En la física de las teorías del calibre , la fijación del calibre (también llamada elección de un calibre ) denota un procedimiento matemático para hacer frente a los grados de libertad redundantes en las variables de campo . Por definición, una teoría de gauge representa cada configuración físicamente distinta del sistema como una clase de equivalencia de configuraciones de campo locales detalladas. Cualquier dos configuraciones detalladas en la misma clase de equivalencia están relacionadas por una transformación de calibre , equivalente a un cortea lo largo de ejes no físicos en el espacio de configuración. La mayoría de las predicciones físicas cuantitativas de una teoría de gauge solo pueden obtenerse bajo una receta coherente para suprimir o ignorar estos grados de libertad no físicos.
Aunque los ejes no físicos en el espacio de configuraciones detalladas son una propiedad fundamental del modelo físico, no existe un conjunto especial de direcciones "perpendiculares" a ellos. Por tanto, existe una enorme libertad al tomar una "sección transversal" que represente cada configuración física mediante una configuración detallada particular (o incluso una distribución ponderada de las mismas). La fijación juiciosa del indicador puede simplificar enormemente los cálculos, pero se vuelve cada vez más difícil a medida que el modelo físico se vuelve más realista; su aplicación a la teoría cuántica de campos está plagada de complicaciones relacionadas con la renormalización , especialmente cuando el cálculo continúa en órdenes superiores . Históricamente, la búsqueda de procedimientos de fijación de medidores lógicamente consistentes y computacionalmente manejables, y los esfuerzos por demostrar su equivalencia frente a una desconcertante variedad de dificultades técnicas, ha sido un importante impulsor de la física matemática desde finales del siglo XIX hasta el presente. [ cita requerida ]
Calibrar la libertad
La teoría de gauge arquetípica es la formulación Heaviside - Gibbs de la electrodinámica continua en términos de un cuatro potencial electromagnético , que se presenta aquí en notación Heaviside asimétrica de espacio / tiempo. El campo eléctrico E y el campo magnético B de las ecuaciones de Maxwell contienen sólo grados de libertad "físicos", en el sentido de que cada grado matemático de libertad en una configuración de campo electromagnético tiene un efecto medible por separado sobre los movimientos de las cargas de prueba en las proximidades. Estas variables de "intensidad de campo" se pueden expresar en términos del potencial escalar eléctrico y el potencial del vector magnético A a través de las relaciones:
Si la transformacion
( 1 )
se hace, entonces B permanece sin cambios, ya que (con la identidad)
- .
Sin embargo, esta transformación cambia E según
- .
Si otro cambio
( 2 )
se hace entonces E también permanece igual. Por lo tanto, los campos E y B no cambian si se toma cualquier función ψ ( r , t ) y simultáneamente se transforma A y φ mediante las transformaciones ( 1 ) y ( 2 ).
Una elección particular de los potenciales escalares y vectoriales es un indicador (más precisamente, potencial indicador ) y una función escalar ψ utilizada para cambiar el indicador se llama función de indicador . La existencia de números arbitrarios de funciones de calibre ψ ( r , t ) corresponde a la libertad de calibre U (1) de esta teoría. La fijación del indicador se puede realizar de muchas formas, algunas de las cuales se exponen a continuación.
Aunque ahora se habla a menudo del electromagnetismo clásico como una teoría de gauge, originalmente no se concibió en estos términos. El movimiento de una carga puntual clásica se ve afectado solo por las intensidades del campo eléctrico y magnético en ese punto, y los potenciales pueden tratarse como un mero dispositivo matemático para simplificar algunas pruebas y cálculos. Hasta el advenimiento de la teoría cuántica de campos no se pudo decir que los potenciales mismos son parte de la configuración física de un sistema. La primera consecuencia que se predijo con precisión y se verificó experimentalmente fue el efecto Aharonov-Bohm , que no tiene una contraparte clásica. Sin embargo, la libertad de calibre sigue siendo cierta en estas teorías. Por ejemplo, el efecto Aharonov-Bohm depende de una integral de línea de A alrededor de un lazo cerrado, y esta integral no cambia por
La fijación de calibres en teorías de calibre no abelianas , como la teoría de Yang-Mills y la relatividad general , es un tema bastante más complicado; para obtener más información, consulte la ambigüedad de Gribov , el fantasma de Faddeev-Popov y el paquete de marcos .
Una ilustración
Al mirar una varilla cilíndrica, ¿se puede saber si está torcida? Si la varilla es perfectamente cilíndrica, entonces la simetría circular de la sección transversal hace que sea imposible saber si está torcida o no. Sin embargo, si hubiera una línea recta dibujada a lo largo de la barra, entonces se podría decir fácilmente si hay o no un giro observando el estado de la línea. Dibujar una línea es fijar un indicador . Dibujar la línea estropea la simetría de la galga, es decir, la simetría circular U (1) de la sección transversal en cada punto de la varilla. La línea es equivalente a una función de calibre ; no necesita ser recto. Casi cualquier línea es una fijación de calibre válida, es decir, hay una gran libertad de calibre . Para saber si la varilla está torcida, primero debe conocer el calibre. Las cantidades físicas, como la energía de la torsión, no dependen del calibre, es decir, son invariantes en cuanto al calibre .
Calibre de culombio
El calibre de Coulomb (también conocido como calibre transversal ) se utiliza en química cuántica y física de materia condensada y se define por la condición del calibre (más precisamente, condición de fijación del calibre)
Es particularmente útil para cálculos "semiclásicos" en mecánica cuántica, en los que el potencial del vector está cuantificado pero la interacción de Coulomb no.
El medidor de Coulomb tiene varias propiedades:
- Los potenciales se pueden expresar en términos de valores instantáneos de los campos y densidades (en el Sistema Internacional de Unidades ) [1]
donde ρ ( r , t ) es la densidad de carga eléctrica, y (donde r es cualquier vector de posición en el espacio y r ′ es un punto en la carga o distribución de corriente), elopera en r y d 3 r es el elemento de volumen en r .
La naturaleza instantánea de estos potenciales parece, a primera vista, violar la causalidad , ya que los movimientos de carga eléctrica o campo magnético aparecen en todas partes instantáneamente como cambios en los potenciales. Esto se justifica al señalar que los potenciales escalares y vectoriales en sí mismos no afectan los movimientos de las cargas, solo las combinaciones de sus derivadas que forman la fuerza del campo electromagnético. Aunque se pueden calcular las intensidades de campo explícitamente en el indicador de Coulomb y demostrar que los cambios en ellas se propagan a la velocidad de la luz, es mucho más sencillo observar que las intensidades de campo no cambian bajo las transformaciones del indicador y demostrar la causalidad en la covariante de Lorenz manifiestamente covariante de Lorenz. calibre que se describe a continuación.
Se ha obtenido que otra expresión para el potencial vectorial, en términos de la densidad de corriente eléctrica retardada en el tiempo J ( r , t ) , es: [2]
- .
- Otras transformaciones de calibre que conservan la condición de calibre de Coulomb podrían realizarse con funciones de calibre que satisfagan ∇ 2 ψ = 0 , pero como la única solución a esta ecuación que desaparece en el infinito (donde se requiere que todos los campos desaparezcan) es ψ ( r , t ) = 0 , no queda ninguna arbitrariedad de calibre. Debido a esto, se dice que el medidor de Coulomb es un medidor completo, en contraste con los medidores donde permanece cierta arbitrariedad, como el medidor de Lorenz a continuación.
- El calibre de Coulomb es un calibre mínimo en el sentido de que la integral de A 2 en todo el espacio es mínima para este calibre: todos los demás calibres dan una integral más grande. [3] El valor mínimo dado por el medidor de Coulomb es
- .
- En regiones alejadas de la carga eléctrica, el potencial escalar se vuelve cero. Esto se conoce como medidor de radiación . La radiación electromagnética se cuantificó por primera vez en este medidor.
- El medidor de Coulomb admite una formulación hamiltoniana natural de las ecuaciones de evolución del campo electromagnético interactuando con una corriente conservada, lo que es una ventaja para la cuantificación de la teoría. Sin embargo, la galga de Coulomb no es covariante de Lorentz. Si se lleva a cabo una transformación de Lorentz a un nuevo marco inercial, se debe realizar una transformación de calibre adicional para mantener la condición de calibre de Coulomb. Debido a esto, el indicador de Coulomb no se usa en la teoría de perturbación covariante, que se ha convertido en estándar para el tratamiento de las teorías de campo cuántico relativista como la electrodinámica cuántica (QED). Los medidores covariantes de Lorenz, como el medidor de Lorenz, se utilizan generalmente en estas teorías. Las amplitudes de los procesos físicos en QED en el calibre de Coulomb no covariante coinciden con los del calibre de Lorenz covariante. [4]
- Para un campo magnético uniforme y constante B, el potencial vectorial en el medidor de Coulomb se puede expresar en el llamado medidor simétrico como
- Como consecuencia de las consideraciones anteriores, los potenciales electromagnéticos pueden expresarse en sus formas más generales en términos de campos electromagnéticos como
Calibre de Lorenz
El calibre de Lorenz viene dado, en unidades SI , por:
y en unidades gaussianas por:
Esto puede reescribirse como:
dónde es el cuatro potencial electromagnético , ∂ μ el gradiente 4 [usando la firma métrica (+, -, -, -)].
Es único entre los medidores de restricción en la retención de la invariancia de Lorentz manifiesta . Sin embargo, tenga en cuenta que este indicador fue nombrado originalmente en honor al físico danés Ludvig Lorenz y no en honor a Hendrik Lorentz ; a menudo se escribe mal "calibre de Lorentz". (Tampoco fue el primero en usarlo en los cálculos; fue introducido en 1888 por George F. FitzGerald ).
El medidor de Lorenz conduce a las siguientes ecuaciones de onda no homogéneas para los potenciales:
De estas ecuaciones puede verse que, en ausencia de corriente y carga, las soluciones son potenciales que se propagan a la velocidad de la luz.
El indicador de Lorenz está incompleto en cierto sentido: queda un subespacio de transformaciones de indicador que también pueden preservar la restricción. Estos grados de libertad restantes corresponden a funciones de calibre que satisfacen la ecuación de onda
Estos restantes grados de libertad del indicador se propagan a la velocidad de la luz. Para obtener un calibre completamente fijo, se deben agregar condiciones de contorno a lo largo del cono de luz de la región experimental.
Las ecuaciones de Maxwell en el medidor de Lorenz se simplifican a
dónde es la corriente de cuatro .
Dos soluciones de estas ecuaciones para la misma configuración de corriente se diferencian por una solución de la ecuación de onda de vacío
- .
De esta forma, está claro que los componentes del potencial satisfacen por separado la ecuación de Klein-Gordon y, por lo tanto, la condición de calibre de Lorenz permite ondas polarizadas transversales, longitudinales y "temporales" en los cuatro potenciales. Las polarizaciones transversales corresponden a la radiación clásica, es decir, ondas polarizadas transversalmente en la intensidad de campo. Para suprimir los estados de polarización "no físicos" longitudinales y similares al tiempo, que no se observan en experimentos a escalas de distancia clásicas, también se deben emplear restricciones auxiliares conocidas como identidades de Ward . Clásicamente, estas identidades son equivalentes a la ecuación de continuidad
- .
Muchas de las diferencias entre la electrodinámica clásica y cuántica pueden explicarse por el papel que juegan las polarizaciones longitudinales y temporales en las interacciones entre partículas cargadas a distancias microscópicas.
R ξ medidores
Los medidores R ξ son una generalización del medidor de Lorenz aplicable a las teorías expresadas en términos de un principio de acción con densidad lagrangiana . En lugar de fijar el indicador restringiendo el campo del indicador a priori , mediante una ecuación auxiliar, se agrega un término de ruptura del indicador al lagrangiano "físico" (invariante del indicador).
La elección del parámetro ξ determina la elección del calibre. La galga de Landau es clásicamente equivalente a la galga de Lorenz: se obtiene en el límite ξ → 0 pero pospone la toma de ese límite hasta que la teoría haya sido cuantificada. Mejora el rigor de determinadas pruebas de existencia y equivalencia. La mayoría de los cálculos de la teoría cuántica de campos son más simples en el indicador Feynman-'t Hooft , en el que ξ = 1 ; algunos son más manejables en otros medidores R ξ , como el medidor Yennie ξ = 3 .
Una formulación equivalente del medidor R ξ utiliza un campo auxiliar , un campo escalar B sin dinámica independiente:
El campo auxiliar, a veces llamado campo Nakanishi-Lautrup , se puede eliminar "completando el cuadrado" para obtener la forma anterior. Desde una perspectiva matemática el campo auxiliar es una variedad de bosones de Goldstone , y su uso tiene ventajas a la hora de identificar los estados asintóticos de la teoría, y especialmente al generalizar más allá de la QED.
Históricamente, el uso de medidores R ξ fue un avance técnico significativo en la extensión de los cálculos de electrodinámica cuántica más allá del orden de un bucle . Además de retener la invariancia de Lorentz manifiesta , la prescripción R ξ rompe la simetría bajo las transformaciones de calibre local mientras preserva la proporción de medidas funcionales de dos configuraciones de calibre físicamente distintas . Esto permite un cambio de variables en las que las perturbaciones infinitesimales a lo largo de direcciones "físicas" en el espacio de configuración están completamente desacopladas de aquellas a lo largo de direcciones "no físicas", permitiendo que estas últimas sean absorbidas en la normalización físicamente sin sentido de la integral funcional . Cuando ξ es finito, cada configuración física (órbita del grupo de transformaciones de calibre) está representada no por una única solución de una ecuación de restricción sino por una distribución gaussiana centrada en el extremo del término de ruptura del calibre. En términos de las reglas de Feynman de la teoría de calibre fijo, esto aparece como una contribución al propagador de fotones para líneas internas de fotones virtuales de polarización no física .
El propagador de fotones, que es el factor multiplicativo correspondiente a un fotón interno en la expansión del diagrama de Feynman de un cálculo QED, contiene un factor g μν correspondiente a la métrica de Minkowski . Una expansión de este factor como una suma sobre las polarizaciones de fotones implica términos que contienen las cuatro polarizaciones posibles. La radiación polarizada transversalmente se puede expresar matemáticamente como una suma sobre una base polarizada lineal o circularmente . De manera similar, se pueden combinar las polarizaciones de calibre longitudinal y temporal para obtener polarizaciones "hacia adelante" y "hacia atrás"; se trata de una forma de coordenadas de cono de luz en las que la métrica está fuera de la diagonal. Una expansión del factor g μν en términos de coordenadas circularmente polarizadas (espín ± 1) y de cono de luz se llama suma de espines . Las sumas de espín pueden ser muy útiles tanto para simplificar expresiones como para obtener una comprensión física de los efectos experimentales asociados con diferentes términos en un cálculo teórico.
Richard Feynman utilizó argumentos a lo largo de aproximadamente estas líneas en gran parte para justificar los procedimientos de cálculo que produjeron resultados consistentes, finitos y de alta precisión para parámetros observables importantes, como el momento magnético anómalo del electrón. Aunque sus argumentos a veces carecían de rigor matemático incluso para los estándares de los físicos y pasaban por alto detalles como la derivación de las identidades de Ward-Takahashi de la teoría cuántica, sus cálculos funcionaron y Freeman Dyson pronto demostró que su método era sustancialmente equivalente a los de Julian Schwinger. y Sin-Itiro Tomonaga , con quien Feynman compartió el Premio Nobel de Física de 1965 .
La radiación polarizada hacia adelante y hacia atrás se puede omitir en los estados asintóticos de una teoría cuántica de campos (ver identidad de Ward-Takahashi ). Por esta razón, y debido a que su aparición en sumas de espín puede verse como un mero dispositivo matemático en QED (muy parecido a los cuatro potenciales electromagnéticos en la electrodinámica clásica), a menudo se habla de ellos como "no físicos". Pero a diferencia de los procedimientos de fijación de calibres basados en restricciones anteriores, el calibre R ξ se generaliza bien a grupos de calibres no abelianos como el SU (3) de QCD . Los acoplamientos entre ejes de perturbación físicos y no físicos no desaparecen por completo bajo el correspondiente cambio de variables; Para obtener resultados correctos, se debe tener en cuenta el jacobiano no trivial de la incrustación de ejes de libertad de ancho dentro del espacio de configuraciones detalladas. Esto conduce a la aparición explícita de bosones gauge polarizados hacia adelante y hacia atrás en los diagramas de Feynman, junto con los fantasmas de Faddeev-Popov , que son aún más "no físicos" en el sentido de que violan el teorema de la estadística de espín . La relación entre estas entidades, y las razones por las que no aparecen como partículas en el sentido de la mecánica cuántica, se hace más evidente en el formalismo de cuantificación BRST .
Medida abeliana máxima
En cualquier teoría del calibre no abeliano , cualquier calibre abeliano máximo es un calibre incompleto que fija la libertad de calibre fuera del subgrupo abeliano máximo . Ejemplos son
- Para la teoría de gauge SU (2) en dimensiones D, el subgrupo abeliano máximo es un subgrupo U (1). Si se elige que este sea el generado por la matriz de Pauli σ 3 , entonces el calibre abeliano máximo es el que maximiza la función
- dónde
- Para la teoría de gauge SU (3) en dimensiones D, el subgrupo abeliano máximo es un subgrupo U (1) × U (1). Si se elige que este sea el generado por las matrices de Gell-Mann λ 3 y λ 8 , entonces el calibre abeliano máximo es el que maximiza la función
- dónde
Esto se aplica regularmente en álgebras superiores (de grupos en las álgebras), por ejemplo, el álgebra de Clifford y como es regularmente.
Manómetros de uso menos común
En la literatura han aparecido varios otros medidores, que pueden ser beneficiosos en situaciones específicas. [2]
Calibre de Weyl
El calibre Weyl (también conocido como calibre hamiltoniano o temporal ) es un calibre incompleto obtenido por la elección
Lleva el nombre de Hermann Weyl . Elimina el fantasma de la norma negativa , carece de invariancia de Lorentz manifiesta y requiere fotones longitudinales y una restricción en los estados. [5]
Manómetro multipolar
La condición de calibre del calibre multipolar (también conocido como calibre de línea , calibre de puntos o calibre de Poincaré (llamado así por Henri Poincaré )) es:
- .
Este es otro indicador en el que los potenciales se pueden expresar de forma sencilla en términos de campos instantáneos.
Manómetro Fock-Schwinger
La condición de calibre del calibre Fock-Schwinger (llamado así por Vladimir Fock y Julian Schwinger ; a veces también llamado calibre relativista de Poincaré ) es:
donde x μ es el cuatro vector de posición .
Calibre de Dirac
La condición de ancho de vía de Dirac no lineal (llamada así por Paul Dirac ) es:
Referencias
- ^ Stewart, AM (2003). "Potencial vectorial del medidor de Coulomb". Revista europea de física . 24 (5): 519-524. Código Bibliográfico : 2003EJPh ... 24..519S . doi : 10.1088 / 0143-0807 / 24/5/308 .
- ^ a b Jackson, JD (2002). "De Lorenz a Coulomb y otras transformaciones explícitas de calibre". Revista estadounidense de física . 70 (9): 917–928. arXiv : física / 0204034 . Código bibliográfico : 2002AmJPh..70..917J . doi : 10.1119 / 1.1491265 . S2CID 119652556 .
- ^ Gubarev, FV; Stodolsky, L .; Zakharov, VI (2001). "Sobre la importancia del potencial vectorial al cuadrado". Phys. Rev. Lett. 86 (11): 2220–2222. arXiv : hep-ph / 0010057 . Código Bibliográfico : 2001PhRvL..86.2220G . doi : 10.1103 / PhysRevLett.86.2220 . PMID 11289894 . S2CID 45172403 .
- ^ Gregory S. Adkins, reglas de Feynman de QED de calibre de Coulomb y el momento magnético del electrón , Phys. Rev. D36, 1929 (1987). doi : 10.1103 / PhysRevD.36.1929
- ^ Hatfield, Brian (1992). Teoría cuántica de campos de partículas puntuales y cuerdas . Addison-Wesley. págs. 210–213. ISBN 0201360799.
Otras lecturas
- Landau, Lev ; Lifshitz, Evgeny (2007). La teoría clásica de campos . Ámsterdam: Elsevier Butterworth Heinemann. ISBN 978-0-7506-2768-9.
- Jackson, JD (1999). Electrodinámica clásica (3ª ed.). Nueva York: Wiley. ISBN 0-471-30932-X.