Nobel de Física de 1965 por su trabajo en esta área. ^[19] Sus contribuciones y las de Freeman Dyson, se trataba de formulaciones covariantes e invariantes de calibre de electrodinámica cuántica que permiten cálculos de observables en cualquier orden de teoría de perturbación . La técnica matemática de Feynman, basada en sus diagramas , inicialmente parecía muy diferente del enfoque teórico de campo, basado en operadores de Schwinger y Tomonaga, pero Freeman Dyson demostró más tarde que los dos enfoques eran equivalentes. ^{[17] La} renormalización , la necesidad de atribuir un significado físico a determinadas divergencias que aparecen en la teoría a través de integrales , se ha convertido posteriormente en uno de los aspectos fundamentales de la teoría cuántica de campos.y ha llegado a ser visto como un criterio para la aceptabilidad general de una teoría. Aunque la renormalización funciona muy bien en la práctica, Feynman nunca se sintió del todo cómodo con su validez matemática, incluso refiriéndose a la renormalización como un "juego de caparazón" y un "hocus pocus". ^{[1] : 128}

QED ha servido como modelo y plantilla para todas las teorías de campos cuánticos posteriores. Una de esas teorías posteriores es la cromodinámica cuántica , que comenzó a principios de la década de 1960 y alcanzó su forma actual en el trabajo de la década de 1970 de H. David Politzer , Sidney Coleman , David Gross y Frank Wilczek . Sobre la base del trabajo pionero de Schwinger , Gerald Guralnik , Dick Hagen y Tom Kibble , ^{[20] [21]} Peter Higgs , Jeffrey Goldstone y otros, Sheldon Lee Glashow , Steven Weinberg yAbdus Salam mostró de forma independiente cómo la fuerza nuclear débil y la electrodinámica cuántica podrían fusionarse en una sola fuerza electrodinámica .

Punto de vista de Feynman sobre la electrodinámica cuántica

Introducción

Cerca del final de su vida, Richard Feynman dio una serie de conferencias sobre QED destinadas al público laico. Estas conferencias fueron transcritas y publicadas como Feynman (1985), QED: The Strange Theory of Light and Matter , ^[1] una exposición clásica no matemática de QED desde el punto de vista articulado a continuación.

Los componentes clave de la presentación de Feynman de QED son tres acciones básicas. ^{[1] : 85}

Un fotón va de un lugar y tiempo a otro lugar y tiempo.

Un electrón va de un lugar y tiempo a otro lugar y tiempo.

Un electrón emite o absorbe un fotón en un lugar y momento determinados.

Elementos del diagrama de Feynman

Estas acciones están representadas en forma de taquigrafía visual por los tres elementos básicos de los diagramas de Feynman : una línea ondulada para el fotón, una línea recta para el electrón y una unión de dos líneas rectas y una ondulada para un vértice que representa la emisión o absorción. de un fotón por un electrón. Todos estos se pueden ver en el diagrama adyacente.

Además de la abreviatura visual de las acciones, Feynman introduce otro tipo de abreviatura para las cantidades numéricas llamadas amplitudes de probabilidad . La probabilidad es el cuadrado del valor absoluto de la amplitud de probabilidad total,${\displaystyle {\text{probability}}=|f({\text{amplitude}})|^{2}}$. Si un fotón se mueve de un lugar y tiempo${\displaystyle A}$ a otro lugar y tiempo ${\displaystyle B}$, la cantidad asociada se escribe en la taquigrafía de Feynman como ${\displaystyle P(A{\text{ to }}B)}$. La cantidad similar para un electrón que se mueve desde${\displaystyle C}$ para ${\displaystyle D}$ está escrito ${\displaystyle E(C{\text{ to }}D)}$. La cantidad que nos dice acerca de la amplitud de probabilidad para la emisión o absorción de un fotón que él llama j . Esto está relacionado, pero no es lo mismo, con la carga electrónica medida e . ^{[1] : 91}

La QED se basa en la suposición de que las interacciones complejas de muchos electrones y fotones se pueden representar uniendo una colección adecuada de los tres bloques de construcción anteriores y luego usando las amplitudes de probabilidad para calcular la probabilidad de tal interacción compleja. Resulta que la idea básica de QED se puede comunicar asumiendo que el cuadrado del total de las amplitudes de probabilidad mencionadas anteriormente ( P ( A a B ), E ( C a D ) yj ) actúa como nuestra probabilidad diaria(una simplificación hecha en el libro de Feynman). Más adelante, esto se corregirá para incluir específicamente matemáticas de estilo cuántico, siguiendo a Feynman.

Las reglas básicas de amplitudes de probabilidad que se utilizarán son: ^{[1] : 93}

1. Si un evento puede ocurrir de varias formas diferentes, entonces su amplitud de probabilidad es la suma de las amplitudes de probabilidad de las formas posibles.
2. Si un proceso involucra varios subprocesos independientes, entonces su amplitud de probabilidad es el producto de las amplitudes de probabilidad de los componentes.

Construcciones básicas

Supongamos que comenzamos con un electrón en un determinado lugar y tiempo (a este lugar y tiempo se le da la etiqueta arbitraria A ) y un fotón en otro lugar y tiempo (dada la etiqueta B ). Una pregunta típica desde un punto de vista físico es: "¿Cuál es la probabilidad de encontrar un electrón en C (otro lugar y en un momento posterior) y un fotón en D (otro lugar y tiempo más)?". El proceso más simple para lograr este fin es que el electrón se mueva de A a C (una acción elemental) y que el fotón se mueva de B a D (otra acción elemental). A partir del conocimiento de las amplitudes de probabilidad de cada uno de estos subprocesos: E( A a C ) y P ( B a D ) - esperaríamos calcular la amplitud de probabilidad de que ambos sucedan juntos multiplicándolos, usando la regla b) anterior. Esto da una amplitud de probabilidad general estimada simple, que se eleva al cuadrado para dar una probabilidad estimada. ^{[ cita requerida ]}

Dispersión de Compton

Pero hay otras formas en las que podría producirse el resultado final. El electrón puede moverse a un lugar y tiempo E , donde absorbe el fotón; luego continúe antes de emitir otro fotón en F ; luego pasar a C , donde se detecta, mientras que los nuevos fotón se mueve a D . La probabilidad de este complejo proceso se puede calcular de nuevo conociendo las amplitudes de probabilidad de cada una de las acciones individuales: tres acciones de electrones, dos acciones de fotones y dos vértices: una emisión y una absorción. Esperaríamos encontrar la amplitud de probabilidad total multiplicando las amplitudes de probabilidad de cada una de las acciones, para cualquier posición elegida de E y F. Tenemos entonces, usando la regla a) anterior, hay que sumar todas estas amplitudes de probabilidad para todas las alternativas para E y F . (Esto no es elemental en la práctica e implica integración ). Pero existe otra posibilidad, que es que el electrón se mueva primero a G , donde emite un fotón, que pasa a D , mientras que el electrón pasa a H , donde absorbe el primer fotón, antes de pasar a C . Nuevamente, podemos calcular la amplitud de probabilidad de estas posibilidades (para todos los puntos G y H). Entonces tenemos una mejor estimación de la amplitud de probabilidad total agregando las amplitudes de probabilidad de estas dos posibilidades a nuestra estimación simple original. Por cierto, el nombre que se le da a este proceso de un fotón que interactúa con un electrón de esta manera es dispersión de Compton . ^{[ cita requerida ]}

Existe un número infinito de otros procesos intermedios en los que se absorben y / o emiten cada vez más fotones. Para cada una de estas posibilidades, hay un diagrama de Feynman que la describe. Esto implica un cálculo complejo para las amplitudes de probabilidad resultantes, pero siempre que se dé el caso de que cuanto más complicado sea el diagrama, menos contribuirá al resultado, es solo cuestión de tiempo y esfuerzo encontrar una respuesta tan precisa como se desee. a la pregunta original. Este es el enfoque básico de QED. Para calcular la probabilidad de cualquierproceso interactivo entre electrones y fotones, es cuestión de señalar primero, con los diagramas de Feynman, todas las formas posibles en las que se puede construir el proceso a partir de los tres elementos básicos. Cada diagrama implica algún cálculo que implica reglas definidas para encontrar la amplitud de probabilidad asociada.

Ese andamiaje básico permanece cuando uno pasa a una descripción cuántica, pero se necesitan algunos cambios conceptuales. Una es que, si bien podríamos esperar en nuestra vida cotidiana que hubiera algunas limitaciones en los puntos hacia los que se puede mover una partícula, eso no es cierto en la electrodinámica cuántica completa. Existe la posibilidad de que un electrón en A , o un fotón en B , se mueva como acción básica a cualquier otro lugar y tiempo del universo . Eso incluye lugares a los que solo se podía llegar a velocidades superiores a la de la luz y también en épocas anteriores . (Un electrón que se mueve hacia atrás en el tiempo puede verse como un positrón que avanza en el tiempo). ^{[1] : 89, 98-99}

Amplitudes de probabilidad

Feynman reemplaza los números complejos con flechas giratorias, que comienzan en la emisión y terminan en la detección de una partícula. La suma de todas las flechas resultantes representa la probabilidad total del evento. En este diagrama, la luz emitida por la fuente S rebota unos pocos segmentos del espejo (en azul) antes de llegar al detector a P . Debe tenerse en cuenta la suma de todos los caminos. El siguiente gráfico muestra el tiempo total invertido en recorrer cada uno de los caminos anteriores.

La mecánica cuántica introduce un cambio importante en la forma en que se calculan las probabilidades. Las probabilidades todavía están representadas por los números reales habituales que usamos para las probabilidades en nuestro mundo cotidiano, pero las probabilidades se calculan como el módulo cuadrado de las amplitudes de probabilidad , que son números complejos .

Feynman evita exponer al lector a las matemáticas de los números complejos mediante el uso de una representación simple pero precisa de ellos como flechas en una hoja de papel o en una pantalla. (Estos no deben confundirse con las flechas de los diagramas de Feynman, que son representaciones simplificadas en dos dimensiones de una relación entre puntos en tres dimensiones del espacio y una del tiempo). Las flechas de amplitud son fundamentales para la descripción del mundo dada por la cuántica. teoría. Se relacionan con nuestras ideas cotidianas de probabilidad mediante la regla simple de que la probabilidad de un evento es el cuadrado de la longitud de la flecha de amplitud correspondiente. Por lo tanto, para un proceso dado, si dos amplitudes de probabilidad, v y w están involucrados,, la probabilidad de que el proceso se dará ya sea por

${\displaystyle P=|\mathbf {v} +\mathbf {w} |^{2}}$

o

${\displaystyle P=|\mathbf {v} \,\mathbf {w} |^{2}.}$

Sin embargo, las reglas en cuanto a sumar o multiplicar son las mismas que las anteriores. Pero donde esperarías sumar o multiplicar probabilidades, en su lugar, sumas o multiplicas las amplitudes de probabilidad que ahora son números complejos.

Suma de amplitudes de probabilidad como números complejos

Multiplicación de amplitudes de probabilidad como números complejos

La suma y la multiplicación son operaciones comunes en la teoría de números complejos y se dan en las figuras. La suma se encuentra de la siguiente manera. Deje que el inicio de la segunda flecha esté al final de la primera. La suma es entonces una tercera flecha que va directamente desde el principio de la primera hasta el final de la segunda. El producto de dos flechas es una flecha cuya longitud es el producto de las dos longitudes. La dirección del producto se encuentra sumando los ángulos por los que se ha girado cada uno de los dos en relación con una dirección de referencia: eso da el ángulo en el que se gira el producto en relación con la dirección de referencia.

Ese cambio, de probabilidades a amplitudes de probabilidad, complica las matemáticas sin cambiar el enfoque básico. Pero ese cambio todavía no es suficiente porque no se tiene en cuenta que tanto los fotones como los electrones pueden polarizarse, es decir, hay que tener en cuenta sus orientaciones en el espacio y en el tiempo. Por lo tanto, P ( A a B ) consta de 16 números complejos o flechas de amplitud de probabilidad. ^{[1] : 120–121} También hay algunos cambios menores relacionados con la cantidad j , que puede tener que rotarse en un múltiplo de 90 ° para algunas polarizaciones, lo que solo es de interés para la contabilidad detallada.

Asociado con el hecho de que el electrón puede ser polarizado hay otro pequeño detalle necesario, que está relacionado con el hecho de que un electrón es un fermión y obedece a la estadística de Fermi-Dirac . La regla básica es que si tenemos la amplitud de probabilidad para un proceso complejo dado que involucra más de un electrón, entonces cuando incluimos (como siempre debemos) el diagrama de Feynman complementario en el que intercambiamos dos eventos de electrones, la amplitud resultante es la inversa. - el negativo - del primero. El caso más simple sería dos electrones a partir de A y B que termina en C y D . La amplitud se calcularía como la "diferencia", E ( Aa D ) × E ( B a C ) - E ( A a C ) × E ( B a D ) , donde esperaríamos, de nuestra idea cotidiana de probabilidades, que sería una suma. ^{[1] : 112–113}

Propagadores

Finalmente, uno tiene que calcular P ( A a B ) y E ( C a D ) correspondientes a las amplitudes de probabilidad para el fotón y el electrón respectivamente. Estas son esencialmente las soluciones de la ecuación de Dirac , que describen el comportamiento de la amplitud de probabilidad del electrón y las ecuaciones de Maxwell , que describen el comportamiento de la amplitud de probabilidad del fotón. Estos se denominan propagadores de Feynman . La traducción a una notación comúnmente utilizada en la literatura estándar es la siguiente:

${\displaystyle P(A{\text{ to }}B)\to D_{F}(x_{B}-x_{A}),\quad E(C{\text{ to }}D)\to S_{F}(x_{D}-x_{C}),}$

donde un símbolo taquigráfico como ${\displaystyle x_{A}}$representa los cuatro números reales que dan el tiempo y la posición en tres dimensiones del punto etiquetado A .

Renormalización masiva

Bucle de energía propia de electrones

Históricamente surgió un problema que detuvo el progreso durante veinte años: aunque partimos del supuesto de tres acciones básicas "simples", las reglas del juego dicen que si queremos calcular la amplitud de probabilidad para que un electrón pase de A a B , debemos tener en cuenta todas las formas posibles: todos los diagramas de Feynman posibles con esos puntos finales. De este modo habrá una forma en la que el electrón viaja a C , emite un fotón allí y luego absorbe de nuevo en D antes de pasar a B . O podría hacer este tipo de cosas dos veces o más. En resumen, tenemos un fractal-Situación similar en la que si miramos de cerca una línea, se divide en una colección de líneas "simples", cada una de las cuales, si se mira de cerca, se componen a su vez de líneas "simples", y así sucesivamente ad infinitum . Esta es una situación difícil de manejar. Si agregar ese detalle solo alteró ligeramente las cosas, entonces no habría sido tan malo, pero el desastre ocurrió cuando se descubrió que la simple corrección mencionada anteriormente conducía a amplitudes de probabilidad infinitas . Con el tiempo, este problema fue "solucionado" por la técnica de renormalización . Sin embargo, el propio Feynman seguía descontento por ello, llamándolo un "proceso dippy". ^{[1] : 128}

Conclusiones

Dentro del marco anterior, los físicos pudieron calcular con un alto grado de precisión algunas de las propiedades de los electrones, como el momento dipolar magnético anómalo . Sin embargo, como señala Feynman, no explica por qué las partículas como el electrón tienen la masa que tienen. "No existe una teoría que explique adecuadamente estos números. Usamos los números en todas nuestras teorías, pero no los entendemos, qué son o de dónde vienen. Creo que desde un punto de vista fundamental, esto es un problema muy interesante y serio ". ^{[1] : 152}

Formulación matemática

Matemáticamente, QED es una teoría de gauge abeliana con el grupo de simetría U (1) . El campo de calibre , que media la interacción entre los campos de espín-1/2 cargados , es el campo electromagnético . El QED Lagrangiano para un campo de espín-1/2 que interactúa con el campo electromagnético viene dado en unidades naturales por la parte real de ^{[22] : 78}

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\bar {\psi }}(i\gamma ^{\mu }D_{\mu }-m)\psi -{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu },}$

donde

${\displaystyle \gamma ^{\mu }}$son matrices de Dirac ;

${\displaystyle \psi }$un campo bispinor de partículas de espín-1/2 (por ejemplo , campo electrón - positrón );

${\displaystyle {\bar {\psi }}\equiv \psi ^{\dagger }\gamma ^{0}}$, llamado "psi-bar", a veces se denomina adjunto de Dirac ;

${\displaystyle D_{\mu }\equiv \partial _{\mu }+ieA_{\mu }+ieB_{\mu }\,\!}$es la derivada covariante de gauge ;

e es la constante de acoplamiento , igual a la carga eléctrica del campo bispinor;

m es la masa del electrón o positrón;

${\displaystyle A_{\mu }}$es el cuatro potencial covariante del campo electromagnético generado por el propio electrón;

${\displaystyle B_{\mu }}$ es el campo externo impuesto por una fuente externa;

${\displaystyle F_{\mu \nu }=\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }\,\!}$es el tensor de campo electromagnético .

Ecuaciones de movimiento

Sustituyendo la definición de D en el lagrangiano da

${\displaystyle {\mathcal {L}}=i{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi -e{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }(A_{\mu }+B_{\mu })\psi -m{\bar {\psi }}\psi -{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }.}$

A partir de este lagrangiano, se pueden obtener las ecuaciones de movimiento para los campos ψ y A.

• Usando la ecuación de Euler-Lagrange de teoría de campo para ψ ,

${\displaystyle \partial _{\mu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\psi )}}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \psi }}=0.}$

( 2 )

Las derivadas del lagrangiano relativas a ψ son

${\displaystyle \partial _{\mu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\psi )}}\right)=\partial _{\mu }\left(i{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\right),}$

${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \psi }}=-e{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }(A_{\mu }+B_{\mu })-m{\bar {\psi }}.}$

Insertarlos en ( 2 ) da como resultado

${\displaystyle i\partial _{\mu }{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }+e{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }(A_{\mu }+B_{\mu })+m{\bar {\psi }}=0,}$

con conjugado hermitiano

${\displaystyle i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi -e\gamma ^{\mu }(A_{\mu }+B_{\mu })\psi -m\psi =0.}$

Llevar el término medio al lado derecho rinde

${\displaystyle i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi -m\psi =e\gamma ^{\mu }(A_{\mu }+B_{\mu })\psi .}$

El lado izquierdo es como la ecuación de Dirac original , y el lado derecho es la interacción con el campo electromagnético.

• Usando la ecuación de Euler-Lagrange para el campo A ,

${\displaystyle \partial _{\nu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\nu }A_{\mu })}}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial A_{\mu }}}=0,}$

( 3 )

las derivadas esta vez son

${\displaystyle \partial _{\nu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\nu }A_{\mu })}}\right)=\partial _{\nu }\left(\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial ^{\nu }A^{\mu }\right),}$

${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial A_{\mu }}}=-e{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi .}$

Sustituir de nuevo en ( 3 ) conduce a

${\displaystyle \partial _{\nu }F^{\nu \mu }=e{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi .}$

Ahora, si imponemos la condición de calibre de Lorenz

${\displaystyle \partial _{\mu }A^{\mu }=0,}$

las ecuaciones se reducen a

${\displaystyle \Box A^{\mu }=e{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi ,}$

que es una ecuación de onda para los cuatro potenciales, la versión QED de las ecuaciones clásicas de Maxwell en el medidor de Lorenz . (El cuadrado representa el operador D'Alembert ,${\displaystyle \Box =\partial _{\alpha }\partial ^{\alpha }}$.)

Imagen de interacción

Esta teoría puede cuantificarse directamente tratando los sectores bosónico y fermiónico ^{[ aclaración necesaria ]} como libres. Esto nos permite construir un conjunto de estados asintóticos que pueden usarse para iniciar el cálculo de las amplitudes de probabilidad para diferentes procesos. Para hacerlo, tenemos que calcular un operador de evolución , que para un estado inicial dado${\displaystyle |i\rangle }$ dará un estado final ${\displaystyle \langle f|}$de tal manera que tenga ^{[22] : 5}

${\displaystyle M_{fi}=\langle f|U|i\rangle .}$

Esta técnica también se conoce como el S-matriz . El operador de evolución se obtiene en la imagen de interacción , donde la evolución en el tiempo está dada por la interacción hamiltoniana, que es la integral sobre el espacio del segundo término en la densidad lagrangiana dada anteriormente: ^{[22] : 123}

${\displaystyle V=e\int d^{3}x\,{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi A_{\mu },}$

y así, uno tiene ^{[22] : 86}

${\displaystyle U=T\exp \left[-{\frac {i}{\hbar }}\int _{t_{0}}^{t}dt'\,V(t')\right],}$

donde T es el operador de ordenación de tiempos . Este operador de evolución solo tiene significado como serie, y lo que obtenemos aquí es una serie de perturbaciones con la constante de estructura fina como parámetro de desarrollo. Esta serie se llama serie Dyson .

Diagramas de Feynman

A pesar de la claridad conceptual de este enfoque de Feynman para la QED, casi ningún libro de texto antiguo lo sigue en su presentación. Al realizar cálculos, es mucho más fácil trabajar con las transformadas de Fourier de los propagadores . Las pruebas experimentales de electrodinámica cuántica son típicamente experimentos de dispersión. En la teoría de la dispersión, se consideran los momentos de las partículas en lugar de sus posiciones, y es conveniente pensar que las partículas se crean o aniquilan cuando interactúan. Diagramas de Feynman, luego mirelo mismo, pero las líneas tienen diferentes interpretaciones. La línea de electrones representa un electrón con una energía y un momento determinados, con una interpretación similar de la línea de fotones. Un diagrama de vértice representa la aniquilación de un electrón y la creación de otro junto con la absorción o creación de un fotón, cada uno con energías y momentos específicos.

Utilizando el teorema de Wick en los términos de la serie de Dyson, todos los términos de la matriz S para la electrodinámica cuántica se pueden calcular mediante la técnica de los diagramas de Feynman . En este caso, las reglas para dibujar son las siguientes ^{[22] : 801–802}

A estas reglas debemos agregar una más para bucles cerrados que implica una integración en momentos ${\displaystyle \int d^{4}p/(2\pi )^{4}}$, dado que estas partículas internas ("virtuales") no están limitadas a ninguna energía-momento específico, incluso el que generalmente requiere la relatividad especial (ver Propagador para más detalles).

A partir de ellos, se dan directamente cálculos de amplitudes de probabilidad . Un ejemplo es la dispersión de Compton , con un electrón y un fotón sometidos a dispersión elástica . Los diagramas de Feynman son en este caso ^{[22] : 158-159}

y así podemos obtener la amplitud correspondiente en el primer orden de una serie de perturbaciones para la matriz S :

${\displaystyle M_{fi}=(ie)^{2}{\overline {u}}({\vec {p}}',s')\epsilon \!\!\!/\,'({\vec {k}}',\lambda ')^{*}{\frac {p\!\!\!/+k\!\!\!/+m_{e}}{(p+k)^{2}-m_{e}^{2}}}\epsilon \!\!\!/({\vec {k}},\lambda )u({\vec {p}},s)+(ie)^{2}{\overline {u}}({\vec {p}}',s')\epsilon \!\!\!/({\vec {k}},\lambda ){\frac {p\!\!\!/-k\!\!\!/'+m_{e}}{(p-k')^{2}-m_{e}^{2}}}\epsilon \!\!\!/\,'({\vec {k}}',\lambda ')^{*}u({\vec {p}},s),}$

a partir de la cual podemos calcular la sección transversal para esta dispersión.

Fenómenos no perturbativos

El éxito predictivo de la electrodinámica cuántica se basa en gran medida en el uso de la teoría de la perturbación, expresada en los diagramas de Feynman. Sin embargo, la electrodinámica cuántica también conduce a predicciones más allá de la teoría de la perturbación. En presencia de campos eléctricos muy fuertes, predice que los electrones y positrones se producirán espontáneamente, lo que provocará la desintegración del campo. Este proceso, llamado efecto Schwinger , ^[23] no puede entenderse en términos de ningún número finito de diagramas de Feynman y, por lo tanto, se describe como no perturbativo . Matemáticamente, se puede derivar mediante una aproximación semiclásica a la integral de trayectoria de la electrodinámica cuántica.

Renormalizabilidad

Los términos de orden superior se pueden calcular directamente para el operador de evolución, pero estos términos muestran diagramas que contienen los siguientes más simples ^{[22] : ch 10}

• 

  Contribución de un lazo a la función de polarización de vacío${\displaystyle \Pi }$

• 

  Contribución de un bucle para el electrón energía propia función${\displaystyle \Sigma }$

• 

  Contribución de un bucle a la función de vértice ${\displaystyle \Gamma }$

que, al ser bucles cerrados, implican la presencia de integrales divergentes sin significado matemático. Para superar esta dificultad, se ha ideado una técnica llamada renormalización , que produce resultados finitos en estrecha concordancia con los experimentos. Un criterio para que la teoría sea significativa después de la renormalización es que el número de diagramas divergentes es finito. En este caso, se dice que la teoría es "renormalizable". La razón de esto es que para volver a normalizar los observables, se necesita un número finito de constantes para mantener intacto el valor predictivo de la teoría. Este es exactamente el caso de la electrodinámica cuántica que muestra solo tres diagramas divergentes. Este procedimiento da observables muy de acuerdo con el experimento como se ve, por ejemplo, para el electrón.relación giromagnética .

La renormalizabilidad se ha convertido en un criterio esencial para que una teoría cuántica de campos se considere viable. Todas las teorías que describen interacciones fundamentales , excepto la gravitación , cuya contraparte cuántica es solo conjetural y actualmente se encuentra bajo una investigación muy activa, son teorías renormalizables.

No convergencia de series

Un argumento de Freeman Dyson muestra que el radio de convergencia de la serie de perturbaciones en QED es cero. ^[24] El argumento básico es el siguiente: si la constante de acoplamiento fuera negativa, esto sería equivalente a que la constante de fuerza de Coulomb fuera negativa. Esto "revertiría" la interacción electromagnética de modo que las cargas similares se atraigan y las cargas diferentes se repelan.. Esto haría que el vacío fuera inestable contra la desintegración en un grupo de electrones en un lado del universo y un grupo de positrones en el otro lado del universo. Debido a que la teoría está "enferma" para cualquier valor negativo de la constante de acoplamiento, la serie no converge, pero en el mejor de los casos es una serie asintótica .

Desde una perspectiva moderna, decimos que la QED no está bien definida como una teoría de campo cuántico para una energía arbitrariamente alta. ^[25] La constante de acoplamiento corre hasta el infinito con energía finita, lo que indica un polo Landau . El problema es esencialmente que QED parece sufrir problemas de trivialidad cuántica . Esta es una de las motivaciones para incorporar QED dentro de una Gran Teoría Unificada .

Ver también

• Fuerza Abraham-Lorentz
• Momento magnético anómalo
• Dispersión de Bhabha
• Electrodinámica cuántica de cavidades
• Electrodinámica cuántica de circuitos
• Dispersión de Compton
• Euler – Heisenberg Lagrangiano
• Formalismo de Gupta-Bleuler
• Turno de cordero
• Poste Landau
• Dispersión de Moeller
• Electrodinámica cuántica no relativista
• Polarización de fotones
• Positronio
• Pruebas de precisión de QED
• Vacío QED
• QED: La extraña teoría de la luz y la materia
• Cuantización del campo electromagnético
• Electrodinámica escalar
• Ecuación de Schrödinger
• Modelo Schwinger
• Ecuación de Schwinger-Dyson
• Polarización de vacío
• Función de vértice
• Teoría del absorbedor de Wheeler-Feynman

Referencias

1. Feynman, Richard (1985). QED: La extraña teoría de la luz y la materia . Prensa de la Universidad de Princeton. ISBN 978-0-691-12575-6.
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Lectura adicional

Libros

• De Broglie, Louis (1925). Recherches sur la theorie des quanta [Investigación sobre teoría cuántica] . Francia: Wiley-Interscience.
• Feynman, Richard Phillips (1998). Electrodinámica cuántica (Nueva ed.). Westview Press. ISBN 978-0-201-36075-2.
• Jauch, JM; Rohrlich, F. (1980). La teoría de fotones y electrones . Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-07295-1.
• Greiner, Walter; Bromley, DA; Müller, Berndt (2000). Teoría del calibre de interacciones débiles . Saltador. ISBN 978-3-540-67672-0.
• Kane, Gordon, L. (1993). Física moderna de partículas elementales . Westview Press. ISBN 978-0-201-62460-1.
• Miller, Arthur I. (1995). Electrodinámica cuántica temprana: un libro de consulta . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-56891-3.
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• Schweber, Silvan S. (1994). QED y los hombres que lo hicieron . Prensa de la Universidad de Princeton. ISBN 978-0-691-03327-3.
• Schwinger, Julian (1958). Artículos seleccionados sobre electrodinámica cuántica . Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-60444-2.
• Tannoudji-Cohen, Claude ; Dupont-Roc, Jacques; Grynberg, Gilbert (1997). Fotones y átomos: Introducción a la electrodinámica cuántica . Wiley-Interscience. ISBN 978-0-471-18433-1.

Revistas

• Dudley, JM; Kwan, AM (1996). "Conferencias populares de Richard Feynman sobre electrodinámica cuántica: las conferencias de Robb de 1979 en la Universidad de Auckland". Revista estadounidense de física . 64 (6): 694–98. Código Bibliográfico : 1996AmJPh..64..694D . doi : 10.1119 / 1.18234 .

Enlaces externos

• Conferencia del Premio Nobel de Feynman que describe la evolución de QED y su papel en ella
• Conferencias de Feynman en Nueva Zelanda sobre QED para no físicos
• http://qed.wikina.org/ - Animaciones que demuestran QED